La conjugaison de charge

Si la parit´e en tant qu’op´erateur quantique pr´esente un analogue classique ´evident, l’op´erateur de conjugaison de chargeUC, lui, est purement quantique et n’admet aucun analogue classique. Il

´

echange les rˆoles des particules et des antiparticules. On commence donc par d´efinir

UCˆa^†_σ(~k)U_C^† =η_C^?ˆb^†_σ(~k) et UCˆaσ(~k)U_C^† =ηCˆbσ(~k). (6.10) De mˆeme,

U_Cˆb^†_σ(~k)U_C^† = ˜η^?_Cˆa^†_σ(~k) et U_Cˆb_σ(~k)U_C^† = ˜η_Cˆa_σ(~k). (6.11) On a alors que

ˆ

a^†_σ(~k)ˆaσ(~k) −→^C ˆb^†_σ(~k)ˆbσ(~k) et ˆb^†_σ(~k)ˆbσ

−→C ˆa^†_σ(~k)ˆaσ(~k).

Ceci implique directement l’invariance de l’´energie et de la quantit´e de mouvement. Par contre, on constate que la conjugaison de charge change le signe de la charge (d’o`u son nom), puisque

Qˆ∼ˆa^†_σ(~k)ˆa_σ(~k)−ˆb^†_σ(~k)ˆb_σ(~k) −→^C ˆb^†_σ(~k)ˆb_σ(~k)−aˆ^†_σ(~k)ˆa_σ(~k)∼ −Q .ˆ

La question qui se pose maintenant est celle de la transformation des champs r´eels. Clairement, on doit avoir

UCaˆσ(~k)U_C^† =ηCˆaσ(~k),

et naturellementηC=±1. On parlera alors de champ v´eritablement neutre dans le cas +1.

Pour la suite, la d´emarche est la mˆeme que dans le cas de la parit´e. On laisse donc au lecteur soucieux de connaˆıtre les d´etails le soin d’effectuer les calculs lui-mˆeme. On trouve :

– pour le champ scalaire

UCφ(x)Uˆ _C^† =ηCφˆ^†(x), (6.12) pour autant que ˜η^?_C=ηC. On constate donc que la transformation est locale, i.e. que le champ au point (t, ~x) apr`es transformation ne d´epend que de la valeur du champ avant `a ce mˆeme point (t, ~x) ;

– pour le champ vectoriel, la situation est la mˆeme. En particulier, on notera au passage que le photon, qui est un champ r´eel, est du typeηC=−1.

Concentrons-nous maintenant sur le champ de Dirac. Comme pour le champ scalaire, la conju-gaison de charge doit transformer Ψ(x) en Ψ^?(x). La convention est d’´ecrire la transformation locale sous la forme suivante :

U_CΨ(x)U_C^† =ηCΨ^T(x) (6.13)

=ηCγ^0TΨ^?(x), (6.14)

et la matrice 4×4 C sera `a nouveau d´etermin´ee en imposant la sym´etrie de l’´equation de Dirac.

On a

iγ^µ∂_µU_CΨ(t, ~x)U_C^† −mU_CΨ(t, ~x)U_C^† = 0

⇐⇒ iγ^µ∂µηCγ^0TΨ^?(x)−mηCγ^0TΨ^?(x) = 0

⇐⇒ iγ^µCγ^0T∂µΨ^?(x)−mCγ^0TΨ^?(x) = 0

⇐⇒ −iγ^{µ ?}C^?γ^0†∂µΨ(x)−mC^?γ^0†Ψ(x) = 0

=⇒ −iγ⁰(C^?)⁻¹γ^{µ ?}C^?γ⁰∂_µΨ(x)−mΨ(x) = 0,

o`u on a pris le conjugu´e `a la quatri`eme ligne, puis multipli´e parγ<sup>0</sup>(C<sup>?</sup>)<sup>−1</sup> `a la ligne suivante. La matriceC doit donc satisfaire

−γ⁰(C^?)⁻¹γ^{µ ?}C^?γ⁰=γ^µ. (6.15) On multiplie `a gauche et `a droite parγ⁰, remarque queγ⁰γ^µγ⁰=γ^µ†, d’o`u

(C^?)⁻¹γ^{µ ?}C^?=−γ^µ†, ou encore

C⁻¹γ^µC=−γ^{µ T} . (6.16)

Propri´et´es

1. Tout d’abord, on montre facilement que la matriceC doit appartenir `a l’alg`ebre de Clifford.

En effet,

γ^µγ^ν+γ^νγ^µ= 2η^µν =⇒ γ^{ν T}γ^{µ T} +γ^{µ T}γ^{ν T} = 2η^νµ,

et doncγ^{µ T} ∈Clifford. L’´equation (6.16) montre alors queC∈Clifford. On doit donc pouvoir exprimerC comme une fonction des matrices de Dirac.

2. Prenons la transpos´ee de l’´eq. (6.16) :C^Tγ^{µ T}C^−1T =−γ^µ. Autrement dit, γ^{µ T} =−C^−1Tγ^µC^T ,

ce qui montre queC^T =−C. On montrerait de mˆeme queC^†=−C.

3. Finalement,

CC^†=C^†C=I et donc C²=−I.

Dans la repr´esentation de Weyl, il est ais´e de v´erifier par un calcul direct qu’un choix possible pour la matriceC est donn´e par

C=iγ²γ⁰. (6.17)

Apr`es que fut d´ecouverte la violation de la parit´e, on crut un temps que la combinaison charge-parit´e devait ˆetre une v´eritable sym´etrie. Il est apparu dans la d´esint´egration du m´esonK<sup>0</sup>que tel n’est pas le cas. Autrement dit, il est possible de distinguer la mati`ere de l’antimati`ere. Ceci dit, dans de nombreux cas, il peut ˆetre extrˆemement utile d’utiliser les sym´etries discr`etes, que ce soit pour construire des Lagrangiens, ou pour constater imm´ediatement que tel ou tel processus n’est simplement pas possible.

Tous les ´el´ements sont maintenant en notre possession pour attaquer la seconde partie de ce cours : les Lagrangiens d’interaction et le Mod`ele Standard.

Deuxi` eme partie

Champs en interaction

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Note A partir d’ici, nous ne quitterons plus la th´eorie quantique. Les champs seront donc toujours des op´erateurs de champ quantique, et nous nous permettrons donc de laisser tomber syst´ematiquement le chapeau qui permettait jusqu’ici de bien distinguer l’univers quantique de la th´eorie classique.

Chapitre 7

Interactions et r` egles de Feynman

Dans cette deuxi`eme partie, nous nous tournons vers la construction du Mod`ele Standard, utilis´e depuis maintenant plus de 30 ans en physique des particules. Bien qu’il soit aujourd’hui ´evident qu’il n´ecessite un certain nombre de corrections ou d’ajouts, comme par exemple l’existence de neutrinos droitiers, il reste le mod`ele le plus fiable pour d´ecrire la majeure partie des exp´eriences en physique des hautes ´energies.

Dans ce chapitre, nous commen¸cons par d´ecrire ph´enom´enologiquement les diff´erentes exp´eriences qui permettent d’explorer le domaine de la physique des particules ´el´ementaires. Ceci nous permet-tra d’introduire deux grandeurs fondamentales, la section efficace d’une collision et le temps de vie d’une particule. La description math´ematique de ces observables se fait au moyen d’une matrice appel´eematriceS, qui correspond `a l’op´erateur d’´evolution en repr´esentation de Dirac. Finalement, nous introduirons la diagrammatique de Feynman, qui n’est autre qu’une repr´esentation graphique du d´eveloppement deSen th´eorie des perturbations. Elle en simplifie consid´erablement l’´evaluation.

7.1 Collisions

La grande partie des exp´eriences en physique des hautes ´energies se d´eroulent dans des acc´el´erateurs de particules : on acc´el`ere des faisceaux de particules pour finalement leur faire subir des collisions

`

a tr`es haute ´energie qui font apparaˆıtre leur structure intime. On n’entrera pas ici dans les d´etails techniques des diff´erents types d’acc´el´erateurs. Mentionnons simplement qu’il existe d’une part des exp´eriences`a cible fixe, o`u des particules `a haute vitesse viennent heurter une cible au repos dans le laboratoire (o`u se situe le d´etecteur), et d’autre part les collisionneurs o`u deux faisceaux sont acc´el´er´es dans des directions oppos´ees pour finalement venir s’´ecraser l’un contre l’autre. C’est `a cette deuxi`eme famille qu’appartiennent les derniers acc´el´erateurs du CERN, le LEP et surtout le LHC (Large Hadron Collider), collisionneur proton-antiproton dont la mise en fonction est pr´evue pour 2007.

7.1.1 La section efficace

Pour d´ecrire un tel type d’exp´erience, on introduit lasection efficaceσ, grandeur mesurable qui contient toute l’information concernant la collision.

Consid´erons une exp´erience `a cible fixe. De mani`ere ´equivalente, pla¸cons-nous dans le r´ef´erentiel de repos d’un des deux faisceaux, il suffira de s’assurer que la formule que nous obtiendrons soit bien Lorentz-invariante. Prenons une certaine longueurlB dans le faisceau de particules incidentes

`

a vitesse v, et dont la section est S et la densit´e ρB. De mˆeme, soit lT, la largeur de la cible, 81

de densit´e ρT, et de mˆeme section. On d´etecte alors n particules issues de la collision avec des impulsions (pi+dpi),i= 1, . . . , n. Autrement dit, on consid`ere un ´el´ement de volume infinit´esimal dans l’espace de phase des particules produites par la collision. On d´efinit alors la section efficace diff´erentielle dσ par :

dN=

La section efficace diff´erentielle est donc le nombre relatif de particules d´etect´ees par unit´e de volume dans l’espace de phase des particules sortantes. Clairement, c’est aussi la probabilit´e de d´etecter les particules 1, . . . , navec une certaine distribution de leurs impulsions.

Si pour une mˆeme collision, il y a M ´ev´enements diff´erents possibles, avec chacunn_j particules dans l’´etat final, on d´efinit la section efficace totale par

σ=

Pour chacune de voies possibles, on int`egre donc sur l’espace de phase, i.e. on ne s’int´eresse pas `a la distribution des impulsions, et finalement on somme sur tous les processus possibles. La section efficace totale a la dimension d’une aire. Une unit´e typique est lebarn :

1barn= 10⁻²⁴cm².

Exp´erimentalement, on s’int´eresse souvent `a laluminosit´eLdu d´etecteur, d´efinie par Lσ= nombre d’´ev´enements par unit´e de temps.

Par exemple le LHC aura une luminosit´e d’environ 10³⁴cm⁻²s⁻¹.