La matrice S en th´ eorie de perturbation

 X

i

qi−X

j

pj



|M|²

n

Y

i=1

d³qi

(2π)³2ε_qi

!

. (7.30)

7.4 La matrice S en th´ eorie de perturbation

Nous sommes maintenant confront´es `a un probl`eme habituel en th´eorie quantique. Nous avons facilement pu exhiber une expression formelle pour la matrice S `a l’aide d’exponentielles de l’Ha-miltonien. En pratique cependant, il est bien clair qu’une telle exponentielle n’est pas calculable, et on doit alors avoir recours `a des m´ethodes perturbatives.

D´efinition SoitS(n), le groupe des permutations de{1. . . n}. On appelleproduit chronologique des op´erateursO(t₁), . . . , O(t_n) l’expression

T[O(t1)· · ·O(tn)] = X

π∈S(n)

(ν)^πθ(tπ(1)−tπ(2))· · ·θ(t_π(n−1)−tπ(n))O(tπ(1))· · ·O(tπ(n)), (7.31)

o`u lesθsont des fonctions saut de Heaviside, θ(x) =

1 x >0 0 x≤0 .

et o`u ν = 1 pour des op´erateurs bosoniques, ν =−1 pour des op´erateurs de types fermioniques.

On comprend facilement la d´enomination de ce produit particulier. En effet, le seul terme non nul de la somme est celui o`u les arguments des op´erateurs sont ordonn´es en ordre croissant depuis la droite, i.e. tels quet_π(1)> t_π(2)> . . . > t_π(n).

7.4.1 La s´ erie de Dyson

Afin d’´etablir une formule effectivement utilisable en pratique, commen¸cons par identifier l’´equation diff´erentielle d’´evolution de l’op´erateurUD(t, t⁰) = exp(iH0t) exp(−iHt) exp(iHt⁰) exp(−iH0t⁰). On a

d

dtU_D(t, t⁰) =iH₀U_D(t, t⁰)−exp(iH₀t) (iH) exp(−iHt) exp(iHt⁰) exp(−iH₀t⁰)

=−iexp(iH0t) (H − H0) exp(−iH0t)UD(t, t⁰)

=−iH^(D)_I (t)UD(t, t⁰),

o`u on d´enote par H^(D)_I (t) l’Hamiltonien d’interaction en repr´esentation de Dirac. On a ainsi ob-tenu une ´equation diff´erentielle du premier ordre pour l’op´erateur d’´evolution en repr´esentation d’interaction :

(

i_dt^dUD(t, t⁰) =H^(D)_I (t)UD(t, t⁰),

U_D(t⁰, t⁰) =I. (7.32)

Formellement, on trouve directement l’´equation int´egrale ´equivalente : UD(t, t⁰) =I−i

Z t t⁰

dτH_I^(D)(τ)UD(τ, t⁰). (7.33) En pratique, l’Hamiltonien d’interaction sera de la forme HI = λV, o`u λ est une constante de couplage associ´ee `a l’interaction que l’on consid`ere. Si cette derni`ere est suffisamment petite,|λ| 1, on pourra r´esoudre l’´eq. (7.33) perturbativement, ce qui produira une s´erie en puissance de la constante de couplage, dont on pourra raisonnablement esp´erer qu’elle admette un domaine de convergence non d´eg´en´er´e. Autrement dit, on consid´erera l’interaction comme une perturbation de l’Hamiltonien libre.

La solution non perturb´ee est naturellement U0(τ, t⁰) = I. On injecte cette solution dans l’´equation pour trouver la solution au deuxi`eme ordre, qu’on injectera `a nouveau pour obtenir le troisi`eme, et ainsi de suite pour les ordres sup´erieurs :

U1(t, t⁰) =I−i

Finalement, on trouve donc las´erie de Dysonpour l’op´erateur d’´evolution, Un(t, t⁰) =I+ On peut r´e´ecrire les int´egrales qui apparaissent ici en introduisant des fonctionsθqui permettent d’avoir les mˆeme bornes d’int´egration partout :

Z t

Mais les indices d’int´egration sont muets, on a donc j! mani`eres diff´erentes d’´ecrire cette mˆeme int´egrale, en effectuant toutes les permutations possibles de indices 1 `aj. Elle est donc ´egale `a

1

On a ainsi fait apparaˆıtre un produit chronologique, et on peut donc simplement ´ecrire Un(t, t⁰) =I+

Si cette s´erie admet un rayon de convergence non nul, on peut passer `a la limite n → ∞.

Finalement, on se souvient que la matrice S est la limite de cet op´erateur `a +∞ et −∞, d’o`u le r´esultat important suivant :

S=I+ On reconnaˆıt la forme d’un d´eveloppement en s´erie d’une exponentielle, mais avec le produit chro-nologique en sus. On notera souvent symboliquement

S=T

Nous avons ainsi d´eriv´e une formule explicite pourS, dont il sera toujours possible de ne garder que les premiers termes si n´ecessaire. Il s’av`ere en fait que la majeure partie des calculs de ce cours se limiteront au premier ordre. Non seulement la complexit´e calculatoire croˆıt-elle de mani`ere tr`es rapide avec les ordres perturbatifs, mais des probl`emes conceptuels importants surgissent aussi, que ce soit simplement le probl`eme de la convergence de la s´erie ou alors le fait que certain termes apportent une contribution infinie.

7.4.2 Exemple : la d´ esint´ egration du boson de Higgs

Avant de passer `a la suite des d´eveloppements th´eoriques, nous allons mettre en pratique la for-mule (7.37) et calculer la largeur (partielle) du boson de Higgs. Nous allons ´etudier la d´esint´egration du boson H en une paire ´electron-positron

H →e⁺e⁻. La densit´e lagrangienne qui r´egit ce processus est donn´ee par

L =1

C’est le dernier terme, nouveau terme mixte, qui permet le couplage du boson scalaireφ, le Higgs, avec le spineur Ψ, la paire ´electron-positron. On a donc

HI =−LI =−fΨΨφ , (7.39)

et on remarque qu’il est directement ´ecrit en repr´esentation d’interaction, puisque nous utiliserons les expressions des champs Ψ etφen repr´esentation de Heisenberg par rapport `a l’´evolution libre.

On d´efinit les ´etats asymptotiques suivants : – L’´etatin:a^†(~k)|0i;

– L’´etatout: a^†_σ(~p)b^†_σ0(~q)|0i.

Pour calculer le temps de vie, nous aurons besoin de l’amplitudeM, et donc de l’´el´ement de matrice S suivant

h0|aσ(~p)bσ⁰(~q)Sa^†(~k)|0i. (7.40) Le param`etre important pour le calcul perturbatif est la constante de couplagef, que nous suppo-serons suffisamment petite pour que la suite ait un sens. Au premier ordre, l’´eq. (7.37) devient

S=T

Le premier terme produira simplement une fonction δ que nous ne consid´ererons pas puisqu’elle repr´esente le cas o`u aucune interaction n’a lieu. Il faudra donc calculer

h0|aσ(~p)bσ⁰(~q) qu’on notera simplementI. Ainsi,

I=if

o`u on a utilis´e le fait que les op´erateurs de type diff´erents commutent pour ne garder qu’un seul des termes du produit, puis les relations de commutation pour exprimer la valeur moyenne sur l’´etat du vide, qui produisent des fonctionsδ pour les impulsions et les indices de spin. Finalement,

M(in→out) =f u_σ(p)v_σ⁰(q). (7.43) On peut maintenant ins´erer ce r´esultat dans l’´eq. (7.25),

dΓ = 1

2m_H(2π)⁴δ⁽⁴⁾(p+q−k)f²u_σ(p)v_σ⁰(q)v_σ⁰(q)u_σ(p) d³p (2π)³2ε_p

d³q

(2π)³2ε_q . (7.44) On ne mesure en g´en´eral pas le spin des particules sortantes. On peut donc sommer surσetσ⁰. On se convainc facilement (en ´ecrivant explicitement les spineurs en composantes si n´ecessaire) que

X donc effectuer directement trois des six int´egrales n´ecessaires par exemple surd³q, et il reste

δ(mH−2ε(~p)) = 1

De plus, En r´eins´erant tous ces r´esultats dans l’´eq. (7.45), on trouve

Γ =

egalit´e. Il ne reste plus qu’`a effectuer l’int´egrale sur l’angle solide, ce qui donne simplement un facteur 4πsuppl´ementaire :

Γ = f²

Il est clair d’un point de vue physique (conservation de l’´energie) qu’on doit avoirm_H >2m_e. On retrouve ici cette condition sous forme math´ematique. Si la masse du boson de Higgs est beaucoup plus grande que celle de l’´electron, on aura donc

τ ≈ 8π

f²m_H . (7.47)

Le temps de vie est invers´ement proportionnel `a la masse de la particule et au carr´e de la constante de couplage.