Un miroir sphérique est une portion de sphère réfléchissante, caractérisée par son rayon de courbure R, son diamètre I et sa concavité (concave ou convexe).
C D S I
miroir concave
S C
miroir convexe
convergent divergent
Le centre C du miroir sphérique est le centre de la sphère. Le sommet S est le point de la surface tel que SC soit l'axe de symétrie du miroir; SC est appelé l'axe principal du miroir, les autres axes passant par C sont appelés axes secondaires.
En ce qui concerne le rayon de courbure du miroir, on distingue les miroirs concaves des miroirs convexes en donnant à R une valeur algébrique. Par convention, R SC est compté dans le sens de la lumière incidente. Un miroir concave a donc un rayon de courbure négatif et il est toujours convergent. Un miroir convexe a un rayon de courbure positif et il est toujours divergent.
2) Stigmatisme rigoureux et aplanétisme.
les points de sa surface. Nous avons vu également (§IV.4) que le miroir sphérique était aplanétique pour son centre.
Nous allons considérer ici le cas d'un point objet quelconque.
C S
A A'
I T J i
K Z i
Zi Zi
Pour un rayon incident issu de l'objet sur l'axe A, défini par son point d'impact I sur le miroir, on cherche à exprimer la position du point A', intersection du rayon émergent avec l'axe. On va pour cela utiliser le point T, intersection du plan tangent à la sphère en I avec l'axe. D'après la loi de la réflexion, les droites CI et IT sont les bissectrices des angles formés par les droites AI et IA'. Les points A, A', C et T forment ce qu'on appelle une division harmonique, et on a les relations suivantes:
1 1 2
CA CA' CT 1 1 2
TA TA' TC
Remarque: on peut redémontrer rapidement la première relation par exemple de la façon suivante:
- à partir du triangle rectangle CIT on obtient que CT R cos (Z ici R SC0); - à partir des triangles IJC et IKC, on obtient que CJ CK Rsini (CJ et CK distances positives);
- à partir du triangle AJC, on obtient que CA CJ sin( - )Z i ; -de même à partir de A'KC, on obtient que CA' CK sin( + )Z i ; En combinant ces 4 relations, on retrouve la formule ci-dessus.
On retrouve bien que dans le cas général le point T dépend du rayon choisi, donc le point A' également: il n'y a pas stigmatisme rigoureux. On peut écrire cette relation en fonction de l'angle Z entre CS et CI sous la forme:
CA' CA
CA
1 2 R cosZ
Notons que les relations qui viennent d'être écrites restent valables même pour un objet en dehors de l'axe, en remplaçant l'axe principal SC par un axe secondaire passant par A et C. Dans le cas où l'objet A est très proche de C par rapport au rayon du miroir, on peut faire un développement limité de CA' :
CA'# CA(1 2 CAcos )
R Z au 2ème ordre CA'# CA au 1er ordre
que soit Z à condition que CA soit petit devant R.
3) Le miroir sphérique dans l'approximation de Gauss
L'approximation de Gauss pour le miroir sphérique consiste à limiter l'ouverture D ou le rapport diamètre sur rayon, de telle sorte que les rayons soient tous faiblement inclinés sur l'axe et d'incidence faible sur le miroir.
a) remarque sur les conventions de signe
Dans les chapitres précédents, nous avions associé le sens positif suivant x au sens de propagation de la lumière, de la gauche vers la droite. Dans le cas des miroirs se pose le problème du changement de sens de propagation de la lumière, et il est donc important de bien préciser la convention choisie, pour les positions le long de l’axe Ox comme pour les angles positifs.
Si on veut faire le lien avec la théorie générale de l'approximation de Gauss vue au chapitre V, il est nécessaire d'inverser les axes et sens de rotation après réflexion. Ceci revient en fait à déplier le système en remplaçant les miroirs sphériques par des lentilles minces de même focale (convergente pour un miroir concave, divergente pour un miroir convexe). Ceci est nécessaire lorsqu'on a affaire à des systèmes complexes contenant de nombreux miroirs et dioptres sur lesquels on veut faire des calculs matriciels.
Dans la suite de ce paragraphe, où nous traiterons d'un seul miroir, nous choisirons un sens positif unique, dans le sens de la lumière incidente, avec son sens de rotation positif associé, qu'il s'agisse des objets ou des images. Ceci est plus naturel lorsque tous les points sont sur le même axe. C'est en particulier la convention qui a été utilisée implicitement pour écrire la relation précédente entre les 4 points de la division harmonique. Attention toutefois au fait que les formules démontrées dans le cas général de l'approximation de Gauss au chapitre V seront modifiées au niveau des signes.
Remarque: il existe un moyen mnémotechnique simple qui permet de passer d'une convention à l'autre: elle consiste à prendre pour tout ce qui se produit après réflexion un indice n2 négatif, opposé à celui du milieu réel.
Une autre possibilité consiste à choisir comme sens positif le sens de la lumière émergente, auquel cas il faut prendre n1 <0 et n2>0.
b) formule de conjugaison
On peut l'obtenir par exemple à partir de la relation générale vue au §2 précédent: le plan tangent en I est confondu avec le plan tangent en S et le point T est confondu avec S. On obtient donc:
1 1 2
CA CA' CS
Cette formule est appelée formule de conjugaison avec origine au centre.
l'approximation de Gauss où T et S sont confondus, on a:
1 1 2
SA SA' SC
Cette formule-ci est la formule de conjugaison avec origine au sommet.
Rmq: la formule de conjugaison avec origine au sommet peut se retrouver facilement à partir d'une construction en optique de Gauss (à faire à titre d'exercice). Ceci est probablement le meilleur moyen de la retenir. Celle avec origine au centre peut alors s'en déduire sachant que les deux formules sont analogues en échangeant S et C; ou bien on peut elle aussi la retrouver par une construction.
c) points cardinaux. foyers.
Les plans principaux sont confondus avec la surface, les points nodaux sont au sommet, et les antinodaux sont au centre (avec la convention adoptée pour l’approximation de Gauss dans le cas général, qui revient à déplier le miroir sous la forme d’une lentille). Dans le cas simple du miroir unique, nous n'emploierons pas ces termes, et nous prendrons comme points caractéristiques le centre et le sommet.
En ce qui concerne les foyers, ils sont confondus et situés au milieu du segment SC.
On peut le trouver par exemple en prenant A ou A' à l'infini dans les formules de conjugaison précédentes. On obtient donc:
CF CS
2 SF
Le foyer est réel pour un miroir concave, virtuel pour un miroir convexe. Les points principaux étant confondus avec S, on définit la distance focale du miroir par:
f f R
SF ' SF'
2
d) constructions
De même que pour le dioptre sphérique, afin de faire des constructions géométriques correctes du point de vue de l'optique de Gauss, nous représenterons le miroir sphérique par son plan tangent, en marquant la concavité par des lignes brisées au bord.
C F S
miroir concave miroir convexe
C S F
Les rayons particuliers faciles à construire sont: l'incident parallèle à l'axe ressortant par le foyer, l'incident passant par le foyer ressortant parallèle à l'axe, l'incident passant par le centre qui n'est pas dévié, l'incident passant par le sommet qui ressort symétrique par rapport à l'axe. De plus rappelons-nous que dans l'approximation de Gauss, l'image d'un plan orthogonal à l'axe est un plan.
* cas d'un objet à l'infini de diamètre apparent T
Rappelons que le diamètre apparent d'un objet à l'infini est l'écart angulaire entre les rayons parallèles issus des deux extrémités de l'objet. Pour la figure on a pris l'une des extrémités sur l'axe du miroir, et on a choisi un miroir concave.
C S
A
à l'infini sur l'axe
B
à l'infini dans la directionT
A'=F B' T
L'image A'B' de AB se trouve dans le plan focal. Sa dimension vaut d'après la figure:
y' A' B' f tg. T# f .T
Par exemple l'image de la lune, de diamètre apparent 30', au foyer d'un miroir de rayon de courbure 1m est un cercle de diamètre 0.5x30x3.10-4 = 4.5mm et elle est renversée.
* objet AB dans le plan focal (cas d'un miroir convexe)
A'
à l'infini sur l'axe
B'
à l'infini dans la direction T
T
S A=F C
B
* objet AB à distance finie
C S
A B
F B' A'
I J K e) grandissements
On peut, grâce au rayon issu de B passant par le centre C (cf construction précédente), calculer le grandissement transversal gy. En utilisant le rayon passant par le centre, on trouve:
AB CA
Il est également intéressant de déterminer le grandissement axial reliant la dimension dx d(SA) de l'objet suivant l'axe à l'étendue dx' d(SA') de son image. On l'obtient en différentiant l'une ou l'autre formule de conjugaison:
dx
Comme nous l'avions dit au a), notre convention de signe pour les angles est la même qu'il s'agisse du rayon incident ou du rayon émergent. Ici D' est positif comme D. D'après la figure, on a:
On retrouve la relation de Lagrange-Helmholtz générale à condition de prendre n' = -n.
g) relation entre les grandissements
Récapitulons les expressions pour les trois grandissements en fonction de x SA et x' SA':
x x' x
Ces trois grandissements étant liés, il suffit d'en déterminer un pour retrouver tous les autres. En général, on déterminera le grandissement transversal gy et on retrouvera les autres à partir de:
- la relation de Lagrange-Helmholtz, que l'on peut retenir sous sa forme générale nyD n'y'D' en prenant n=n' dans le cas du miroir;
- la relation:
gy g gx. D
qui, comme elle ne fait pas intervenir les indices, est valable pour les systèmes dioptriques comme pour les miroirs.
h) Formules de Newton
On les trouve par exemple en construisant l’image d’un objet AB à l’aide des rayons passant par les foyers (cf figure page 102):
AB FA
SJ FS
A' B'
f A' B'
FA' SI FS
AB f
On obtient à partir de ces deux relations:
FA FA'. f2 g f
y A' B' f
AB FA
FA'
i) variation de la position de l'image avec la position de l'objet
Grâce aux constructions géométriques, on va voir l'évolution de la position de l'image, en particulier voir si elle est réelle ou virtuelle, en fonction de la position de l'objet. Nous l'avons fait ici dans le cas d'un miroir concave, le cas convexe est laissé à titre d'exercice.
C
F S
C F S
objet
image
objet
image
Lorsque l'objet, réel, se déplace de l'infini à gauche vers le foyer, son image se déplace du foyer vers l'infini dans le sens inverse. L'image est réelle et renversée. Elle est d'abord plus petite que l'objet jusqu'à ce qu'image et objet se rencontrent au centre; au-delà l'image devient plus grande que l'objet.
C
S
F objet image
C F
imageS
objetLorsque l'objet passe au-delà du foyer, l'image rejoint l'infini à droite puis revient vers le foyer par la droite au fur et à mesure que l'objet se déplace vers la droite. L'image est de nature différente que l'objet, virtuelle quand il est réel et vice-versa, et elle est droite. Elle est plus grande que l'objet lorsqu'elle est virtuelle, égale et confondue avec l'objet en S, puis plus petite lorsqu'elle est réelle.
4) matrice du miroir sphérique dans l'approximation de Gauss
Nous allons faire ici le lien avec le formalisme matriciel vu au chapitre V dans le cadre général de l'approximation de Gauss. Ceci sera surtout utile pour l'étude des cavités optiques, du type cavités lasers, pour laquelle le formalisme matriciel est le plus adapté.
Lorsqu'on fait appel au formalisme matriciel, il devient plus intéressant de pouvoir traiter de façon analogue dioptres et miroirs afin de pouvoir rendre les calculs plus systématiques. Par conséquent, pour les matrices, on va revenir à la convention de signe des dioptres, qui consiste à prendre comme sens positif le sens de propagation de la lumière. On va donc inverser le sens positif de l'axe lorsqu'on parle des rayons réfléchis, ainsi que le sens positif de rotation. Ceci revient, comme on l’a déjà dit, à déplier le système en remplaçant un miroir sphérique par une lentille de même focale.
Du point de vue du repère dans lequel on écrira la matrice, on utilisera le plus souvent pour les éléments simples assimilables à leur plan tangent une origine du repère dans ce plan, ici au sommet S du miroir. On peut alors calculer la matrice d'un miroir sphérique de rayon de courbure R par exemple en reprenant la caractérisation des différents termes de la matrice:
»»
¼ º
««
¬ ª
gD nn C gy
'0 M
En S, gy vaut 1; gD =1 et n=n' avec la convention adoptée. On aurait pu également retrouver cette matrice en écrivant la transformation de rayons particuliers.
Finalement la matrice d'un miroir sphérique de rayon R s'écrit:
»¼
« º
¬ ª
1
0 1
M C avec C 2 /n R
C>0 pour un miroir concave et C<0 pour un miroir convexe
l’indice du milieu incident qui est pris positif; si on choisit la lumière réfléchie comme sens positif, c’est l’indice n’ qui est positif. Ainsi on vérifie bien qu’un miroir concave est toujours convergent: si on prend n>0 alors R=SC<0, si on choisit n’>0 alors n<0 mais R=SC>0, et dans tous les cas on a bien la convergence C qui est positive.