En 1956, Solow propose un modèle de croissance pour pallier aux insuffisances de celui de Harrod et Domar (1946) qui était en vigueur. En effet, le modèle de Harrod et Domar (1946), était basé sur un modèle de production à facteurs non substituables. Pour eux, le ratio capital sur travail était constant même sur une longue période. Or, on peut tout à fait supposer que si le prix de la main d’œuvre augmente, les entrepreneurs vont substituer du capital à cette main d’œuvre devenue un peu cher. Pour Solow, le coefficient de capital étant variable, la croissance peut alors être stable. Résultat auquel n’aboutissent pas Harrod et Domar (1946), car pour eux, la croissance est instable (sur le fil du rasoir).
Dans le modèle de Solow(1956) :
• Les ménages possèdent les facteurs de production, les actifs de l’économie, choisissent la part du revenu qu’ils consomment (épargnent), décident du temps consacré au travail.
• Les entreprises louent les facteurs de production (travail et capital). Elles utilisent ces facteurs de production pour produire des biens qu’elles vendent aux ménages ou à d’autres entreprises. Elles ont accès à une technologie qui peut évoluer au cours du temps, et qui leur permet de transformer les facteurs de production en biens.
• Il existe des marchés, où les entreprises vendent les biens produits, et les ménages leurs facteurs de production.
Dans le modèle de (Solow, 1956), il n’y a que deux facteurs de production : le travail L(t) et le capital physique K(t). La fonction de production étant de la forme :
Avec t, qui traduit les effets du progrès technique. Une même quantité de travail et de capital, permet de produire plus une année qu’une autre, si la technologie de production a évolué. Y(t) représente la production à la date t. La technologie est supposée commune, et la production est perçue comme un bien homogène qui peut soit être consommé C(t), soit être investi I(t) en vue de créer de nouvelles unités de capital physique K(t). C’est un modèle qui raisonne avec une économie fermée, donc la production est égale au revenu et l’épargne à l’investissement. Si on nomme s(.) la fraction du revenu qui est épargnée (taux d’épargne), alors 1 - s(.) représentera la part du revenu consommée. Dans le modèle de Solow (1956), le taux d’épargne est supposé exogène. Ceci est une hypothèse fortement restrictive, car en général les ménages rationnels choisissent le taux d’épargne en évaluant les coûts et avantages de la consommation présente et future. Mais pour des questions de simplifications, nous accepterons nous aussi ici, cette hypothèse. On considère également, autre hypothèse simplificatrice, qu’à chaque date t, le capital présent se déprécie au taux constant , avec > 0. L’hypothèse de taux de dépréciation du capital constant est restrictive, car on ne tient pas compte de la composition du stock de capital physique.
Donc, l’accroissement net du stock de capital physique à chaque date t, est égal à la différence entre l’investissement brut réalisé à chaque date t et la dépréciation du stock de capital existant :
(2)
Avec qui représente la dérivée par rapport au temps du stock de capital, et 0 s 1. L’équation (2) représente la dynamique du stock de capital, pour une technologie et une quantité de force de travail données.
La force de travail évolue au cours du temps, en raison des évolutions de la population (taux de mortalité, taux de fécondité, phénomènes de migration), des modifications du taux de participation, de l’évolution du temps de travail du ménage représentatif. Dans le modèle de Solow(1956), on fait l’hypothèse que la population croît à chaque instant t au taux constant n, avec = n 0. Dans le modèle, il est supposé que chaque personne fournit la même intensité
de travail. En normalisant le nombre de personnes à 1 pour la date 0, et l’intensité du travail également à 1, on a :
(3)
Lorsque L(t) est donné par (3) et qu’il n’y a pas de progrès technique, alors (2) représente les sentiers temporels d’évolution de capital, K, et de la production, Y. On remarque donc, que cette évolution dépend fortement de la forme de la fonction de production, de ses propriétés. En effet, nous verrons que ce sont des différences peut être infimes, dans les hypothèses de la fonction de production, qui ont engendré différentes théories de la croissance.
Si on raisonne à progrès technique donné, alors la fonction de production devient :
(4)
La fonction de production utilisée dans le modèle de Solow est néoclassique. Une fonction de production est dite néoclassique si :
• Pour tout K > 0 et L > 0, elle possède des productivités marginales positives et décroissantes, par rapport à chaque facteur de production.
• Si elle est à rendements d’échelles constants. C'est-à-dire que multiplier chaque facteur de production par une même constante, doit revenir à multiplier la production par cette même constante.
• La productivité marginale du capital (travail) tend vers l’infini quand le capital (travail) tend vers 0, et tend vers 0 quand le capital (travail) tend vers l’infini.
Les deux dernières propriétés sont appelées les conditions d’Inada, issues de (Inada, 1963). La propriété de rendement d’échelle constant nous permet de réécrire la fonction de production ainsi :
(5)
Avec k, pour le ratio capital sur travail, y pour la production par tête, et la fonction f(k) qui est égale à F( k, 1), on peut écrire la fonction de production sous forme intensive :
(6)
Une fonction de production simple, très souvent utilisée comme ici dans le cas du modèle de Solow (1956), car considérée comme décrivant bien le fonctionnement des économies réelles, est la fonction de production Cobb-Douglas :
! (7)
Où A est le niveau de technologie, et une constante telle que 0 1. Sous forme intensive, elle s’écrit :
(8)
On vérifie aisément, qu’elle satisfait à toutes les conditions requises pour une fonction de production néoclassique. En divisant les deux membres de l’équation (2), qui donne l’évolution du stock de capital, par la quantité de travail L, on a :
(9)
Or on sait que :
Avec n, le taux de croissance de la population. En arrangeant les équations (9) et (10), on obtient l’équation (11), équation fondamentale du modèle de (Solow, 1956). Cette équation décrit l’évolution à tout instant, du stock de capital physique par tête dans l’économie toute entière.
# " (11)
Le terme (n + ) peut être interprété comme le taux de dépréciation du stock de capital par tête à chaque instant t. Si le taux d’épargne (s) est nul, alors le capital par tête baisserait en raison de la dépréciation du stock de capital déjà accumulé ( ), et aussi à cause de la croissance de la population (n).
Si on cesse de raisonner à technologie constante, et si on suppose que la technologie croît chaque année au taux constant x (exogène), et qu’on divise chaque membre de l’équation (2) par la quantité de travail effective cette fois-ci, soit AL, on obtient :
$ $ # " % " $ (12)
Il existe différentes façons d’inclure le progrès technique exogène, dans le modèle. En effet, le progrès technique peut permettre d’obtenir le même niveau de production, avec moins de travail (capital) : il est dit économique en travail (capital). Quand il ne permet pas d’économie de facteurs de production, on dit qu’il est neutre :
• Neutre au sens de Harrod (1942), si les rémunérations relatives des facteurs (rapport des productivités marginales des facteurs multiplié par leur quantité respective), restent inchangés pour un rapport capital sur production donné. On dit que le progrès technique augmente l’efficacité du travail, parce qu’il augmente la production de la même façon qu’une augmentation du travail.
Cela implique une fonction de production de la forme :
(13)
• Neutre au sens de (Hicks, 1932), si le rapport des productivités marginales des facteurs multiplié par leur quantité respective, reste inchangé pour un rapport capital sur travail donné. Dans ce cas, la fonction de production est de la forme :
& (14) Avec & , indice technologique, de croissance positive ou nulle.
• Neutre au sens de (Solow, 1969) si le rapport des productivités marginales des facteurs multiplié par leur quantité respective, reste inchangé pour un rapport travail sur production donné. On dit que le progrès technique augmente l’efficacité du capital, parce qu’il augmente la production de la même façon qu’une augmentation du capital. Une telle fonction de produit s’écrit :
' (15)
Avec ' , un indice technologique, de croissance positive ou nulle.
La nécessité dans ce modèle, d’un progrès technique augmentant l’efficacité du travail, vient du fait que seul ce type de technologie est compatible avec un état régulier de long terme (taux de croissance des variables par tête constant à long terme), fait remarqué empiriquement.
L’équation (12) nous dit alors, que le stock de capital par tête efficace croît chaque année si le montant de l’investissement brute [( ], est supérieur aux taux de dépréciation du stock présent de capital par tête efficace. A cause des propriétés de la fonction de production, on
sait que la courbe de la fonction de production est verticale pour $ = 0, et horizontale pour $ tendant vers l’infini. Donc, il existe un $ pour lequel, le taux de croissance du capital par tête efficace est nul. On appelle une telle situation, le sentier de croissance équilibré. Sur ce sentier, les variables par tête efficace, ne croissent plus. Donc à long terme, l’augmentation du taux d’épargne, du taux de croissance de la population, du taux de dépréciation, ont un effet sur le niveau des variables par tête efficace, mais pas sur leur taux de croissance de long terme. Les variables par tête (capital par tête, production par tête, consommation par tête…) croissent aux taux x, taux de croissance constant et exogène de la technologie.
La valeur de $ pour laquelle on atteint le sentier de croissance équilibrée est :
(
) * # " % " * ! (16)
Donc la production par tête efficace d’état stationnaire est :
+( $(,
* # " % " -* - (17)
On en déduit, le niveau de la production par tête d’état stationnaire :
( ( * # " % " -* - . % * # " % " -* - (18)
Si on prend comme , la vitesse à laquelle le niveau de production par tête se rapproche de sa valeur d’équilibre. On a dans ce cas :
L’écart entre y et (, se réduit à chaque période de %. En réécrivant l’équation (19) en fonction du niveau initial de production par tête . on obtient :
456 456 . 7 !8 9 456 ( 456 5 (20)
En remplaçant 7 !8 9 par , on a par équivalence, l’expression du taux de croissance du revenu par tête, en fonction de son niveau d’équilibre qui s’écrit :
. * . : 456 ( 456 5 (21)
Si on remplace ( par sa valeur dans l’équation (18), on a :
; !; <
; < : =456 . " % " ! /01 " ! /01 # " % " > :456 . (22)
Ou encore :
; !; <
; < ?<" ? " ?@/01 " ?A/01 # " % " :456 . (23)
L’équation (23) nous donne l’expression du taux de croissance du revenu par tête, d’après le modèle de (Solow, 1956). La croissance du revenu par tête, s’expliquerait donc d’une part par les conditions initiales (Niveau technologique initial, production par tête en début de période), et d’autre part par des variables d’intérêts comme le taux d’épargne (s), le taux de dépréciation ( ), le taux de croissance de la population (n) et le taux de croissance de la technologie de production où du progrès technique (x).
Nous allons dans la suite, procéder à l’estimation de cette équation, pour un panel assez large de pays (73). Ce panel comprend certains pays d’Afrique subsaharienne, zone géographique qui nous intéresse ici, mais aussi des pays dits développés, certains pays d’Amérique Latine et d’Asie. Ceci dans le but, de répondre à un certain nombre d’interrogations survenus, dans l’exercice d’estimation de cette équation. En effet, on a trouvé que l’appartenance à l’Afrique pour un pays, était synonyme de croissance en moins. L’introduction d’une variable indicatrice pour l’Afrique, s’étant révélée significative et négative. Nous réexaminerons donc ce résultat, à l’aide de notre panel, et nous essaierons d’en trouver les causes.
Dans l’hypothèse où ce modèle est jugé acceptable, pour décrire le processus de croissance en Afrique sur la période considérée (ici 1975-2010), nous pourrons donc conclure que la faible croissance enregistrée par ce continent est due entre autre, à un faible taux d’épargne (investissement) et de croissance technologique, toutes choses égale par ailleurs. Il serait ensuite intéressant, de chercher à rehausser ce faible taux d’investissement, afin de proposer des solutions pour résorber ce retard en termes de croissance de revenu par tête.