OPTIQUE INSTRUMENTALE

OPTIQUE INSTRUMENTALE

cycle ingénieur 1A

Nathalie WESTBROOK, 1996

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION ...1

Le modèle de l'optique géométrique...1

Structure du cours d’optique géométrique de 1ère année ...2

Bibliographie (non exhaustive) relative à ce cours...3

CHAPITRE I PRINCIPES GENERAUX ...4

I. Principe de Fermat ...4

II. Conséquences du principe de Fermat - Lois de Snell- Descartes ...6

III. Lien rayons/surfaces d'onde: théorème de Malus-Dupin...9

IV Construction d'Huyghens et construction par la surface des indices...11

CHAPITRE II APPLICATION DU PRINCIPE DE FERMAT AUX MILIEUX INHOMOGENES ...13

I. Introduction ...13

II. Trajectoire d'un rayon lumineux dans un milieu inhomogène. ...13

III. Exemples d'application ...15

CHAPITRE III APPLICATION DES LOIS DE DESCARTES A L’ETUDE DES PRISMES ...18

I. Prismes dispersifs ...18

II. Prismes réfléchissants ...22

CHAPITRE IV FORMATION DES IMAGES Recherche du stigmatisme rigoureux ...26

I. Stigmatisme rigoureux ...26

II Exemples de systèmes qui ne sont pas rigoureusement stigmatiques...28

III. Systèmes rigoureusement stigmatiques ...31

IV. Stigmatisme approché au voisinage des points stigmatiques...36

CHAPITRE V APPROXIMATION LINEAIRE OU APPROXIMATION DE GAUSS...43

I. Exemple d'approximation linéaire dans le cas du dioptre sphérique ...43

II. Approximation linéaire et stigmatisme...46

III. Caractérisation des systèmes optiques dans le cadre de l'approximation de Gauss ...50

CHAPITRE VI Etude des éléments simples: LES DIOPTRES ...59

I. Le dioptre plan...59

II. La lame à faces planes et parallèles...61

III. Le dioptre sphérique ...63

Rappels des résultats principaux sur les dioptres ...69

CHAPITRE VII Etude des éléments simples: LES LENTILLES ...70

I. Introduction. Description d'une lentille...70

II. Lentilles minces ...70

III. Lentilles épaisses...76

IV. Autres types de lentilles ...84

CHAPITRE VIII

ASSOCIATION DE SYSTEMES CENTRES DIOPTRIQUES...87

I. Association de deux systèmes centrés dioptriques...87

II. Systèmes afocaux ...91

CHAPITRE IX MIROIRS, ASSOCIATION DE MIROIRS ET SYSTEMES CATADIOPTRIQUES...93

I. Le miroir plan ...93

II. Le miroir sphérique ...98

III. Systèmes catadioptriques ...106

Annexe sur la méthode matricielle ...110

CHAPITRE X PROPRIETES DES INSTRUMENTS D'OPTIQUE: grandissement, puissance, grossissement ...112

I. Classification et qualification des instruments ...112

II. Rappels sur les propriétés de l'oeil...113

III. Grandeur de l'image: grandissement, puissance, grossissement...115

CHAPITRE XI PROPRIETES DES INSTRUMENTS D'OPTIQUE: champs en largeur et en profondeur ...119

I. Champ en largeur ...119

II. Champ en profondeur...128

CHAPITRE XII INTRODUCTION A LA PHOTOMETRIE...132

I. Grandeurs photométriques et géométrie d’un faisceau élémentaire ...132

II. Etude photométrique d'un instrument...135

III. Clarté et luminosité des instruments ...141

CHAPITRE XIII ABERRATIONS CHROMATIQUES ...143

I. Aspect expérimental...143

II. Etude du chromatisme primaire ...144

III. Achromatisme...148

IV. Chromatisme secondaire...150

Le modèle de l'optique géométrique

L'optique géométrique est un outil de base qu'il faut assimiler pour avoir accès aux applications modernes de l'optique. Elle va intervenir essentiellement au niveau de la propagation de la lumière entre la source et le détecteur.

Le problème de la propagation d'ondes électromagnétiques pourrait (et doit parfois) être traité rigoureusement en appliquant les relations de Maxwell de propagation des ondes électromagnétiques, mais ceci est complexe. Dans bien des cas, on peut oublier l'aspect ondulatoire de la lumière et raisonner de façon plus simple en termes de trajectoires appelées les rayons lumineux. On rentre alors dans le cadre de l'optique géométrique. On peut d'ailleurs montrer qu'en partant des équations de Maxwell et en faisant tendre la longueur d'onde vers zéro, on obtient les relations fondamentales de l'optique géométrique. Cette démonstration sera vue ultérieurement dans le cours d'électromagnétisme de M. Greffet. Dans ce cours, nous partirons directement du principe de Fermat.

Puisqu'on néglige le caractère ondulatoire de la lumière, les phénomènes d'interférences, de polarisation (direction du champ électrique) et de diffraction sont ignorés (c'est le cadre du cours d'optique physique). De même les considérations énergétiques, objet du cours de photométrie, seront évoquées ici en lien avec l'étendue géométrique des faisceaux de rayons lumineux.

Dans un système optique, tous ces aspects sont imbriqués et il n'est pas toujours évident de choisir la meilleure approche. Le bon opticien, et de façon générale le bon physicien, sera celui qui sait choisir le modèle le plus simple et le moins faux permettant de décrire son système. En particulier, il faut savoir utiliser la simplification qu'apporte l'optique géométrique dès que c'est possible. Par exemple dans l'étude de la propagation des faisceaux lasers, pour lesquels la diffraction joue un rôle essentiel (c'est elle notamment qui conduit à leur répartition gaussienne d'intensité), un raisonnement en termes de rayons donne un résultat très satisfaisant en dehors des zones de focalisation du faisceau. Un autre exemple concerne la propagation des ondes dans les fibres optiques: avant de raisonner en termes de modes de propagation qui ont une forme mathématique complexe, des raisonnements simples basés sur des propagations de rayons permettent déjà de comprendre un grand nombre de phénomènes.

Quelques exemples expérimentaux où l'approximation de l'optique géométrique est mise en défaut:

- "ombre" d'un objet placé dans un faisceau laser: l'ombre géométrique est entourée de franges qui sont liées à de la diffraction à distance finie;

- diffraction par un trou de petite dimension: la lumière s'étale bien au-delà de ce qui aurait dû être un rayon lumineux.

Dans ces exemples, l'optique géométrique est mise en défaut par le fait qu'on cherche à imposer à la lumière une variation d'intensité sur une échelle de l'ordre de sa longueur d'onde.

Structure du cours d’optique géométrique de 1ère année

Une première partie (correspondant aux chapitres I à IV) rappelle les principes généraux de propagation des rayons lumineux et quelques applications (milieux inhomogènes, prismes) puis présente le problème du stigmatisme rigoureux, à savoir le fait que la plupart des systèmes optiques simples ne permettent pas de faire des images parfaites.

La seconde partie est consacrée à l’approximation de Gauss. Elle sera étudiée analysée d’abord dans le cas général (chapitre V), ce qui permettra de montrer que dans le cadre de cette approximation linéaire tous les systèmes optiques font des images parfaites (hors aberrations chromatiques). Le cas des dioptres, lentilles et associations de systèmes dioptriques (chapitres VI à VIII), puis celui des miroirs et des systèmes catadioptriques (chapitre IX) seront étudiés en détail.

La troisième partie aborde l’optique instrumentale, toujours dans le cadre de l’approximation de Gauss, où les éléments simples sont associés pour remplir certaines fonctions bien précises (observation de petits objets proches ou éloignés, photographie ou projection d’images,etc).

Elle comprend deux chapitres sur les propriétés générales des instruments, du point de vue des grandissements (chapitre X) et des champs (chapitre XI), et une introduction à l’étude de leurs propriétés photométriques (chapitre XII).

Ce polycopié se termine avec un chapitre sur les aberrations chromatiques, étudiées dans le cadre de l’approximation de Gauss. Les aberrations chromatiques seront désormais traitées intégralement dans le cours de 2ème année, toutefois ce chapitre a été maintenu provisoirement dans le cadre de ce poly.

Titre Auteurs Editeur

Optique J.Ph. Pérez Masson

géométrique, ondulatoire et polarisation 4e edition 1993

Cours de Physique Générale G. Bruhat Masson

Optique A. Kastler 6e édition 1992

Le cours de Physique de Feynman Feynman Interéditions

optique: chapitres 26 à 33 du tome Mécanique 2 Leighton, Sands

Cours de Physique I : Optique A. Moussa Desvigne

tome II: Exercices avec solutions P. Ponsonnet ed 1992

Optics E. Hecht Addison-Wesley

2nd ed 1987

Principles of optics M. Born Pergammon Press

E. Wolf 6th ed 1980

Lumières Léna Interéditions

Blanchard 1990

Traité d’Optique Instrumentale A. Maréchal Revue d’Optique 1ère section-la formation des images théorique et instrumentale Tome 1: Imagerie géométrique

Aberrations

PRINCIPES GENERAUX

Plusieurs approches sont possibles avec comme principe de départ le principe de Fermat, ou le principe d'Huyghens, ou la détermination expérimentale des lois de la réfraction et de la réflexion; elles conduisent toutes à un bon accord avec les observations expérimentales. Il s'agit donc suivant le problème posé de choisir l'approche la mieux adaptée.

Nous en verrons un exemple avec l'utilisation du principe de Fermat pour l'étude des milieux à gradient d'indice (milieux non homogènes); un autre exemple sera vu en optique physique lors de l'étude des milieux biréfringents (anisotropes) où la construction d'Huyghens est très utilisée.

Il est peut-être utile de rappeler les notions de milieux homogènes et de milieux isotropes qui seront souvent évoquées par la suite.

*Un milieu est homogène pour l'onde lumineuse si l'indice ne dépend pas du point considéré dans le milieu à l'échelle de la longueur d'onde.

*Un milieu est isotrope pour l'onde lumineuse si l'indice ne dépend pas de la direction de polarisation de la lumière.

Exemples: Une fibre optique dont l'indice décroît avec la distance à l'axe (fibre à gradient d'indice) est un exemple de milieu inhomogène et isotrope. Un cristal parfait dont la maille élémentaire n'a pas la symétrie de révolution (milieu biréfringent par exemple le quartz) est un milieu anisotrope mais homogène.

Ici le principe de Fermat a été choisi comme point de départ, et nous verrons comment on peut en déduire les lois fondamentales de propagation de la lumière.

I. Principe de Fermat

Lorsqu’on est à la recherche d’un principe général décrivant la propagation de la lumière, il est naturel dans un premier temps d’admettre que la lumière suit le trajet correspondant au temps le plus court. En effet, un tel principe permet de décrire les propriétés bien connues, à savoir la propagation rectiligne de la lumière lorsque le milieu est homogène et isotrope, ou la propriété de retour inverse de la lumière. On peut aussi montrer qu'il conduit aux lois de la réflexion et de la réfraction à une interface plane.

Par contre, il ne suffit pas à inclure le cas d'une source et d'un détecteur placé côte à côte au voisinage d'un miroir courbé. D'une part, il y a deux chemins possibles pour la lumière: le plus court dans l'absolu est la droite reliant la source au détecteur, mais un autre plus long est possible, incluant une réflexion sur le miroir. De plus suivant la courbure du miroir, ce deuxième chemin peut être un minimum local, un maximum local ou une constante.

La constante correspond au cas où le miroir est une ellipse dont source et détecteur sont les foyers, le maximum local à un miroir de courbure plus grande que celle de cette ellipse, le minimum local à une courbure plus faible (notamment un miroir plan ou convexe).

miroir elliptique

temps constant

sauf pour trajet direct maximum local de temps

pour trajet réfléchi minimum local de temps pour trajet réfléchi

C’est le physicien Pierre de Fermat qui a énoncé un principe de propagation de la lumière plus complet, incluant notamment la situation précédente:

Enoncé du principe de Fermat:

La lumière suit le trajet correspondant à un chemin optique stationnaire.

Rappelons d'abord la signification de ces termes:

1) définition du chemin optique

On considère une trajectoire quelconque entre deux points A et B (c'est-à-dire pas forcément une trajectoire suivie par la lumière), dans un milieu caractérisé par son indice n qui dépend du point.

A

B

ds

Si la lumière suivait ce trajet, elle mettrait un temps T pour le parcourir qui peut s'écrire:

³

Adsv T

où v cn est la vitesse de propagation de l'onde dans un milieu d'indice n.

Le chemin optique L correspondant à cette trajectoire est la distance parcourue par la lumière pendant le temps T si elle se propage dans le vide. L s'écrit donc:

³

A

nds cT L

2) chemin optique stationnaire

Ceci signifie que le chemin optique varie lentement lorsqu'on déforme la trajectoire, ce qui en termes mathématiques se traduit par:

wL 0 au 1er ordre en M w

où est un déplacement élémentaire d'un point M quelconque de la trajectoire AB, hormis les extrémités A et B.

wM

3) discussion

Cet énoncé du principe de Fermat permet cette fois de rendre compte de la réflexion sur le miroir courbé: un minimum (absolu ou local) de temps de parcours, ou un maximum,

suivies par la lumière dans les milieux inhomogènes (fibres à gradient d'indice par exemple).

On parlera souvent abusivement de chemin optique entre deux points A et B sans préciser pour quelle trajectoire, auquel cas on sous-entend le chemin effectivement suivi par la lumière (donc celui qui est stationnaire). Dans le cas particulier d'un milieu homogène et isotrope d'indice n uniforme, ce chemin optique sera tout simplement L nAB. Dans le cas d'un milieu anisotrope, les rayons et les vecteurs d'onde ne sont plus colinéaires et le chemin optique doit être compté le long des vecteurs d'onde avec l'indice correspondant à la vitesse de propagation de l'onde.

L'image physique que nous donne le principe de Fermat dépasse le cadre de l'optique géométrique. En effet, il suggère que la lumière "teste" différents trajets afin de déterminer le plus court. Ceci se fait sur une distance qui est de l'ordre de la longueur d'onde optique, et ceci nous permet d'interpréter en ces termes l'expérience de diffraction par une ouverture circulaire (l'étalement de la lumière sous l'effet de la diffraction est d'autant plus grand que la dimension de l'ouverture est proche de la longueur d'onde de la lumière). Ce type d'approche variationnelle en termes de chemins possibles se retrouve dans d'autres domaines de la physique: principe de moindre action en mécanique classique, intégrales de Feynman en Mécanique Quantique (à titre éducatif, je vous conseille la lecture des chapitres 26 et suivants consacrés à l'optique dans le cours de physique de Feynman).

II. Conséquences du principe de Fermat - Lois de Snell- Descartes Nous avons déjà vu deux conséquences immédiates du principe de Fermat:

- la propagation rectiligne de la lumière dans le cas d'un milieu homogène

- le trajet suivi par la lumière ne dépend pas du sens de parcours, quel que soit le milieu de propagation (notons que ceci ne précise rien sur la répartition d'énergie dans les faisceaux aller et retour, en particulier lorsqu'on prend en compte les phénomènes de polarisation).

Nous allons voir maintenant que le principe de Fermat permet également de retrouver les lois de la réfraction et de la réflexion à la traversée d'une surface séparant deux milieux homogènes.

1) Expressions vectorielle et angulaire des lois de Snell-Descartes

La préférence nationale fait que ces lois sont souvent appelées lois de Descartes en France et lois de Snell dans les pays anglo-saxons. En fait elles ont été établies indépendamment par le hollandais Willebrord Snell en 1621 et par le français René Descartes en 1637. Quelques siècles plus tôt, les Grecs avaient déjà établi expérimentalement la loi de la réflexion et fait des mesures précises (sans toutefois trouver la loi) sur la réfraction. Nous allons ici inverser la chronologie puisque nous allons redémontrer ces lois à partir du principe posé par le français Fermat en 1657.

séparant deux milieux homogènes d'indice n₁ et n₂. On sait que les trajets dans les milieux homogènes sont des segments de droite, il nous reste donc à déterminer le point I d'impact sur le dioptre correspondant à un chemin optique de A à B stationnaire.

A

B I

n1 n2 u1

u2 N

Le chemin optique AIB s'écrit:

L n₁AIn₂IB n₁AI u. ₁n₂IB u. ₂

Ici comme dans toute la suite, les vecteurs seront représentés par des caractères gras (pas de flèches).

Le chemin optique effectivement suivi par la lumière doit être stationnaire vis-à-vis d'un déplacement de I d'une quantité wI le long de la surface du dioptre, ce qui s'écrit:

'L n₁wI u. ₁n₂wI u. ₂ 0

(les termes du type AI u.w ₁ sont nuls puisque le module de u₁ est constant).

Le vecteur n est donc orthogonal au vecteur wI, c'est-à-dire colinéaire à la normale au dioptre N, ce qui peut s'écrire (avec a nombre réel):

1u₁n2u₂

N n₁u₁n₂u₂ a

On peut exprimer le coefficient a en fonction des angles i₁ et i₂ (compris entre -90° et +90°, et comptés algébriquement de la normale vers le rayon) en multipliant scalairement la relation par N, et on a:

n₁u₁n₂u₂ ( cosn₁ i₁n₂cos )i₂ N

Ceci est la loi de Snell-Descartes vectorielle relative à la réfraction. On peut l’exprimer de façon équivalente sous la forme des deux propriétés suivantes:

- le rayon réfracté est contenu dans le plan d'incidence, plan défini par le rayon incident et la normale au dioptre;

- en se plaçant dans le plan d'incidence et en multipliant vectoriellement la loi précédente par N, on obtient la loi de la réfraction:

n₁sini₁ n₂sini₂

Le cas d’une réflexion se traite de façon analogue à celui de la réfraction en définissant les vecteurs u₁ et u₂ de la façon suivante:

A

B I

n1

u1 u2

N

- le rayon réfléchi est contenu dans le plan d'incidence - i₁ i₂

On peut noter que les lois de la réflexion sont contenues dans les lois de la réfraction en prenant n₁ n₂ et la convention précisée plus haut sur les vecteurs unitaires.

2) Quelques conséquences pratiques

a) on se rapproche de la normale lorsqu'on se réfracte dans un milieu plus réfringent (d'indice plus fort) et on s'en écarte lorsqu'on passe dans un milieu moins réfringent.

b) le principe de retour inverse de la lumière nous permet de voir que par réfraction à travers une lame à faces planes et parallèles (ou plusieurs superposées), un rayon ressort toujours parallèle à lui-même.

c) au passage vers un milieu moins réfringent (par exemple de l'eau d'indice 1.3 vers l'air d'indice 1), il existe un angle limite au-delà duquel il n'y a plus réfraction. C'est le phénomène de réflexion totale qui se produit pour un angle d'incidence limite i_l donné par:

sini n

1 n2 1

Cet angle vaut environ 42° au passage verre (n=1.5)/air et 49° au passage eau/air. Ce phénomène permet par exemple d'utiliser un prisme rectangle comme miroir:

45°

Ce type de miroir est intéressant car il est parfaitement réfléchissant (à condition que la surface soit propre) quelle que soit la longueur d'onde et il peut supporter des puissances élevées car il n'y a pas d'absorption (hormis celle du verre, qui peut être très faible si on utilise de la silice). On l'utilise donc en particulier dans l'ultraviolet où les bons traitements réfléchissants sont difficiles à faire ainsi que pour les faisceaux lasers impulsionnels où la puissance instantanée est élevée.

Une autre application importante de ce phénomène de réflexion totale est la propagation de la lumière dans les fibres optiques (ou dans les guides d'onde en général). Le schéma suivant en donne une illustration dans le cas d'une fibre à saut d'indice (coeur d'indice légèrement plus grand que celui de la gaine):

gaine protectrice en plastique

d) du point de vue énergétique, la seule indication que nous donne l'optique géométrique est l'existence de cet angle limite au-delà duquel le coefficient de réflexion vaut 1. La théorie électromagnétique est nécessaire pour déterminer la répartition d'énergie entre l'onde réfléchie et l'onde réfractée, qui dépend de l'angle d'incidence et de l'état de polarisation de la lumière incidente. Sans rentrer dans le détail de l'expression exacte des coefficients de réflexion et de transmission (ils seront vus dans le cours d'électromagnétisme), il est utile de connaître les résultats suivants:

- au voisinage de l'incidence normale, le coefficient de réflexion en intensité entre deux milieux d'indice n₁ et n₂ vaut:

2 2 1

2

1 ¸

¹

¨ ·

©

§ n n

n R n

En particulier sur une face d’une lame de verre d'indice 1.5, 4% de l'intensité est réfléchie alors que sur les facettes d'une diode laser en AsGa d'indice 3.5 ce même coefficient vaut environ 30% (longueurs d’onde visibles).

- il existe un angle d'incidence pour lequel le coefficient de réflexion s'annule pour l'une des polarisations (polarisation=direction du champ électrique parallèle au plan d'incidence): c'est l'incidence de Brewster donnée par tgi_B n n₂/ ₁. Cet angle vaut environ 56° pour une réflexion air/verre.

III. Lien rayons/surfaces d'onde: théorème de Malus-Dupin.

Comme nous l'avons dit dans le chapitre précédent, l'optique géométrique est une approximation qui permet de caractériser de façon simplifiée la propagation de la lumière en termes de rayons lumineux. On peut grâce par exemple aux lois de Snell-Descartes, calculer la trajectoire d'un rayon quelconque à travers un système, et ce pour un grand nombre de rayons (principe du calcul optique par ordinateur). Il est alors important de pouvoir relier ces rayons à l'aspect ondulatoire, afin de pouvoir faire intervenir les phénomènes d'interférence ou de diffraction.

Nous allons montrer ici comment relier les rayons aux surfaces d'onde dans le cas d'un milieu isotrope.

1) Rappel sur les surfaces d'onde

Une surface d'onde est une surface équiphase du champ électromagnétique. Elle est obtenue à partir d'un point source en portant le même chemin optique le long de toutes les trajectoires. Pour un point source S à distance finie dans un milieu homogène et isotrope, les surfaces d'onde sont donc des surfaces de sphères centrées en S. Si le point source est à l'infini, les surfaces d'onde deviennent des plans.

Dans un milieu isotrope, les surfaces d'onde sont orthogonales aux rayons lumineux.

Cette propriété peut se montrer de façon générale à partir des équations de Maxwell:

on montre alors que les surfaces équiphases sont orthogonales au vecteur d'onde, parallèle au vecteur de Poynting dans le cas d'un milieu isotrope. Nous allons ici utiliser le principe de Fermat.

a) différentielle d'un chemin optique le long d'un rayon lumineux

Nous allons ici nous limiter au cas d'une succession de milieux homogènes et isotropes séparés par des dioptres. Nous verrons dans le chapitre III que cette expression se généralise aux milieux inhomogènes.

Considérons un rayon lumineux reliant le point A au point B, en traversant un dioptre :

A

I B

I' B'

u

milieu homogène et isotrope d'indice nA

milieu homogène et isotrope d'indice n B

A'

A uB

Le chemin optique AB vaut:

L (AB) n_Au AI_A. n_Bu IB_B.

La différentielle de ce chemin optique, c'est-à-dire l'écart de chemin optique par rapport à une trajectoire voisine A'B', s'écrit:

w w w w w

w w w

L n n

L n n n n

A B

A B B A w

u . I A u . B I

u u . I u . B u . A

A B

A B B A

( ) ( )

( )

Comme AIB est un chemin suivi par la lumière, la loi de Snell-Descartes est vérifiée à l’interface: le premier terme dans wL est donc nul. Il reste donc comme expression de la différentielle du chemin optique:

wL n_Bu . B_B w n_Au . A_A w

Le long d'un rayon lumineux, la différentielle du chemin optique ne dépend que des déplacements de ces deux extrémités. Cette expression sera souvent utilisée par la suite.

b) démonstration du théorème de Malus-Dupin

Les surfaces d'onde sont construites à partir d'un point source A en portant le long des rayons lumineux (trajectoires qui peuvent être suivies par la lumière) des chemins optiques égaux. Nous allons montrer que, d'un milieu homogène au suivant, les surfaces d'onde restent forcément orthogonales aux rayons.

Prenons le point source A dans un premier milieu homogène et isotrope. Les rayons lumineux sont des droites, et les surfaces d'onde issues de A sont des sphères: elles sont bien orthogonales aux rayons lumineux. La propriété est vraie dans ce premier milieu.

A

B B'

surface d'onde

u u

milieu homogène

et isotrope d'indice n milieu homogène

et isotrope d'indice n A

A

B B

Les rayons lumineux reliant A à B et A à B' correspondent au même chemin optique par définition de la surface d'onde. D'autre part on peut écrire la différence entre ces deux chemins optiques grâce à la relation précédente, en utilisant le fait que le point A lui n'a pas bougé:

wL n_Bu BB_B. '

wL est nul, donc le rayon est orthogonal à la surface d'onde.

IV Construction d'Huyghens et construction par la surface des indices

Nous allons voir deux méthodes graphiques pour tracer les rayons réfractés par un dioptre plan: la première utilise les relations de Snell-Descartes, la deuxième est basée sur le principe d'Huyghens que nous rappellerons.

1) Construction à partir des surfaces des indices.

Les relations de Snell-Descartes en termes d'angles permettent de construire les rayons réfractés et réfléchis géométriquement à partir du rayon incident comme le montre la figure suivante:

n1 n2

i1

i2

Ce type de constructions sera peu utilisé dans la suite de ce cours. Par contre on le retrouvera dans le cours d'optique physique lors de l'étude des milieux anisotropes.

proche en proche. Chacun des points d'une surface d'onde se comporte comme une source secondaire qui émet des ondelettes sphériques (dans un milieu isotrope). L'enveloppe des ondelettes correspondant au même chemin optique forme une nouvelle surface d'onde.

On considère une onde plane incidente sur le dioptre plan avec un angle d'incidence i1

par rapport à la normale.

L/n1 i1

i2 I

A B

K J

L/n2

6₁

62

Prenons un rayon correspondant à cette onde et traçons à partir du point I d'impact sur la surface un cercle de rayon L/n₁ (L est une longueur arbitraire). En l'absence de dioptre, la lumière aurait atteint le point A avec un retard L/c par rapport au point I.

On trace ensuite un deuxième rayon incident, parallèle au premier, tel qu'il atteigne la surface en un point K au même moment où on atteint le point A. On construit ce rayon en traçant la tangente au cercle L/n₁ en A: K est à l'intersection de la tangente et du dioptre.

On applique le principe d'Huyghens à partir de la surface d'onde incidente plane 6₁ passant par I (J sur le deuxième rayon). On veut construire la surface d'onde 6₂ atteinte après un temps L/c. La distance JK est justement égale à L/n₁, donc K appartient à la nouvelle surface d'onde 6₂. A partir du point I, on se propage dans le milieu d'indice n₂ donc la longueur parcourue vaut L/n₂. L'ondelette issue de I correspond à une sphère de centre I et de rayon L/n₂. La nouvelle surface d'onde est l'enveloppe des ondelettes: elle est donc tangente à la sphère L/n₂. Finalement on obtient 6₂ en traçant la tangente au cercle de rayon L/n₂ passant par K.

Le rayon réfracté est normal à la nouvelle surface d'onde: il passe donc par le point B de tangence avec le cercle L/n₂.

Remarque: on peut également justifier cette construction à partir des relations de Snell-Descartes en remarquant que:

IA

IK et IB

sini₁ IK sini₂

APPLICATION DU PRINCIPE DE FERMAT AUX MILIEUX INHOMOGENES

Le but de ce chapitre est de présenter quelques propriétés de la propagation de la lumière dans les milieux inhomogènes, d'une part en tant qu'application du principe de Fermat, d'autre part pour expliquer des phénomènes naturels tels que les mirages ou la réfraction atmosphérique ou encore le fonctionnement des fibres et des lentilles à gradient d'indice. Il s'agit d'une introduction à l'étude de ces milieux.

I. Introduction

Considérons un milieu inhomogène simple dont l'indice n est indépendant de x et y et augmente linéairement avec z. On peut essayer de deviner comment vont se propager les rayons dans un tel milieu en appliquant les lois de la réfraction sur des tranches infiniment fines de hauteur dz.

z

y x

n-dnn n-2dn

...

Au fur et à mesure que l'indice diminue, l'angle réfracté augmente et le rayon se courbe. Afin d'avoir une approche un peu plus quantitative, nous allons revenir au principe de Fermat.

II. Trajectoire d'un rayon lumineux dans un milieu inhomogène.

1) Calcul de la différentielle d'un chemin optique

Considérons un chemin optique quelconque entre deux points A et B dans un milieu inhomogène d'indice n(x,y,z) et calculons l'écart à un chemin très proche A'B'.

A

B

A'

B'

Le chemin optique de A à B s'écrit:

ds n L

³

A

L'écart entre les chemins optiques A'B' et AB s'obtient en différentiant L:

³ ³

A A

Signalons bien la différence entre la notation dx qui représente un déplacement élémentaire le long d'un trajet donné et la notation wx qui représente la variation de la quantité x lorsqu'on passe du chemin AB au chemin voisin A'B'.

Le premier terme de wL correspond à l'effet de la variation d'indice wn lorsqu'on passe d'un point M de la trajectoire initiale à un point voisin M' de la trajectoire déformée tel que MM' = w0. wn s'écrit à partir du vecteur (grad n) pris au point M:

wn gradn.wM

Le deuxième terme dans wL correspond à la variation de longueur du trajet. Pour évaluer la variation w(ds), on va agrandir une zone élémentaire des trajectoires initiale et déformée:

M M'

M1 M'1

MM' = wM MM₁ = dM = ds u M₁M'₁ = wM + d(wM) M'M'₁ = dM + w(dM)

Notons qu'en écrivant MM' M'M'₁ MM₁ + M₁M'₁, on peut identifier d(wM) et w(dM).

La variation de longueur w(ds) peut s'écrire:

w( ) w( ) w( ) w w

( ) ( )

ds dM.dM dM .dM/ d

dM.dM dM .u M .u

1/2

1 2

Finalement la variation de chemin optique wL se récrit:

³

³

A B

A

( M) u.

M .

grad w w

wL n ds n d

Le deuxième terme peut s'intégrer par parties:

> @ ³

³

A B A B

A

(

( M u. M u . M

u.dw ) n w dn )w n

On obtient alors:

B )

A A

B ds

ds n n d n

n

L u_B.wB u_A.wA grad u .wM

w

³

2) Application du principe de Fermat. Equation d'un rayon lumineux.

les points A et B est celui qui est stationnaire. Entre d'autres termes, si on déforme la trajectoire suivie par la lumière à A et B fixes, la différentielle du chemin optique doit être nulle. On peut exprimer cette différentielle grâce à la formule précédente, où wA et wB sont nuls puisque A et B sont fixes. wL devant être nul quel que soit la déformation de la trajectoire, c'est-à-dire quel que soit wM, la trajectoire suivie par la lumière doit vérifier:

d n

ds n

( u)

grad

Cette équation définit la trajectoire d'un rayon lumineux dont u est le vecteur tangent, dans un milieu inhomogène caractérisé par le vecteur grad n en tout point. On peut encore écrire cette équation en fonction de R rayon de courbure de la trajectoire, u et N vecteurs unitaires respectivement tangent et normal au rayon:

u N d

ds R

u N

avec R >0 en prenant N dirigé vers le centre de courbure; d'où la nouvelle équation du rayon lumineux:

dn ds

n

R n

u N

grad

En multipliant scalairement les deux membres de cette équation par N, on obtient l'expression de la courbure de la trajectoire:

1 1

R n grad N n.

Comme R est positif, l'angle entre grad n et N est toujours inférieur à 90°. La concavité de la trajectoire est donc toujours tournée dans le sens du vecteur grad n (vers les zones de plus fort indice). C'est d'ailleurs bien ce qu'on avait trouvé avec le raisonnement simpliste de l'introduction.

Remarque: dans le cas où on déforme la trajectoire correspondant au rayon lumineux en déplaçant ses extrémités A et B, la différentielle du chemin optique s'écrit:

wL n_Bu . B_B w n_Au . A_A w

On retrouve le résultat qu'on avait démontré au chapitre précédent dans le cas de milieux homogènes séparés par des dioptres. La différentielle du chemin optique le long d'un rayon lumineux ne dépend que du déplacement des extrémités.

III. Exemples d'application 1) Mirages

1.0003) diminue quand la température augmente ('n/'T = -10^-6 /°C).L'air au voisinage du sol est donc un milieu inhomogène dont le vecteur grad n est vertical dirigé vers le haut. Les rayons provenant d'un objet s'incurvent et atteignent l'observateur en semblant s'être réfléchis sur une surface réfléchissante telle une nappe d'eau.

L’effet mirage est aussi utilisé à l’étude des caractéristiques thermiques de matériaux par voie optique en mesurant le déplacement d’un faisceau en fonction de l’échauffement.

2) Réfraction atmosphérique

L'atmosphère terrestre présente une variation continue de l'indice avec l'altitude liée à la diminution de sa densité: on passe d'environ 1.0003 au niveau du sol à 1 lorsqu'on atteint le vide. Les rayons issus d'une étoile se courbent à la traversée de l'atmosphère de telle sorte que l'angle sous lequel cette étoile est vue depuis la Terre est modifié (environ 1' d'arc).

étoile angle réel

Terre

atmosphère angle apparent

En particulier, le soleil peut être encore visible alors qu'il a dépassé la ligne théorique d'horizon. Si on ajoute à cela le fait que les rayons de courte longueur d'onde (bleu) sont plus déviés que ceux de plus grande longueur d'onde (rouge) car l'indice est plus fort aux courtes longueurs d'onde, et le fait que la sensibilité de l'oeil est maximale dans le jaune-vert, ceci explique le phénomène du "rayon vert", visible au crépuscule juste avant que le soleil ne se couche ou le matin juste avant qu'il se lève (à condition que les conditions météo soient très bonnes, et de préférence en montagne).

3) Fibres optiques et lentilles à gradient d'indice

Nous avions évoqué au chapitre précédent les fibres optiques à saut d'indice, formées de deux milieux homogènes, le coeur d'indice plus fort et la gaine d'indice plus faible, dans lesquelles la propagation peut s'expliquer en termes de réflexion totale à l'interface coeur- gaine (une étude plus complète de la propagation dans les guides d'onde en termes de modes du champ électromagnétique sera vue dans le cours d'électromagnétisme au 2e semestre de 1ère année, et l'utilisation de ces fibres pour les télécommunications fait partie d'un cours d'option de 3e année).

indice

distance au centre

de la fibre p/2

On peut montrer que pour un gradient d'indice bien choisi (du type n = n₀ - Dr²), toutes les trajectoires sont sinusoïdales de même période p. Si on coupe une section d'une telle fibre d'une longueur inférieure à p/2, on obtient alors une lentille à gradient d'indice dont les caractéristiques dépendent de la longueur choisie.

Références bibliographiques relatives à ce chapitre: chapitre 17 de « Optique géométrique, ondulatoire et polarisation » par J. Ph. Pérez, (Masson); chapitre 5 de « Lumières » par P.

Léna et A. Blanchard, (Interéditions).

CHAPITRE III

APPLICATION DES LOIS DE DESCARTES A L’ETUDE DES PRISMES

Un prisme est un milieu transparent limité par des dioptres plans non parallèles. Dans ce cours nous nous limiterons au cas des prismes taillés dans un milieu homogène et isotrope.

Il existe d'autres types de prismes formés de milieux biréfringents (Wollaston, Rochon, etc) permettant de modifier la polarisation de la lumière, qui seront vus dans le cours d'optique physique.

Nous verrons deux types de prismes: les prismes dispersifs, utilisés pour séparer les longueurs d'onde d'un spectre optique, et les prismes à réflexion dont nous avions vu un exemple avec le prisme rectangle (cf chap. I). Les premiers mettent à profit la réfraction par un milieu d'indice n dépendant de la longueur d'onde, les seconds utilisent surtout les propriétés de la réflexion, notamment en ce qui concerne le retournement et l'inversion des images.

I. Prismes dispersifs

Un prisme dispersif typique est formé de deux dioptres plans formant un dièdre d'arête ' et d'angle A inférieur à 90°.

A '

base

plan de section principale

A est appelé l'angle du prisme, la troisième face (verticale sur la figure) est la base, et un plan orthogonal à l'arête ' est un plan de section principale du prisme. On ne s'intéressera dans la suite qu'à des rayons situés dans un plan de section principale.

1) Formules du prisme: déviation d'un rayon incident

A i

i' r r'

D

A

i-r i'-r'

suivantes:

sini nsinr sin 'i nsin 'r r r ' A

D i r i r ' ' i i' A

Remarque: en ce qui concerne les signes, les angles sont pris tous positifs pour une configuration du type de celle de la figure ci-dessus, qui est la plus courante pour les prismes dispersifs. Si on applique ces relations au cas général, le cas r’<0 par exemple correspondra à un rayon interne situé au-dessous de la normale au dioptre de sortie (cas d’un prisme d’angle A faible). Avec cette convention, les sens positifs des angles sont donc définis différemment à l’entrée et à la sortie, mais ceci présente l’avantage de garder la symétrie due au retour inverse de la lumière.

On peut tirer de ces relations l'expression de D en fonction de i:

¿¾½

¯®­

»¼º

«¬ª

arcsin sin arcsin(sin) ni A

n A

i D

Cette expression est peu sympathique et il va être plus facile de déterminer les propriétés du prisme en partant des quatre relations précédentes et en étudiant la dépendance de D avec l'angle A, l'incidence i et l'indice n successivement. C'est ce que nous allons faire dans ce qui suit.

On peut toutefois remarquer que l'expression de D devient très simple dès lors que les angles A et i sont suffisamment faibles pour qu'on puisse linéariser les lois de réfraction. On obtient alors:

D i i A i n A i

n A

' ( ) D (n1)A

2) Dépendance de la déviation avec l'angle du prisme A

Un raisonnement simple permet de trouver que D augmente quand A augmente, à i et n fixés: si A augmente, r' augmente, donc i' augmente. On peut aussi obtenir l'expression de dD/dA en différentiant les quatre relations du prisme à i et n constants:

cos ' 'i di ncos ' 'r dr dr' dA dD di dA' dD

dA

n r

i

cos '

cos ' 1 0!

Une conséquence importante de cette relation est le fait que la déviation D, nulle pour A nul, est forcément positive (avec la définition du sens de D indiquée sur la figure). Autrement dit la déviation se fait vers la base du prisme.

3) Influence de l'angle d'incidence i. Conditions d'émergence d'un rayon.

Nous nous sommes placés jusqu'ici dans le cas où le rayon incident ressort du prisme après deux réfractions. La première réfraction est toujours possible (il y a bien sûr aussi une

deuxième dioptre verre/air, il peut y avoir réflexion totale qui empêche l'émergence du rayon.

Voyons les conditions dans lesquelles il y a émergence du rayon.

a) condition nécessaire sur l'angle du prisme A La condition de non réflexion totale sur le deuxième dioptre s'écrit:

n r r i i

sin 'd1 ' d sin n1

ou encore _l avec _l

En particulier r'=Ar doit être inférieur à l'angle limite i_l (la condition Ar t i_l est automatiquement remplie avec A>0). D'autre part, l'angle réfracté r le plus grand est tel que nsinr=1, donc r est forcément inférieur à i_l. Finalement on a une condition sur A:

A r id d_l 2i_l

On voit donc que pour un matériau d'indice n=1.5 par exemple, tout prisme dispersif devra avoir un angle au sommet inférieur à 2arcsin(1/n)=84°.

b) conditions sur l'angle d'incidence i

Le plus simple est de faire une figure représentant les zones accessibles à l'intérieur du prisme d'une part, pour les rayons entrants réfractés sous l'angle r, et d'autre part, pour les rayons d'angle r' pouvant émerger.

A

i_" i_"

Les rayons pouvant émerger sont ceux qui sont à la fois inclus dans les deux zones angulaires grisées (on retrouve dans la condition pour qu’il y ait un recouvrement non nul la condition sur l’angle du prisme A ci-dessus). Pour le cas de cette figure où A est plus grand que i_l:

A

i_"

i_"

i₀ i₀

On peut à partir de ces figures déterminer les angles limites incidents et les angles émergents correspondants. Compte tenu de la propriété de retour inverse de la lumière, la plage angulaire accessible est la même à l'entrée et à la sortie. Pour le cas de la figure où A>i_l, on a:

i₀d d Si /2 avec sini₀ nsin(A i _l)

Le cas où A est plus faible que i pourra être fait en exercice en utilisant une figure pour éviter les erreurs de signe sur les angles.

4) Variation avec l'angle d'incidence i. Minimum de déviation.

On s'intéresse ici à la variation de la déviation D lorsqu'on fait varier l'angle d'incidence i dans la plage où il y a émergence du rayon.

Une première remarque que l'on peut faire est que, du fait du retour inverse de la lumière, si l'angle d'incidence i émerge avec un angle i', un rayon d'incidence i' va émerger du prisme sous un angle i. Si izi', il existe donc deux angles d'incidence qui donnent la même déviation D. Entre ces deux valeurs d'angle d'incidence, la variation de D est continue donc elle va forcément passer par un extremum (minimum ou maximum), et cet extremum ne peut se produire que lorsque les angles incident et émergent sont égaux. Dans ce cas, les relations du prisme donnent:

r A

i n A

2 m arcsin( sin )2

D n A

m 2 A

arcsin( sin )2

Pour voir qu'il s'agit d'un minimum et non d'un maximum, on va revenir aux relations liant les angles que l'on va différencier à A et n constants:

cosi di ncosr dr cos ' 'i di ncos ' 'r dr

dr dr ' 0 dD

di

di di di

r r

i i ' cos '

cos cos cos ' 1

On retrouve bien que dD/di s'annule pour i i' i_m. D'autre part on voit que pour i S/2, cette dérivée vaut : elle est donc positive entre i_m et S/2, et i_m correspond donc à un minimum de D.

La détermination expérimentale de ce minimum de déviation est aisée, à condition de disposer le prisme sur un support réglable en orientation par rapport au faisceau incident. A partir de la mesure de D_m, on peut alors en déduire la valeur de l'indice du matériau grâce à l'expression suivante:

n A D

A m

sin ( )

sin

2 2

Cette méthode couramment utilisée sera vue en Travaux Pratiques.

5) Dispersion. Exemples de prismes dispersifs.

A partir des quatre relations du prisme, on peut déjà voir que la déviation augmente avec l'indice: à i donné, si n augmente, r diminue, donc r' augmente et i' augmente. Or dans la plupart des matériaux, l'indice diminue quand la longueur d'onde augmente (dispersion dite normale). On voit donc que le prisme va dévier la lumière bleue plus fortement que la lumière rouge.

Par exemple un prisme en verre BK7 (encore appelé crown) d'angle A=60°, éclairé en lumière blanche sous un angle d'incidence de 40°, va dévier le bleu (O=400nm, n_BK7=1.530) d'un angle D_B = 41.8° et le rouge (O=650nm, n=1.516) d'un angle D_R=40.2°.

Rmq: un autre matériau couramment utilisé est le flint dont la dispersion est plus grande mais la qualité optique moins bonne.

n cette fois), les relations du prisme. Pour un angle d'incidence i et un angle du prisme A fixés, la variation de n entraîne une variation de r, r', i' et D:

0 ncosr drsinr dn cos ' 'i di ncos ' ' sin 'r dr r dn

dr dr ' 0 dD

dn di dn

A

r i

' sin

cos .cos '

Signalons enfin qu'à part le prisme dispersif à deux dioptres décrit plus haut il existe deux autres formes utiles de prismes dispersifs, dont la particularité est de présenter une valeur du minimum de déviation D_m indépendante de l'indice donc de la longueur d'onde.

Cette valeur D_m vaut 90° pour le Pellin-Broca et 60° pour le prisme d'Abbe, et elle correspond dans les deux cas à des angles réfractés de 30°, identiques à l'entrée et à la sortie.

La différence avec le prisme dispersif précédent vient du fait qu'il y a une réflexion totale, ce qui conduit notamment à des angles i et i' de même sens.

Pour faciliter la compréhension de la marche des rayons, nous avons représenté ces deux prismes comme la juxtaposition de trois prismes dont les limites sont indiquées en pointillés:

prisme de Pellin-Broca prisme d'Abbe

60°

60°

30°45°

30°

90°

60°

60° 60° 60°

60°

30°

30°

30°

120°

Prenons l'exemple du Pellin-Broca. Si on envoie un faisceau parallèle de lumière blanche sur ce prisme et qu'on observe dans une direction fixe à 90° de la direction incidente, on va sélectionner dans cette direction une longueur d'onde qui va dépendre uniquement de l'orientation du prisme, et qui correspondra toujours au minimum de déviation pour cette longueur d'onde.

II. Prismes réfléchissants

Nous allons maintenant voir un type complètement différent de prismes, puisqu'on souhaite maintenant utiliser les propriétés de réflexion (totale ou avec traitement réfléchissant) à l'intérieur des prismes et éviter la dispersion. Ces prismes seront utilisés soit pour dévier des faisceaux, soit pour modifier l'orientation d'images (appareil photo reflex, jumelles), parfois les deux. Ils se rapprochent plus par conséquent des associations de miroirs.

Ils ont sur les miroirs l'avantage d'être monolithiques, ce qui fait qu'ils sont réglés par construction et moins sensibles aux vibrations. De plus, dans le cas de prismes à réflexion totale, les coefficients de réflexion sont élevés sur une très large plage de longueur d'onde.

La première condition à remplir pour qu'un prisme réfléchissant remplisse son rôle est d'éviter ou de réduire la dispersion, qui est a priori liée au phénomène de réfraction à l'entrée et à la sortie du prisme. Voyons comment on peut remplir cette condition sur un exemple de prisme réfléchissant simple. Il s'agit d'un prisme isocèle d'angle au sommet A qui ressemble fort au prisme dispersif vu plus haut sauf en ce qui concerne le trajet utilisé:

A

i'

r r'

i

D D

D

La symétrie de ce prisme isocèle conduit à l'égalité des angles r et r' d'une part et i et i' d'autre part et on obtient pour la déviation:

D 2i A,

en prenant tous les angles positifs sur la figure (attention ce n'est plus la même convention de signe que pour le prisme dispersif). D est donc indépendante de l'indice donc de la longueur d'onde. Par opposition au prisme dispersif, un tel prisme sera appelé prisme achromatique.

Remarque: la réflexion interne sur la base du prisme peut soit être une réflexion totale (ce qui limite la plage d'angles d'incidences utilisables), soit être obtenue par métallisation de la surface du prisme.

On peut interpréter la propriété d'achromatisme du prisme ci-dessus par une autre méthode. Traçons, par symétrie par rapport au plan du miroir constitué par la base du prisme, le trajet symétrique des trajets avant réflexion:

A

i

r r

i

D D

e

Tout se passe comme si on traversait une lame de verre à faces planes et parallèles d'épaisseur e et d'indice n, que l'on obtient en complétant le prisme par son symétrique à travers le miroir. On retrouve que l'angle en sortie est égal à l'angle à l'entrée. Si l’on anticipe sur la formation des images dans l’approximation de Gauss pour une lame à faces planes et parallèles (cf chapitre VI), on voit que l'image d'un petit objet à travers un tel prisme sera

l'image de cet objet dans le miroir plan.

Il existe d'autres formes plus ou moins complexes de prismes achromatiques, où l'on utilise comme pour le prisme isocèle des propriétés de symétrie pour éviter la dispersion. Les figures qui suivent montrent quelques-uns des nombreux prismes achromatiques utilisés, pour lesquels nous mentionnons brièvement les propriétés principales.

* prisme à angle droit

Pour un observateur fixe par rapport au sens de propagation de la lumière, le haut et le bas sont inversés, mais la droite et la gauche sont conservées.

* prisme de Porro

'

Ce prisme, identique au précédent, donne dans cette configuration une image superposable à l'objet par une rotation de 180° autour de'

* prisme de Dove

Il s'agit à nouveau d'un prisme à angle droit, dont une partie est coupée pour alléger et réduire l'encombrement. Il est utilisé en lumière parallèle.

* pour les prismes dispersifs, il faut savoir retrouver les quatre relations entre les angles du prisme. A partir de là, les dépendances avec l'angle du prisme, l'incidence et l'indice ne retrouvent en différentiant les relations. Les conséquences importantes à retenir sont:

- la déviation se fait toujours vers la base du prisme;

- les conditions d'émergence se retrouvent à partir d'un schéma des zones accessibles à l'intérieur du prisme;

- il existe un minimum de déviation en fonction de l'incidence, correspondant à la situation symétrique où i i';

- la déviation est plus grande aux courtes longueurs d'onde.

* un prisme d'angle faible A utilisé sous incidence faible dévie les rayons d'une quantité constante égale à (n1)A.

* il existe des prismes réfléchissants qui, grâce à des propriétés de symétrie, ne sont pas dispersifs. Ils sont souvent utilisés pour modifier l'orientation des images. Un moyen commode de retrouver leurs propriétés consiste à trouver l'ensemble miroirs + lame de verre équivalent au prisme. En particulier comme pour les miroirs, l'image sera superposable à l'objet (mais éventuellement retournée) si le nombre de réflexions est pair. Il est utile de retenir un exemple d'un tel prisme réfléchissant non dispersif.

Référence bibliographique relative à ce chapitre:

On pourra se reporter, en particulier pour une liste plus complète des différents prismes réfléchissants (avec schémas en perspective et orientation des images), à « Optics », de E.

Hecht (Addison-Wesley).

CHAPITRE IV

FORMATION DES IMAGES

Recherche du stigmatisme rigoureux

Nous allons maintenant nous intéresser à des rayons particuliers, ceux qui sont issus d'un objet et viennent après passage dans un système optique former une image.

Les systèmes optiques que nous considérerons dans la suite seront presque toujours constitués de milieux homogènes et isotropes, séparés par des dioptres (ce sont les systèmes dioptriques, comme la lentille, le microscope, la lunette de Galilée) et parfois aussi par des surfaces réfléchissantes (systèmes catadioptriques, comprenant au moins un miroir). Il s'agira pour la plupart de systèmes centrés, c'est-à-dire possédant un axe de symétrie (dans ce cas, le rayon confondu avec l'axe ne sera pas dévié).

Nous verrons que la condition pour qu'un système optique donne d'un point objet un point image parfait (stigmatisme rigoureux) est très contraignante et qu'elle n'est pas satisfaite pour la plupart des systèmes optiques simples. Il existe cependant certains systèmes qui sont rigoureusement stigmatiques pour un couple de points objet/image particulier, et de plus certains d'entre eux restent stigmatiques de façon approchée au voisinage de ces points particuliers. Ces systèmes sont très utiles lorsqu'on veut observer de très petits objets avec une grande ouverture, typiquement lorsqu'on observe une étoile avec un télescope ou une cellule au microscope.

I. Stigmatisme rigoureux 1) Définition

Un système optique est rigoureusement stigmatique pour un couple de points A et A' si tous les rayons issus de A se coupent en A' après traversée du système optique.

A' est alors l'image parfaite de l'objet A par le système optique, et vice versa si l'on inverse le sens de propagation de la lumière; on dit que A et A' sont conjugués par ce système.

Rappel: n'oublions pas que dans un système optique réel, il y a toujours de la diffraction liée au diamètre fini du système optique. L’image parfaite d’un objet ponctuel sera donc une figure de diffraction (tache d'Airy dans le cas d'une diaphragmation circulaire).

2) Condition en termes de chemin optique

En termes de chemin optique, le stigmatisme rigoureux se traduit par le fait que le chemin optique entre les points A et A' est indépendant du rayon choisi:

L(AA') cste

Il suffit pour démontrer ceci de considérer deux rayons proches issus de A: la condition de stigmatisme nous dit qu'ils passeront par A', et le principe de Fermat que la variation de chemin optique est nulle. De proche en proche, on montre donc que tous les rayons issus de A correspondent au même chemin optique entre A et A'.

3) Condition en termes de surface d'onde

On peut grâce au théorème de Malus-Dupin associer une surface d'onde aux faisceaux de rayons. Pour un objet à distance finie, la surface d'onde objet associée est une calotte sphérique. S'il est à l'infini, la surface d'onde est un plan. De même pour l'image, si tous les rayons convergent en un point image, la surface d'onde image sera une calotte sphérique (un plan si l'image est à l'infini). Le stigmatisme rigoureux signifie donc que le système optique transforme une surface d'onde objet sphérique ou plane en une surface d'onde image sphérique ou plane.

Cette propriété est souvent utilisée pour caractériser la qualité d'un système optique.

On envoie une onde plane ou sphérique à l'entrée d'un système, et on mesure la déformation de la surface d'onde émergente par rapport à une sphère parfaite, en général par une méthode interférométrique (interféromètre de Twyman-Green, interféromètre Zygo).

4) Objets et images réels et virtuels

Un système optique est limité par une face d'entrée S₁ et une face de sortie S₂. Nous représenterons en général la lumière se propageant de gauche à droite.

Un objet est réel s'il se trouve à gauche de la face d'entrée S1, virtuel s'il se trouve à droite.

Une image est réelle si elle se trouve à droite de la face de sortie S2, virtuelle sinon.

Les objets et images virtuels ne correspondent plus à l'intersection des rayons lumineux, mais à l'intersection du prolongement de ces rayons.

A A'

n n'

I

Pour le calcul d'un chemin optique, les trajets virtuels seront comptés négativement.

Par exemple dans le cas d'un dioptre séparant deux milieux d'indice n et n' (figure ci-dessus), le chemin optique de A à A' s'écrit:

L nAIn'IA', où IA' est négatif.

Notons également que l'indice affecté au trajet virtuel (IA') est bien celui du milieu image n', bien que l'intersection des rayons émergents se trouve géométriquement à gauche du dioptre de la figure. En fait pour la suite de la propagation de ce rayon, tout se passe comme s'il n'y avait qu'un milieu d'indice n' et un point objet en A' dans ce milieu.

Les figures qui suivent illustrent quelques cas de couples objet/image de différentes natures pour des systèmes centrés (le rayon confondu avec l'axe de symétrie n'est pas dévié).

objet réelA A'

image réelle

A A'

objet réel image virtuelle

A

système 1 système 2

A' objet virtuel pour le système 2

image réelle pour le système 2

(image réelle pour le système 1)

II Exemples de systèmes qui ne sont pas rigoureusement stigmatiques

Il est intéressant de se rendre compte que la plupart des systèmes simples formés d'une ou deux surfaces planes ou sphériques ne remplissent pas la condition de stigmatisme rigoureux. Nous allons le voir sur deux exemples: le dioptre plan et le miroir sphérique.

Prenons le cas du dioptre plan séparant l'air d'indice 1 du verre d'indice 1.5.

Considérons un objet à distance finie A et cherchons son image A' par le dioptre. Le rayon passant par A et orthogonal au dioptre n'est pas dévié. Calculons l'intersection de ce rayon avec un autre rayon issu de A et faisant un angle d'incidence i avec le dioptre.

air verre (1) (n) (A') A

rayon 1

rayon 0

1

i r

x x'

En utilisant la loi de Snell-Descartes de la réfraction, on peut exprimer la position x' de l'intersection (A')₁ des rayons 0 et 1:

x x i

r nx i n

i nx i

' tan n tan

sin

cos tan ( )

1 ^{2 2} 1 1 1

2

2

2

On voit donc qu'en général la position du point d'intersection avec l'axe va dépendre de i, donc du rayon choisi: il n'y a pas stigmatisme rigoureux. On remarque que A' se rapproche du dioptre lorsque i diminue, et que la distance x' tend vers nx quand i tend vers zéro.

Considérons maintenant le cas du miroir sphérique et d'un point objet à l'infini.

C A'_h

h A

i

On peut de la même façon que précédemment calculer la position du point A'_h en fonction de la hauteur h d'incidence du rayon incident issu du point à l'infini. On obtient alors:

CA'_h A' I_h

R

i

R h R

2cos 2 1 ² ₂

Comme le dioptre, le miroir n'est pas stigmatique puisque la position de A' dépend du rayon choisi. On note que A' s'éloigne du miroir quand h diminue et tend vers le milieu de CS (foyer du miroir).

Les figures de la page suivante montrent le tracé exact (à partir des lois de Snell- Descartes) d'un grand nombre de rayons d'une part pour un objet à distance finie devant un dioptre plan, et d'autre part pour un objet à l'infini sur l'axe d'un miroir sphérique.

Dans ce type de situations, on n'obtient nulle part d'image parfaite. L'image

"imparfaite" (entachée d'aberrations) correspond à la répartition d'énergie dans un plan d'observation orthogonal à l'axe du système. Cette tache image dépend du plan d'observation.

Ces deux exemples permettent déjà de se rendre compte que les aberrations sur l'image augmentent avec l'angle d'incidence sur les dioptres ou les miroirs. On utilisera donc souvent des systèmes optiques au voisinage de leur axe.