C’est avec ces quelques pr´ecisions que s’ach`eve notre ´etude des trois types de champs libres sur lesquels repose l’ensemble du Mod`ele Standard : Le champ scalaire, le champ vectoriel et le champ spinoriel. Pour construire un mod`ele int´eressant, il faudra maintenant introduire des interactions entre ces champs, i.e. ajouter aux Lagrangiens libres des termes ‘mixtes’ qui permettent de d´ecrire comment diff´erentes particules peuvent interagir. Mais avant cela, nous concluons cette partie par une br`eve ´etude des sym´etries discr`etes.
Chapitre 6
Sym´ etries discr` etes
Jusqu’`a pr´esent, toutes les sym´etries que nous avons consid´er´ees formaient des groupes de Lie et pouvaient donc ˆetre d´ecrites par une fonction douce d’un ou plusieurs param`etres. En particulier, il ´etait toujours possible de travailler avec ces transformations sous forme infinit´esimale, ce qui est essentiel pour le th´eor`eme de Noether et pour la construction des courants associ´es. Cette situation n’est pourtant pas g´en´erique et il est tout `a fait possible de consid´erer aussi des sym´etries, dites discr`etes, dont on ne peut pas relier les diff´erents ´el´ements de mani`ere continue. Nous en avons d´ej`a rencontr´e deux types dans le groupe de Lorentz :
1. L’inversion temporelle
T : (t, ~x) 7−→ (−t, ~x)., (6.1)
qui ´echange les rˆoles des cˆones de lumi`ere futur et pass´e.
2. Laparit´e
P : (t, ~x) 7−→ (t,−~x) , (6.2)
qui produit une image miroir du monde, en renversant donc sa chiralit´e.
Finalement, il en existe une troisi`eme importante, qui est une sym´etrie interne, i.e. qui ne modifie pas l’espace-temps mais les champs seulement, laconjugaison de charge:
C: {particules} 7−→ {antiparticules} . (6.3) S’il a toujours ´et´e essentiel jusqu’ici d’imposer l’invariance des th´eories par rapport `a L↑+, la situation est plus d´elicate pour ces sym´etries discr`etes. Jusqu’`a pr´esent, les exp´eriences n’ont pas r´eussi `a mettre en ´evidence de violation deT,PouCpour deux des trois interactions fondamentales,
`
a savoir les interactions forte et ´electromagn´etique. Par contre, l’interaction faible viole C et P s´epar´ement, de mˆeme queCP et T. Cependant, le th´eor`emeCP T affirme que sous des hypoth`eses raisonnables, la combinaison des trois, i.e. CP T, doit ˆetre une sym´etrie de la nature, et aucune exp´erience n’est venu le contredire jusqu’ici.
6.1 La parit´ e
D’un point de vue classique, la parit´e doit renverser la quantit´e de mouvement d’une particule, sans pour autant inverser le sens du moment cin´etique. Quantiquement, on doit repr´esenter cette transformation par un op´erateur unitaireUP, dont il suffit de connaˆıtre l’action sur les op´erateurs de cr´eation et d’annihilation :
UPˆa†σ(~k)UP† =η?Pˆa†σ(−~k) et UPaˆσ(~k)UP† =ηPˆaσ(−~k), (6.4) 71
o`uηP est une phase non d´etermin´ee pour l’instant. CommeUP est unitaire, on doit cependant avoir que|ηP|2= 1. Dans le cas o`u l’on traite des champs complexes, on doit aussi avoir :
UPˆb†σ(~k)UP† = ˜η?Pˆb†σ(−~k) et UPˆbσ(~k)UP† = ˜ηPˆbσ(−~k), (6.5) avec|˜ηP|2= 1.
Il s’agit maintenant de d´eduire les lois de transformation des champs eux-mˆeme sous l’action de la parit´e. On doit donc imposer une contrainte suppl´ementaire `a la phase,
η?φ
ηφ = 1. (6.6)
Cette phase doit donc ˆetre r´eelle, il ne reste que deux possibilit´es :ηφ=±1. Ceci d´efinit donc deux types de champ :
On ne peut donc pas d´eterminer les phases dans ce cas-ci. Seul importe le comportement relatif de la transformation de la particule par rapport `a l’antiparticule.
6.1.2 Champ vectoriel
Comme dans le cas pr´ec´edent, on doit obtenir UPAˆi(t, ~x)UP† = MAAˆi(t,−~x), o`u MA est une matrice 3×3. Avant d’effectuer le calcul, rappelons que les vecteurs de polarisation ont ´et´e choisis de telle sorte que le troisi`eme soit parall`ele `a~k. Sous l’´echange~k7→ −~k, on aura que
~
e(n)(~k) −→ −~e(n)(−~k).
Ainsi,
UPAˆi(t, ~x)UP† =
Z d3k (2π)32ε(k)
3
X
n=1
−ei(n)(−~k) h
ηAˆa(n)(−~k)e−iε~kt+i~k~x+ηA?ˆa†(n)(−~k)eiε~kt−i~k~xi
=−ηA
Z d3k (2π)32ε(k)
3
X
n=1
ei(n)(~k)
ˆ
a(n)(~k)e−iε~kt−i~k~x+η?A ηA
ˆ
a†(n)(~k)eiε~kt+i~k~x
. On a donc queMA=Iet `a nouveau seulement deux cas possibles :
1. Levecteur, pour lequelηA= 1 et donc UPAˆi(t, ~x)UP† =−Aˆi(t,−~x).
2. Lepseudo-vecteur, avecηA=−1 etUPAˆi(t, ~x)UP† = ˆAi(t,−~x).
On trouve bien le comportement classique d’un vecteur par image miroir.
On peut finalement d´eterminer la loi de transformation de la composante ‘0’ du champ. Comme
∂0A0=∂iAi et que∂i→ −∂i, dans le cas d’un vecteur, on a queA0 n’est pas modifi´e : (Vecteur)
A0, ~A
−→
A0,−A~ , ce qui est tout `a fait analogue `a la transformation des coordonn´ees (t, ~x).
6.1.3 Champ spinoriel
Nous abordons maintenant le cas le plus int´eressant, le spineur. La loi de transformation la plus g´en´erale s’´ecrit `a nouveau
UPΨ(t, ~x)UP† =ηΨAΨ(t,−~x), (6.8) o`uAest une matrice 4×4 `a d´eterminer. Nous n’allons pas suivre la mˆeme d´emarche que dans les cas pr´ec´edents ici puisqu’on ne connaˆıt pas a priori les lois de transformation des spineursuσ et vσ. L’astuce sera donc d’exiger `a l’inverse que le Lagrangien libre et donc l’´equation de Dirac soit invariants sous l’action de UP. Autrement dit, le champ transform´e doit aussi ˆetre une solution de cette ´equation. Ainsi,
iγ0∂0UPΨ(t, ~x)UP† +iγj∂jUPΨ(t, ~x)UP† −mUPΨ(t, ~x)UP† = 0
⇐⇒ iγ0∂0ηΨAΨ(t,−~x) +iγj∂jηΨAΨ(t,−~x)−mηΨAΨ(t,−~x) = 0
⇐⇒ iγ0A∂0Ψ(t, ~x)−iγjA∂jΨ(t, ~x)−mAΨ(t, ~x) = 0,
o`u on a simplement chang´e ~x en −~x dans la derni`ere ligne. Pour que l’on obtienne `a nouveau l’´equation de Dirac, il faut donc identifier une matrice qui commute avec γ0 et qui anticommute avec les γi. On trouve facilementA=γ0. On a ainsi
UPΨ(t, ~x)UP† =ηΨγ0Ψ(t,−~x). (6.9) Pour terminer cette section, nous donnons un exemple exp´erimental o`u la parit´e est viol´ee. On consid`ere la d´esint´egration du pion en muon et neutrino :
π+→µ++νµ.
Dans l’´etat final, le muon peut avoir son spin orient´e parall`element (droitier) ou antiparall`element (gaucher) `a son impulsion. Si la parit´e ´etait une sym´etrie exacte, alors le nombre de muons gauchers devrait ˆetre le mˆeme que le nombre de muons droitiers. Or il s’av`ere que ce n’est exp´erimentalement pas le cas. La parit´e n’est pas une sym´etrie de l’interaction faible, responsable de cette r´eaction. On verra ceci en d´etails au chapitre 11 : disons pour l’instant que l’interaction faible est explicitement gauch`ere.