La dispersion est liée à la variation d’indice du verre avec la longueur d’onde. La dispersion normale correspond à un indice qui décroît quand la longueur d’onde augmente.
C’est le cas de tous les verres dans le domaine spectral visible (400-700nm) et plus généralement dans les zones de transparence des matériaux (en dehors des zones d’absorption). On peut souvent approximer la loi de variation de l’indice par une loi de Cauchy du type n A B
O2 , où A et B dépendent du matériau et de la zone spectrale.
Pour l’étude du chromatisme primaire, nous utiliserons un seul paramètre pour caractériser la dispersion du verre, ce qui revient à supposer la variation d’indice quasi-linéaire dans le domaine visible. Il s’agit de la constringence Q définie par:
Q n n n
D
F C
1
où nD est l’indice pour la raie D du sodium (raie jaune à 589nm), nF est l’indice pour la raie F de l’hydrogène (raie bleue à 486nm), nC est l’indice pour la raie C de l’hydrogène (raie rouge à 656nm).
La constringence (aussi appelée facteur d’Abbe) est une quantité positive, qui est d’autant plus petite que le verre est plus dispersif. On utilise parfois aussi le pouvoir de dispersion K=1/Q qui croît avec la dispersion.
Pour les verres courants, Q varie de 65 pour les borosilicates crowns (dont le très courant BK7) qui sont des verres peu denses d’indice faible (na1.5), à Q=25 pour des flints très denses (na1.8). De façon générale, l’indice et la constringence varient en sens inverse sauf pour certains nouveaux verres. Nous verrons l’intérêt du choix des verres pour la compensation du chromatisme.
La variation de n étant monotone avec O, nous allons nous intéresser dans la suite à l’écart entre les images bleue et rouge, le rouge étant par convention toujours pris comme
référence. On donnera pour un verre son indice moyen n, correspondant à l’indice dans le jaune, et sa constringence Q (n)/dn où dn nBleunRouge.
2) Chromatisme axial (ou longitudinal)
Prenons le cas d’une lentille mince faisant l’image d’un point source à l’infini sur de conjugaison avec le centre O de la lentille qui est fixe:
x
On retrouve bien que pour une lentille convergente l’image bleue est plus proche de la lentille que l’image rouge: dx'0: le système est dit sous-corrigé.
Pour une lentille mince divergente on a f’<0 d’où dx’<0: c’est un système sur-corrigé.
Remarque: dans le cas d’un système centré quelconque, le calcul du chromatisme axial n’est pas aussi simple. En effet dans la formule de conjugaison de Descartes, x et x’ sont les positions repérées par rapport aux plans principaux. Lorsqu’on la différencie, il faut donc également tenir compte du chromatisme sur H et H’.
Intéressons-nous maintenant à la conséquence de ce chromatisme axial sur l’allure de la tache image. Pour cela il nous faut prendre en compte le diaphragme d’ouverture du système. Supposons qu’il est de diamètre situé sur la lentille elle-même:
A dy’
A’R A’B
dx’
La tache diffuse dans le plan de l’image rouge a un rayon:
dy x dx f
x x
' N ' '
'
' '
Q Q
Elle est d’autant plus grande que le système est plus ouvert (petit nombre d’ouverture N). Dans le cas particulier d’un objet à l’infini, dy' Q est indépendant de la valeur de la focale.
Le plan image rouge n’est pas celui où la tache image est la plus petite. On obtient le cercle de moindre diffusion à peu près au milieu des images bleue et rouge et il a un rayon à peu près deux fois plus petit que le dy’ que l’on a déterminé dans le plan rouge.
3) Chromatisme de grandeur
On s’intéresse maintenant à un objet AB de taille y et aux différentes images chromatiques données par la lentille.
B’B
A
A’B A’R
B
'y’
Le chromatisme de grandeur correspond à la différence de taille entre les deux images, la bleue A’BB’B et la rouge A’RB’R, dans leurs plans de mise au point respectifs.
Dans le cas de la lentille mince, on a:
'y y y dx y xdx ' 'B 'R T ' '
4) Chromatisme de grandeur apparente
En réalité la différence de taille des images 'y’ mesurées dans deux plans différents ne correspond pas à une observation expérimentale. Ce qu’on va observer c’est la tache de diffusion obtenue par exemple dans le plan de l’image rouge. Pour bien faire apparaître la différence entre le chromatisme de grandeur et le chromatisme de grandeur apparente, prenons le cas d’une lentille mince associée à un diaphragme d’ouverture placé en avant de la lentille. Traçons d’une part les deux images rouge et bleue d’un objet AB, d’autre part la trace dans le plan image rouge du faisceau de rayons bleu issu de B:
A
A’B A’R
zoom
A’B A’R
dy’ C’
B’R
B’B
wy’
La tache de diffusion bleue obtenue dans le plan de l’image rouge n’est pas en général centrée sur l’image rouge B’R. Le décalage wy’ entre le centre de cette tache de diffusion que l’on notera C’ et l’image rouge B’R est le chromatisme de grandeur apparente.
Le centre C’ de la tache de diffusion bleue est en fait le point d’impact dans le plan de l’image rouge du rayon bleu issu de B et passant par le centre de la pupille d’entrée du système. Quant à la tache de diffusion bleue autour du point C’, elle est au premier ordre de même rayon dy’ que la tache de diffusion bleue pour le point objet sur l’axe.
On voit bien sur l’exemple choisi que le chromatisme de grandeur et le chromatisme de grandeur apparente sont différents. Une différence importante vient du fait que le chromatisme de grandeur apparente dépend de la position de la pupille du système.
Observons ce qui se passe pour la lentille mince si l’on place la pupille sur la lentille elle-même:
A
A’B
B’R= C’
A’R
B
Le rayon issu de B passant par le centre de la pupille n’est pas dévié dans ce cas, donc C et B’R sont confondus: le chromatisme de grandeur apparente est nul.
Cette position de pupille est appelée pupille isochromatique.
De façon générale pour un système optique quelconque donnant d’un objet AB deux images bleue et rouge de positions et de tailles différentes, on trouve la position de la pupille isochromatique de la façon suivante:
A B
A’R
pupille de sortie isochromatique
A’B
B’B
B’R
Remarque 1: si la pupille de sortie n’est pas un diaphragme réel mais l’image d’un diaphragme d’ouverture situé à l’intérieur du système, on peut avoir du chromatisme axial sur la pupille de sortie. Toutefois du point de vue du chromatisme de grandeur apparente, ce déplacement du premier ordre (en dn) de la position de la pupille va provoquer une variation du second ordre du chromatisme de grandeur apparente.
Remarque 2: Le chromatisme de grandeur et le chromatisme de grandeur apparente sont égaux dans deux cas particuliers: lorsque le chromatisme axial est nul (ce qui n’implique pas que les chromatismes latéraux le soient comme nous le verrons plus loin) et lorsque la pupille de sortie est à l’infini.