La (non-) conservativit´e et son interpr´etation

La notion de conservativit´e a une histoire philosophique charg´ee au vingti`eme si`ecle, les r´esultats de conservativit´e jouant en effet un rˆole important dans diff´erents programmes r´eductionnistes, au sens large. De quoi s’agit-il ? Supposons un domaine d’entit´es D r´egi par des lois T formul´ees un langage L, et supposons que ces en- tit´es, ces notions, et ces lois ont, pour une raison ou une autre, une certaine priorit´e ´epist´emologique sur les autres dans le corps de la science. Il peut s’agir par exemple du domaine empirique des objets physiques observables, des notions observation- nelles, et de ce que les positivistes logiques appelaient des lois empiriques, ou bien, en math´ematique, du domaine des entiers, des notions de l’arithm´etique finitaires et des lois d’une arithm´etique relativement faible comme l’arithm´etique primitive r´ecursive. On suppose que ce domaine, ces notions, ces lois jouissent d’une intelligi- bilit´e particuli`ere, qui conf`ere un degr´e de certitude particulier aux th´eories en ques- tion. D’un autre cˆot´e, dans notre effort pour comprendre le r´eel, nous devons souvent nous aventurer loin de ce domaine de discours ´el´ementaire et des entit´es « r´eelles » dans lequel nous nous savons assur´es dans nos fondements, posant des entit´es qui n’appartiennent pas au domaine D, formant des notions qui n’appartiennent pas au langage L, et formulant des lois qui ne sont pas dans T . Par d´efinition, l’ex- tension du discours de la science qui en r´esulte ne jouit pas des bonnes propri´et´es ´epist´emologiques qui sont celles du domaine base, au sens o`u l’intelligibilit´e de ses notions et l’´evidence de ses lois sont plus douteuses que ne le sont celles du domaine ´el´ementaire de base. Si la connaissance du domaine ´etendu est plus douteuse, c’est en g´en´eral que le caract`ere sp´ecial des nouveaux objets introduits soul`eve des ques- tions relativement `a l’acc`es ´epist´emologique que nous avons `a ces objets : les objets hautement th´eoriques de la physique nucl´eaire, par exemple, ne sont pas connus de la mˆeme fa¸con que les objets directement observables, et nous n’avons pas pour

3.2. La th`ese de la conservativit´e

les objets math´ematiques « infinitaires » et leurs lois abstraites les mˆemes moyens de v´erification que ceux qui sont disponibles dans le domaine restreint des objets math´ematiques finis et de leurs lois ´el´ementaires. D’o`u le projet de s’assurer que le domaine ´etendu de la science ne met pas en p´eril l’´edifice entier, en cherchant `a fonder ce dernier sur le domaine ´el´ementaire.

Pour mener `a bien ce projet, deux voies se pr´esentent naturellement. La premi`ere est une tentative de r´eduction au sens fort, qui s’apparente `a une ´elimination : on veut d’une part d´efinir toutes les notions scientifiques en termes des notions pure- ment ´el´ementaires et, d’autre part, d´eduire toutes les lois des lois ´el´ementaires. En g´en´eral, n´eanmoins, on le sait, une telle r´eduction est tout simplement impossible.33 Il y a n´eanmoins une seconde voie, que l’on pourrait qualifier de r´eductionnisme faible : montrer que la partie de la th´eorie ´etendue (avec son domaine ´etendu, ses nouvelles notions et ses nouvelles lois) qui n’est pas ´el´ementaire est, du moins en principe, dispensable dans l’entreprise de connaissance du domaine « r´eel » ou « ´el´ementaire ». L’id´ee est que, si, par les m´ethodes ´etendues, il est possible de prouver quelque chose relevant du domaine « r´eel », c’est-`a-dire formulable dans les termes non-probl´ematiques ´el´ementaires, alors il doit ˆetre possible de le prouver ´egalement par les m´ethodes ´el´ementaires uniquement, c’est-`a-dire en ne nous en- gageant pas sur la v´erit´e d’autres lois que celles `a la v´erit´e desquelles nous avons un acc`es privil´egi´e, le passage par le domaine non ´el´ementaire n’´etant en somme qu’un raccourci pratique. Or ceci n’est autre qu’un r´esultat de conservativit´e des m´ethodes « ´etendues », « th´eoriques », « id´eales » sur les m´ethodes ´el´ementaires ou « r´eelles ».34,35 De fa¸con converse, les r´esultats de non-conservativit´e peuvent donc ˆetre vus comme des r´esultats d’indispensabilit´e. Si les lois qui gouvernent une no-

33_{C’est un point classique sur lequel il n’est pas utile de revenir ici. Voir par exemple la discussion}

au d´ebut de l’article de Quine « Epistemology naturalized » dans Quine (1969)).

34_{On peut aussi interpr´eter les r´esultats de conservativit´e comme des r´esultats de coh´erence des}

m´ethodes. Si T est conservative sur T′_{, alors il n’y a rien `a craindre d’une utilisation de T comme}

auxilliaire pour d´ecouvrir des v´erit´es relativement au domaine de T′, T + T′ ´etant coh´erente avec toute extension (coh´erente) possible de T′ _{par des v´erit´es du langage de T}′_.

35_{Le lecteur se demandera peut-ˆetre si ce r´eductionnisme est vraiment plus faible que l’autre.}

La r´eponse est Oui. Pour prendre un exemple purement math´ematique, si A est une th´eorie du premier ordre, si B est un ensemble d’axiomes constiuant une d´efinition inductive positive d’une notion P n’appartenant pas au langage de A, alors en g´en´eral on peut montrer que A + B est une extension conservative de A, tandis que P n’est pas en g´en´eral d´efinissable explicitement dans A. Sur la conservativit´e des extensions par d´efinition axiomatique inductive positive, voir par exemple Moschovakis(2008). Une autre illustration est fournie par les consid´erations du chapitre 2. Nous avons vu d’une part que l’extension al´ethique minimale d’une th´eorie A ´etendait conservativiement A, alors qu’on ne pas d´efinir ad´equatement un pr´edicat de v´erit´e pour A dans A.

tion « th´eorique » ou « id´eale » nous permettent d’expliquer des ph´enom`enes r´eels que les m´ethodes ´el´ementaires ne permettent pas d’expliquer, alors cette notion et ces lois sont indispensables. On ne peut pas les consid´erer simplement comme des artefacts d´enu´es de signification dont l’usage pourrait ˆetre justifi´e au motif qu’il ne s’agit que de raccourcis ou de fiction utiles, et il faut au contraire admettre que ces notions et ces lois ont un contenu propre, et qu’il nous faut les int´egrer au rang de constituants primitifs de notre description de l’univers.

Si l’on retrouve ici le tableau conceptuel qui sous-tend une partie de l’´elaboration et de la discussion du programme de Hilbert36 _{ou les discussions du nominalisme}

math´ematique sous le tour qu’elles ont pris apr`es l’impulsion des arguments dits « d’indispensabilit´e » de Quine et Putnam37, de la r´eponse de Hartry Field38, et de la discussion de cette r´eponse par Shapiro39, on peut s’interroger sur le sens des arguments de conservativit´e dans le contexte du d´ebat autour du d´eflationnisme al´ethique. Il y a une diff´erence importante entre ces contextes th´eoriques classiques o`u les arguments de (non)-conservativit´e ont eu cours et le contexte de la discussion du d´eflationnisme. En effet, le d´eflationniste n’entend pas prouver que le pr´edicat de v´erit´e est dispensable40_{, puisqu’au contraire, nous l’avons vu, il tient que le pr´edicat}

de v´erit´e a un rˆole indispensable dans l’expression de certaines g´en´eralisations. Le d´eflationniste ne tient pas non plus que les g´en´eralisations mettant en jeu le concept de v´erit´e seraient plus douteuses que certaines g´en´eralisations « ´el´ementaires », et il ne pr´etend pas qu’il faille r´eduire, ou fonder, ces lois sur des lois plus assur´ees. Au contraire, pour le d´eflationniste, la v´erit´e est un concept tout `a fait ´el´ementaire et non-probl´ematique, quelque chose comme un concept logique. Si quelque chose est probl´ematique dans la position d´eflationniste, et c’est ce que nous avons identifi´e comme le v´eritable enjeu philosophique ici, c’est la possibilit´e de faire une distinc- tion ´epist´emologiquement int´eressante entre les concepts ayant un rˆole « purement expressif » et les autres, les concepts ayant un rˆole « explicatif ». Il me semble par

36_{Voir par exemple la pr´esentation de Smorynski (1977) ou, en fran¸cais, le dernier chapitre}

de Blanch´eet Dubucs (1997). Pour une discussion critique minutieuse des interpr´etations du programme de Hilbert en termes de conservativit´e, voir Detlefsen (1990).

37_{Voir par exemple Putnam (1971), Quine (1976a).} 38_Field(1980)

39_{Shapiro(1983).On trouvera une ´etude approfondie des arguments d’indispensabilit´e contre}

le nominalisme et des discussions subs´equentes dans Burgess et Rosen (1997).

40_{Le terme est rare en fran¸cais, mais d’apr`es le Littr´e son usage est attest´e d`es le XIV`e si`ecle.}

Voyant combien son usage est pratique ( mis en opposition `a indispensable), j’esp`ere que le lecteur ne verra pas d’inconv´enients `a ce que je m’y adonne.

3.2. La th`ese de la conservativit´e

cons´equent qu’en repla¸cant la notion de conservativit´e au cœur du d´ebat sur le d´eflationnisme, Shapiro et Ketland nient simplement qu’une telle distinction soit possible, et ils ne font alors que r´eaffirmer l’indispensabilit´e de la v´erit´e, ou bien qu’ils ont op´er´e un d´eplacement conceptuel relativement `a l’usage philosophique classique de la notion de conservativit´e. C’est sans doute la seconde affirmation qui est vraie, et l’on peut d´ecrire ce d´eplacement conceptuel de la fa¸con suivante : non seulement les r´esultats de (non-) conservativit´e permettent de statuer sur le ca- ract`ere dispensable ou indispensable des principes al´ethiques, mais ils disent aussi quelque chose de plus fin sur le statut ´epist´emologique des principes en question, quelque chose qui permet de disqualifier la position d´eflationniste en montrant que le concept de v´erit´e a un rˆole « explicatif ». Les ph´enom`enes g¨od´eliens sont alors mis `a contribution : une th´eorie contenant sa propre syntaxe ne peut pas prouver (comprendre : expliquer) l’´enonc´e (standard) exprimant sa coh´erence, mais il est possible de prouver (comprendre : d’expliquer ) la v´erit´e de cet ´enonc´e d`es que l’on est muni d’un concept de v´erit´e satisfaisant. Le fondement de mon objection `

a l’argument par la non-conservativit´e se trouve l`a, dans l’id´ee que les r´esultats de (non-)conservativit´e ne sont pas assez fins pour permettre de trancher la question de savoir si les lois qui gouvernent ce concept jouent le rˆole d’authentiques principes explicatifs.

Pour illustrer l’id´ee que la signification ´epist´emologique des ph´enom`enes de non- conservativit´e n’est pas toujours transparente, et avant d’en venir `a la discussion de la v´erit´e proprement dite, je voudrais commencer par en donner deux exemples assez diff´erents mais mettant tous les deux en jeu des expressions logiques.

(Exemple 1) Le premier exemple illustre les difficult´es que rencontre l’interpr´e- tation des r´esultats de (non-)conservativit´e dans le contexte d’une discussion sur les constantes logiques. Dans son livre Logical basis of Metaphysics,41 Michael Dum- mett discute le ph´enom`ene suivant : les r`egles d’introduction et d’´elimination de la disjonction ´etendent non-conservativement une logique poss´edant une certaine disjonction non-standard que nous allons noter ∨∗. L’usage de cette derni`ere est gouvern´e par les r`egles d’introduction habituelles de la disjonction, mais sa r`egle d’´elimination contient une restriction relativement `a la r`egle d’´elimination « natu- relle » de la disjonction standard. En d´eduction naturelle (pr´esent´ee en s´equents), la r`egle d’´elimination est la suivante :

Γ ⊢ A ∨∗_{B A ⊢ C B ⊢C}

∨_-elim

Γ ⊢ C

Ici, A et B sont des formules, tandis que Γ est un multiensemble de formules. La r`egle d’´elimination pour le connecteur ∨∗ _{ne permet l’´elimination que lorsque,}

dans les deux pr´emisses mineures, C a ´et´e inf´er´e en un pas d’une seule formule, A ou B respectivement. Supposons que notre logique de d´epart ne contienne que les r`egles gouvernant la conjonction ∧, notons-la L∧. On peut montrer que les r`egles

standard de la disjonction ´etendent conservativement L∧, mais l’on peut ´egalement

montrer que les r`egles gouvernant la disjonction tronqu´ee ´etendent conservativement L∧. N´eanmoins, et c’est l`a que les choses deviennent int´eressantes, L∨,∨∗_,∧ est une

extension non conservative de L∨∗_,∧.42 Le ph´enom`ene est assez g´en´eral : certaines

r`egles/th´eories, qui ´etendent de fa¸con conservative un bon nombre d’autres th´eories, donnent parfois lieu `a des extensions non-conservatives dans des circonstances qui, pour une raison ou une autre, semblent « sp´eciales ». Ici, une notion logique (∨), dont les r`egles forment ordinairement des extensions conservatives, ´echoue soudain au test de la conservativit´e dans des conditions tr`es particuli`eres, sur la base d’une th´eorie en quelque sorte incompl`ete de la disjonction, parce que la disjonction entre dans des interactions particuli`eres avec ce connecteur ´etrange du langage de base.43 Mais que dit de la disjonction la non-conservativit´e observ´ee dans ces conditions sp´ecifiques ? L’interpr´etation ´epist´emologique devra sans doute ˆetre prudente.

(Exemple 2) Mon second exemple, en rapport avec l’arithm´etique de Peano, ajoute au probl`eme d’interpr´etation pos´e par les constantes logiques un probl`eme d’interpr´etation des ph´enom`enes de non conservativit´e lorsque ceux-ci apparaissent en lien avec l’extension de sch´emas dont les instances ont ´et´e restreintes dans un premier temps, pour des raisons artificielles ou contingentes. Le simple fait logique qui retient mon attention est le suivant :

P A est une extension non conservative de la th´eorie P AAt,

o`u P AAt d´esigne une th´eorie identique `a P A, `a ceci pr`es que le sch´ema d’induction

est restreint aux formules atomiques, c’est-`a-dire aux formules ne contenant pas de

42_{Pour le voir, noter que dans L}

∨∗,∧la distributivit´e n’est pas d´emontrable. Mais dans L∨,∨∗,∧,

la distributivit´e de ∨ sur ∧ se « transf`ere » `a ∨∗

43_{Il est ´egalement bien connu des logiciens que les r`egles classiques d’introduction et}

d’´elimination des connecteurs forment une extension non-conservative du syst`eme fond´e sur leurs analogues intuitionistes. La signification de ce fait ´etant d´ebattue, l’exemple pr´esent´e ici me satisfait davantage.

3.2. La th`ese de la conservativit´e

connecteurs ou de quantificateurs.44

Ce fait illustre le principe suivant : lever une restriction sur le langage dans lequel peuvent ˆetre choisies les formules qui instancient le sch´ema d’induction a pour effet de renforcer la th´eorie. D’un autre cˆot´e, le langage lib´eralis´e n’est que le langage engendr´e `a partir du langage arithm´etique par la seule adjonction des constantes logiques ordinaires. Les logiques gouvernant les connecteurs et quantifi- cateurs n’ont pas chang´e dans le passage de P AAt `a P A, on a simplement permis

`

a des pr´edicats plus complexes d’instancier le sch´ema d’induction, c’est-`a-dire plus seulement les pr´edicats primitifs du langage, mais ´egalement tous les pr´edicats com- plexes qu’il est possible de former en composant les pr´edicats primitifs grˆace aux expressions logiques. En un sens, en passant de P AAt `a P A on a simplement enrichi

le pouvoir expressif du langage dans lequel peuvent ˆetre choisies les formules qui instancient les lettres sch´ematiques du sch´ema d’induction. Quelle conclusion doit- on en tirer ? Je ne crois pas que nous puissions en conclure, par exemple, que c’est notre compr´ehension des concepts logiques et des lois logiques qui nous a permis d’apprendre quoi que ce soit de nouveau `a propos des entiers ici.45 Au contraire, si nous tenons que les constantes logiques sont des exemples paradigmatiques d’outils « purement expressifs », au motif, par exemple, que leurs lois ont de fortes propri´et´es de conservativit´e46<sub>, alors le r´esultat mentionn´e ne semble pas de nature `a nous faire</sub>

changer d’avis sur ce point.47Mais un outil expressif, c’est pr´ecis´ement ce pour quoi les d´eflationnistes tiennent le pr´edicat de v´erit´e. Pourquoi alors ne pas envisager la possibilit´e que les r´esultats de non-conservativit´e rapport´es par Shapiro et Ketland

44_{Voir par exemple H`ajeket Pudl`ak(1993), Th´eor`eme 1.26 p.220 et Th´eor`eme 1.29 p.221.} 45_{Comme nous le verrons bientˆot plus en d´etail, ajouter simplement les clauses tarskiennes pour}

la v´erit´e `a P A ne produit qu’une extension conservative de P A : la non-conservativit´e n’apparaˆıt que si de nouvelles instances du sch´ema d’induction, mettant en jeu le vocabulaire al´ethique, sont ajout´ees `a P A. Stewart Shapiro, qui est parfaitement au fait de la situation technique, ´ecrit pourtant :

A la lumi`ere du requisit de conservativit´e, si le d´eflationniste s’en tient `a la notion de cons´equence en premier ordre, alors il ne peut pas mˆeme accepter A′′_{[ie : l’extension}

al´ethique tarskienne de P A avec sch´ema d’induction ´etendu] comme explication par- tielle de la v´erit´e arithm´etique. Si la v´erit´e est admise dans le principe d’induction, il est contre-intuitif de maintenir que la notion est fine [thin] et non-substantielle. Comment la notion de v´erit´e arithm´etique peut-elle ˆetre fine, si en l’invoquant nous pouvons apprendre davantage `a propos des entiers naturels ?(Shapiro (1998b), p.499, je souligne)

46_{En g´en´eral. Voir exemple pr´ec´edent pour une r´eserve.}

47_{Nous renvoyons le lecteur que ne convainc pas d’embl´ee l’id´ee que les constantes logiques ne}

sont l’effet d’un ph´enom`ene analogue `a celui que nous venons d’observer avec les constantes logiques ?48

L’interpr´etation `a donner aux ph´enom`enes de non-conservativit´e, on le voit, ne va pas toujours de soi, et le diable est souvent dans les d´etails. Je voudrais maintenant soutenir que l’argument de Shapiro et Ketland, formul´e en terme de non-conservativit´e, n’a pas la force que ces auteurs lui prˆetent, en montrant que les ph´enom`enes de non-conservativit´e sur lesquels ils attirent notre attention sont intuitivement compatibles avec l’hypoth`ese que le pr´edicat de v´erit´e est simplement un outil expressif. Pour y parvenir, je me propose de prˆeter attention au statut ´epist´emologique et logique des sch´emas d’axiomes dans ces th´eories. Une fois que les ambigu¨ıt´es de ce statut auront ´et´e lev´ees, il deviendra plausible que la non- conservativit´e des th´eories de la v´erit´e sur des th´eories comme l’arithm´etique de Peano est un ph´enom`ene inoffensif pour la conception d´eflationniste. Ma conclusion sera que la th`ese de la conservativit´e n’est pas une r´eponse ad´equate au Probl`eme de la fronti`ere.