- la propagation rectiligne de la lumière dans le cas d'un milieu homogène
- le trajet suivi par la lumière ne dépend pas du sens de parcours, quel que soit le milieu de propagation (notons que ceci ne précise rien sur la répartition d'énergie dans les faisceaux aller et retour, en particulier lorsqu'on prend en compte les phénomènes de polarisation).
Nous allons voir maintenant que le principe de Fermat permet également de retrouver les lois de la réfraction et de la réflexion à la traversée d'une surface séparant deux milieux homogènes.
1) Expressions vectorielle et angulaire des lois de Snell-Descartes
La préférence nationale fait que ces lois sont souvent appelées lois de Descartes en France et lois de Snell dans les pays anglo-saxons. En fait elles ont été établies indépendamment par le hollandais Willebrord Snell en 1621 et par le français René Descartes en 1637. Quelques siècles plus tôt, les Grecs avaient déjà établi expérimentalement la loi de la réflexion et fait des mesures précises (sans toutefois trouver la loi) sur la réfraction. Nous allons ici inverser la chronologie puisque nous allons redémontrer ces lois à partir du principe posé par le français Fermat en 1657.
séparant deux milieux homogènes d'indice n1 et n2. On sait que les trajets dans les milieux homogènes sont des segments de droite, il nous reste donc à déterminer le point I d'impact sur le dioptre correspondant à un chemin optique de A à B stationnaire.
A
B I
n1 n2 u1
u2 N
Le chemin optique AIB s'écrit:
L n1AIn2IB n1AI u. 1n2IB u. 2
Ici comme dans toute la suite, les vecteurs seront représentés par des caractères gras (pas de flèches).
Le chemin optique effectivement suivi par la lumière doit être stationnaire vis-à-vis d'un déplacement de I d'une quantité wI le long de la surface du dioptre, ce qui s'écrit:
'L n1wI u. 1n2wI u. 2 0
(les termes du type AI u.w 1 sont nuls puisque le module de u1 est constant).
Le vecteur n est donc orthogonal au vecteur wI, c'est-à-dire colinéaire à la normale au dioptre N, ce qui peut s'écrire (avec a nombre réel):
1u1n2u2
N n1u1n2u2 a
On peut exprimer le coefficient a en fonction des angles i1 et i2 (compris entre -90° et +90°, et comptés algébriquement de la normale vers le rayon) en multipliant scalairement la relation par N, et on a:
n1u1n2u2 ( cosn1 i1n2cos )i2 N
Ceci est la loi de Snell-Descartes vectorielle relative à la réfraction. On peut l’exprimer de façon équivalente sous la forme des deux propriétés suivantes:
- le rayon réfracté est contenu dans le plan d'incidence, plan défini par le rayon incident et la normale au dioptre;
- en se plaçant dans le plan d'incidence et en multipliant vectoriellement la loi précédente par N, on obtient la loi de la réfraction:
n1sini1 n2sini2
Le cas d’une réflexion se traite de façon analogue à celui de la réfraction en définissant les vecteurs u1 et u2 de la façon suivante:
A
B I
n1
u1 u2
N
- le rayon réfléchi est contenu dans le plan d'incidence - i1 i2
On peut noter que les lois de la réflexion sont contenues dans les lois de la réfraction en prenant n1 n2 et la convention précisée plus haut sur les vecteurs unitaires.
2) Quelques conséquences pratiques
a) on se rapproche de la normale lorsqu'on se réfracte dans un milieu plus réfringent (d'indice plus fort) et on s'en écarte lorsqu'on passe dans un milieu moins réfringent.
b) le principe de retour inverse de la lumière nous permet de voir que par réfraction à travers une lame à faces planes et parallèles (ou plusieurs superposées), un rayon ressort toujours parallèle à lui-même.
c) au passage vers un milieu moins réfringent (par exemple de l'eau d'indice 1.3 vers l'air d'indice 1), il existe un angle limite au-delà duquel il n'y a plus réfraction. C'est le phénomène de réflexion totale qui se produit pour un angle d'incidence limite il donné par:
sini n
1 n2 1
Cet angle vaut environ 42° au passage verre (n=1.5)/air et 49° au passage eau/air. Ce phénomène permet par exemple d'utiliser un prisme rectangle comme miroir:
45°
Ce type de miroir est intéressant car il est parfaitement réfléchissant (à condition que la surface soit propre) quelle que soit la longueur d'onde et il peut supporter des puissances élevées car il n'y a pas d'absorption (hormis celle du verre, qui peut être très faible si on utilise de la silice). On l'utilise donc en particulier dans l'ultraviolet où les bons traitements réfléchissants sont difficiles à faire ainsi que pour les faisceaux lasers impulsionnels où la puissance instantanée est élevée.
Une autre application importante de ce phénomène de réflexion totale est la propagation de la lumière dans les fibres optiques (ou dans les guides d'onde en général). Le schéma suivant en donne une illustration dans le cas d'une fibre à saut d'indice (coeur d'indice légèrement plus grand que celui de la gaine):
gaine protectrice en plastique
d) du point de vue énergétique, la seule indication que nous donne l'optique géométrique est l'existence de cet angle limite au-delà duquel le coefficient de réflexion vaut 1. La théorie électromagnétique est nécessaire pour déterminer la répartition d'énergie entre l'onde réfléchie et l'onde réfractée, qui dépend de l'angle d'incidence et de l'état de polarisation de la lumière incidente. Sans rentrer dans le détail de l'expression exacte des coefficients de réflexion et de transmission (ils seront vus dans le cours d'électromagnétisme), il est utile de connaître les résultats suivants: réfléchie alors que sur les facettes d'une diode laser en AsGa d'indice 3.5 ce même coefficient vaut environ 30% (longueurs d’onde visibles).
- il existe un angle d'incidence pour lequel le coefficient de réflexion s'annule pour l'une des polarisations (polarisation=direction du champ électrique parallèle au plan d'incidence): c'est l'incidence de Brewster donnée par tgiB n n2/ 1. Cet angle vaut environ 56° pour une réflexion air/verre.