La matrice S

7.3.1 D´ efinition

Soit une th´eorie d´efinie par un Hamiltonien H, en repr´esentation de Schr¨odinger, qu’on peut

´ ecrire

H=H0+HI, (7.7)

o`uH<sub>0</sub> d´ecrit l’´evolution libre des champs etH<sub>I</sub> repr´esente les diff´erentes interactions possibles. On consid`ere qu’aux temps t = ±∞, les particules n’interagissent pas, autrement dit que dans cette limite, les champs ´evoluent uniquement selon l’Hamiltonien libre. L’´evolution des ´etats est r´egie par l’´equation de Schr¨odinger

−1 i

∂ψ_α

∂t =Hψα, dont la solution est donn´ee par

ψ_α(t) =e^−iHtψ_α(0),

o`u le temps t = 0 correspond au temps de la collision. L’indice α repr´esente ici l’ensemble des nombres quantiques qui caract´erisent un ´etat. Ses ´el´ements peuvent ˆetre continus ou discrets ; le plus souvent, on aura un m´elange des deux. En particulier, il s’agira de l’impulsion, voire du spin, de la charge ou d’autres nombres quantiques significatifs en fonction des cas ´etudi´es.

On d´efinit alors les ´etatsinetout,|ψ_α⁻iet|ψ⁺_αi, comme les ´etats asymptotiques lorsquet→ ±∞

|ψαi ^t→±∞−→ e^−iH0t|ψ^±_αi. (7.8) De mani`ere ´equivalente :

|ψ^±_αi= lim

t→±∞e^iH0te^−iHt|ψα(0)i. (7.9) On cherche alors `a calculer l’amplitude de probabilit´e de la transition entre un certain ´etatin et un certain ´etatout:

hψ⁺_β|ψ⁻_αi. On d´efinit alors la matriceS par l’´egalit´e suivante :

|ψ⁺_αi=S|ψ⁻_αi. (7.10)

On trouve ais´ement l’expression explicite de l’op´erateurS :

|ψ⁺_αi= lim

t→+∞

t⁰→−∞

e^iH0te^−iHte^iHt0e^−iH0t0|ψ⁻_αi. (7.11) Ainsi,

S= lim

t→+∞

t⁰→−∞

e^iH0te^{−iH(t−t0)}e^−iH0t0. (7.12)

Remarque Rappelons bri`evement les trois repr´esentations traditionnelles de la th´eorie quantique.

Dans la repr´esentation de Schr¨odinger, les observables sont constantes et l’´evolution temporelle est port´ee par les ´etats ; dans la repr´esentation de Heisenberg, ce sont les ´etats qui restent invariants alors que les observables varient avec l’´evolution temporelle ; finalement, la repr´esentation de Dirac, ou repr´esentation d’interaction, est mixte : les observables portent l’´evolution libre du syst`eme, alors que les ´etats ´evoluent seulement selon la partie d’interaction de l’Hamiltonien. L’´equation qui relie ces diff´erentes repr´esentations est alors

hψS|OS|ψSi=hψH|OH|ψHi=hψD|OD|ψDi. Si en repr´esentation de Schr¨odinger,H=H0+HI, alors

hψS|e^{i(H0+HI)(t−t0)}OSe^{−i(H0+HI)(t−t0)}|ψSi, et donc, en repr´esentation d’interaction, on a

|ψD(t)i=UD(t, t⁰)|ψD(t⁰)i, (7.13) O_D(t) =e^iH0(t−t0)O_D(t⁰)e^{−iH0(t−t0)}, (7.14) o`u

UD(t, t⁰) =e^iH0te^−iHte^iHt0e^−iH0t0. (7.15) En comparant avec l’´eq. (7.12), on a donc montr´e que la matrice S n’est autre que la limite de l’op´erateur d’´evolution en repr´esentation d’interaction :

S= lim

t→+∞

t⁰→−∞

U_D(t, t⁰). (7.16)

Propri´et´e

[H0, S] = 0, (7.17)

[P0, S] = 0. (7.18)

La preuve est triviale. D’une part,

e^iH0τSe^−iH0τ=S ,

puisque dans le membre de gauche, il suffira de renommer les variables ˜t=t+τ et ˆt=t⁰+τ pour retrouver l’expression de la matriceS.

D’autre part,

e^iP0xSe^−iP0x=S ,

puisque [P0,H0] = 0. Par les r´esultats ´el´ementaires de m´ecanique quantique, on sait que ceci implique directement la conservation de l’´energie et de l’impulsion lors du processus.

Pour extraire de la matriceSsa partie int´eressante, i.e. celle qui d´ecrit uniquement l’interaction, on d´efinit la matriceT par

S=I+iT . (7.19)

La partie Icorrespond en effet `a H=H0, i.e. au cas o`u l’interaction n’a pas lieu, ce qui ne nous int´eresse pas ici. Finalement, on sait que le processus doit conserver le quadrivecteur quantit´e de mouvement. Consid´erons alors des ´etats propres de l’op´erateur quantit´e de mouvement libre P0, i.e. les ´etats asymptotiques d’impulsion bien d´efinie : l’´etatout|q1. . . qmiet l’´etatin|p1. . . pni. On d´efinit l’´el´ement de matriceM(in→out)∈Cpar

hq1. . . qm|iT|p1. . . pni=i(2π)⁴δ⁽⁴⁾



 X

i

qi−X

j

pj



M(in→out) . (7.20) On appelle souvent Ml’amplitude de diffusion, c’est la grandeur essentielle en physique des parti-cules, qui permet le lien entre th´eorie et ph´enom´enologie.

7.3.2 Matrice S et temps de vie

Dans cette partie, nous allons d´eriver la formule qui relie la largeur d’une particule `a l’amplitude de diffusion, i.e. `a la matriceS. Nous nous permettrons des calculs ‘`a la physicien’, i.e. o`u la rigueur math´ematique ne constitue pas le souci essentiel. On pourrait au prix d’efforts consid´erablement plus intenses y apporter la rigueur n´ecessaire.

Dans le cas d’une d´esintegration, l’´etat asymptotique initial est simplement |pi. Calculons la probabilit´e de transition. On ´ecrit¹

Prob (|pi → |q1. . . qni)∼ |hq1. . . qm|iT|pi|²= (2π)⁸δ⁽⁴⁾ X

i

qi−p

!

δ⁽⁴⁾(0)|M|². (7.21) Mais

δ⁽⁴⁾(k) =

Z d⁴x

(2π)⁴e^ikx δ⁽⁴⁾(0) =

Z d⁴x

(2π)⁴ = V ·T (2π)⁴ ,

si l’on ´etait dans un volumeV et un intervalle de temps T fini. De plus, on cherche un ´etat initial norm´e :

h0|a(p)a^†(p)|0i= (2π)³2ε_~pδ⁽³⁾(0) = (2π)³2ε_~p V

(2π)³ = 2ε_~pV . Donc |pi = √¹

2V ε_~pa^†(p)|0i. Finalement, on introduit l’´el´ement de volume dans l’espace de phase des particules sortantes

dΦ =

n

Y

i=1

d³qi

(2π)³2ε_qi , (7.22)

C’est l’´el´ement de volume invariant par rapport au groupe de Lorentz. On peut alors ´ecrire la probabilit´e comme

Prob (|pi → |q1. . . qni) = 1

2ε~pV(2π)⁴δ⁽⁴⁾ X

i

qi−p

!

|M|²V T dΦ. (7.23)

1Rappelons que [δ(x)]²≡δ(x)δ(0).

Finalement, la largeur diff´erentielle est donn´ee pardΓ = Prob(|pi→|q1...qni)

ou encore, dans le r´ef´erentiel de repos de la particule de masse M, dΓ = 1

C’est la formule que nous cherchions `a obtenir. Une fois que la th´eorie sous-jacente au processus a fourni l’amplitude de diffusion, on connaˆıt la dur´ee de vie d’une particule, qui peut alors ˆetre mesur´ee et le r´esultat confront´e aux pr´edictions th´eoriques.

Dimensions : [dΓ] =GeV¹, [δ⁽⁴⁾(k)] =GeV⁻⁴, [dΦ] =GeV²ⁿ, d’o`u [M] =GeV<sup>3−n</sup>, ou encore [M] =GeV<sup>4−N</sup>, o`u N= nombre de particules impliqu´ees dans le processus.

Ce dernier r´esultat ´etant valable quel que soit le type de processus consid´er´e, bien ´evidemment.

7.3.3 Matrice S et section efficace

On cherche maintenant `a ´etablir le mˆeme type de r´esultat pour une collision de deux particules.

La d´emarche est semblable `a ce que nous avons fait dans la section pr´ec´edente, mais avec deux normalisations puisque l’´etat initial contient deux particules. On peut directement ´ecrire l’´equivalent de l’´eq. (7.23) : Pla¸cons-nous alors dans le r´ef´erentiel de repos de la particule 2. En reprenant les notations du d´ebut de ce chapitre, on a iciNB =NT = 1, d’o`uρBlBS =ρTlTS = 1. AlorsρB = _V¹. Par ailleurs, siv est la vitesse de la particule incidente,lB=vT. Ainsi,ρBlB= _V¹vT, d’o`u

T

V =ρBlB

v . On substitue ceci dans la probabilit´e :

Prob (|p1p2i → |q1. . . qni) = ρBlB Pour traiter un cas tout `a fait g´en´eral, on d´efinit la section efficace comme la probabilit´e de la transition par unit´e de flux de particules incidentes. Ainsi,

dσ= 1

Finalement, on cherche une expression g´en´erale, qui soit valable dans tout r´ef´erentiel. Il faut donc trouver la fonction I = I(p1, p2, M1, M2), Lorentz invariante, qui se r´eduise `a 4vεp₁M2 dans le r´ef´erentiel de repos de la cible. La fonctionI ne peut d´ependre que des scalaires

p²₁=M₁², p²₂=M₂² p1p2

labo= εp₁M2.

On commence par noter quev=^|~_ε^p1|

p1

. Le d´enominateur de (7.28) est donc 4|~p1|M2= 4q

−M₁²+ε²_p1M2. On voit alors clairement que l’expression invariante est simplement

4I= 4 q

(p₁·p₂)²−M₁²M₂², (7.29) d’o`u finalement la section efficace Lorentz invariante :

dσ= 1

4p

(p1·p2)²−M₁²M₂²(2π)⁴δ⁽⁴⁾



 X

i

qi−X

j

pj



|M|²

n

Y

i=1

d³qi

(2π)³2ε_qi

!

. (7.30)

Dans le document Champs Quantiques Relativistes (Page 89-93)