Le groupe SU(2)

Ces id´ees furent introduites `a l’origine par Yang et Mills en 1954. Ils avaient alors en tˆete la sym´etrie de l’isospin que nous avons utilis´ee pour introduire les concepts au tout d´ebut de ce cha-pitre. On parlera donc de th´eories de Yang-Mills. Le groupe SU(2) n’engendre pas directement d’interaction dans le Mod`ele Standard, mais c’est l’exemple le plus simple de groupe non-ab´elien int´eressant. L’int´erˆet `a d´evelopper cette th´eorie est double : d’une part, elle illustre tous les concepts pour les th´eories de jauges non ab´eliennes, d’autre part, elle mettra en ´evidence la n´ecessit´e d’in-troduire un m´ecanisme de brisure des sym´etries (qui sera d´evelopp´e au chapitre suivant).

Partons du Lagrangien libre de deux spineurs de mˆeme masse, r´eunis en un vecteur `a huit composantes, not´e aussi Ψ, comme dans le cas du nucl´eon :

L =iΨγ^µ∂µΨ−mΨΨ. (9.13)

Nous avons d´ej`a not´e que le groupe SU(2) est un groupe de sym´etrie de cette th´eorie, pour des matrices U ∈SU(2) constantes, i.e. des transformations globales. A nouveau, imposons la trans-formation locale U(x) ∈ SU(2), ce qui signifie que la transformation infinit´esimale U(x) s’´ecrit aussi

U(x) =I+iαa(x)T^a, (9.14)

o`u T^a∈su(2).

Le terme cin´etique devient :

iΨγ^µ∂µΨ −→ iΨU^†(x)γ^µ(U(x)∂µΨ +∂µU(x)Ψ) =iΨγ^µ∂µΨ +iΨγ^µU^†(x)∂µU(x)Ψ. (9.15) Ainsi, il apparaˆıt `a nouveau un terme suppl´ementaire, qu’il s’agira de faire disparaˆıtre. Introduisons la notation

B_µ(x) =iU^†(x)∂_µU(x), (9.16)

de sorte que le terme en question s’´ecrive

Ψγ^µB_µΨ. (9.17)

CeB_µ est donc l’analogue de∂_µαen ´electrodynamique, mais avec trois degr´es de libert´es, i.e. trois fonctions ind´ependantes de x. Montrons d’abord queB_µ∈su(2), autremement dit, montrons que

B_µ^† =Bµ, (9.18)

Tr [B_µ] = 0, (9.19)

o`u la trace est bien sˆur prise sur l’espace des matrices 2×2. En effet, (i) : U U^† =I =⇒ ∂µ U U^†

= 0 =⇒ U ∂µU^†

+ (∂µU)U^† = 0 ; (ii) : soitU =I+iα_a(x)T^a, alors∂_µU =i∂_µα_a(x)T^a,

d’o`u, au plus bas ordre,Bµ=i(I−iαa(x)T^a) (i∂µαa(x)T^a) =−∂µαa(x)T^a et donc Tr [B_µ] =−∂_µα_a(x)Tr [T^a] = 0.

Nous sommes prˆets `a continuer dans l’´etablissement de la th´eorie. Il suffit d’appliquer une proc´edure identique `a celle qui conduit `a l’´electrodynamique. Le but principal ´etant, rappelons-le, d’ajouter suffisamment d’´el´ements au Lagrangien pour rendre ce dernier sym´etrique par rapport au groupe SU(2). Pour cela, il faudra

1. introduire un champA_µ; 2. d´efinir une d´eriv´ee covariante ;

3. imposer la bonne loi de transformation deA_µ sous la transformation de jauge ; 4. identifier le bon Lagrangien libre pourAµ.

On obtiendra alors directement les termes d’interaction du champ de jauge et du champ spinoriel.

Plus explicitement :

1. On introduit le nouveau champ de jauge pour ´eliminer le terme suppl´ementaire. Il doit donc ˆetre de la mˆeme nature que ce dernier. Donc

Aµ(x)∈su(2).

On peut donc le consid´erer de mani`ere ´equivalente comme matrice 2×2, ou comme trois champs vectorielsA^a_µ(x).

2. D´efinissons la d´eriv´ee covariante

D_µ =I2∂_µ−iA_µ. (9.20)

3. Choisissons la loi de transformation deAµ qui annule le terme enBµ :

A_µ −→ U A_µU^†−i(∂_µU)U^†. (9.21) 4. Par analogie avec l’´electrodynamique, d´efinissons le tenseurFµν par

−iFµν = [Dµ, Dν] . (9.22)

V´erifions que nous avons bien d´efini les diff´erents objets. Tout d’abord, D_µ est bien une d´eriv´ee covariante :

DµΨ −→ ∂µ−iU AµU^†−(∂µU)U^† UΨ

= (∂µU) Ψ +U ∂µΨ−iU AµΨ−(∂µU) Ψ =U(∂µ−iAµ) Ψ

=U DµΨ.

En particulier, on a aussiDµ→U DµU^†. Avec ceci, il est ais´e de montrer que le groupe SU(2) local est bien un groupe de sym´etrie du Lagrangien (sans consid´erer pour l’instant le terme libre pour A_µ). En effet,

iΨγ^µDµΨ −→ iΨU^†γ^µU DµΨ =iΨγ^µDµΨ,

ce qui est naturel puisque nous avons pr´ecis´ement choisi le champ A_µ et sa loi de transformation dans ce but. De la d´efinition (9.20), on trouve que le terme d’interaction fermion-champ de jauge est donn´e par

LI = Ψγ^µΨA_µ, (9.23)

et il de la forme de l’interaction d’un courant associ´e au spineur avec le champ de jauge A_µ. Il nous reste `a construire le Lagrangien du champ de jauge seul. De la d´efinition du tenseurF_µν, on en tire sa loi de transformation :

Fµν =i[Dµ, Dν] −→ i

U DµU^†, U DνU^†

=iU[Dµ, Dν]U^†=U FµνU^†. (9.24)

Par analogie avec le cas ab´elien, et afin d’assurer l’invariance de Lorentz, on cherche un terme quadratique enFµν, qui soit de plus invariant sous les transformations de jauge. CommeFµνF^µν → U FµνF^µνU^†, la seule possibilit´e est

LA=CTr [F_µνF^µν] , (9.25)

puisque la cyclicit´e de la trace permettra d’´eliminer lesU r´esiduels apr`es transformation de jauge.

Pour d´eterminer la constante, nous allons maintenant choisir la repr´esentation deA_µ comme trois champs vectoriels. Pour chacun d’entre eux, nous allons logiquement imposer que le terme libre soit ´equivalent `a celui du champ vectoriel de l’´electrodynamique. Comme Aµ ∈ su(2), on peut le d´ecomposer de la mani`ere suivante :

A_µ=gA^a_µτ^a

2 . (9.26)

De plus, on peut donner la repr´esentation explicite du tenseur Fµν en terme du champAµ : F_µν =∂_µA_ν−∂_νA_µ−i[A_µ, A_ν] . (9.27) Ainsi, ce tenseur fait aussi partie de l’alg`ebresu(2), on peut donc l’´ecrire de mˆeme

F_µν =gF_µν^a τ^a

2 . (9.28)

On peut alors ins´erer la d´ecomposition (9.26) dans l’eq. (9.27), puis en identifiant les termes, calculer la repr´esentation deF_µν^a en terme de champsA^a_µ :

Fµν =gτ^a

2 ∂µA^a_ν−∂νA^a_µ

−ig² τ^b

2,τ^c 2

A^b_µA^c_ν

=gτ^a

2 ∂µA^a_ν−∂νA^a_µ

+g^2bcdτ^d

2 A^b_µA^c_ν=gτ^a 2

∂µA^a_ν−∂νA^a_µ

+g^abcA^b_µA^c_ν , d’o`u

F_µν^a = ∂µA^a_ν−∂νA^a_µ

+g^abcA^b_µA^c_ν. (9.29)

Alors

CTr [F_µνF^µν] =Cg²

4 F_µν^a F^{µν b}Tr τ^aτ^b

| {z }

=2δ_ab

=Cg²

2 F_µν^a F^{µν a}. On choisit doncC=−_2g¹2.

Nous avons donc obtenu une th´eorie compl`etement SU(2)-local invariante, avec deux spineurs et trois champs de jauge. Rassemblons en un seul tableau tous les r´esultats :

L =− 1

2g²Tr [F_µνF^µν] +iΨγ^µD_µΨ−MΨΨ, (9.30)

o`u Dµ=∂µ−iAµ, (9.31)

et F_µν =∂_µA_ν−∂_νA_µ−i[A_µ, A_ν] ; (9.32) jauge :

Aµ −→ U AµU^†−i(∂µU)U^†,

Ψ −→ UΨ. (9.33)

Nous avons d´ej`a mis en ´evidence le terme d’interaction qui provient de la d´eriv´ee covariante.

Parall`element, on observe que la structure non commutative de l’alg`ebre su(2) induit directement des termes d’interactions entre les trois champs vectoriels. En effet,

F_µν^a F^{µν a}= ∂µA^a_ν−∂νA^a_µ

(∂^µA^{ν a}−∂^νA^{µ a}) + 4g^abc∂µA^a_νA^{µ b}A^{ν c}+g^2abcadeA^b_µA^c_νA^{µ d}A^{ν e},

o`u on a bien les termes cin´etiques traditionnels, mais en plus deux types d’interaction `a trois et `a quatre champs de jauge. C’est l`a une diff´erence fondamentale avec l’´electrodynamique quantique o`u les photons ´evoluent de mani`ere ind´ependante les uns par rapport aux autres. La figure 9.2 montre les trois vertex possibles, avec leur facteur respectif.

Fig.9.2 – Les trois vertex de la th´eorie de jaugesu(2).

Finalement, on peut r´e´ecrire le Lagrangien (9.30) plus explicitement avec tous les indices. On obtient une expression passablement plus compliqu´ee, mais tout `a fait ´equivalente et plus r´ev´elatrice du contenu physique de la th´eorie :

L =−iΨ∂Ψ/ −MΨΨ−1

4 ∂µA^a_ν−∂νA^a_µ

(∂^µA^{ν a}−∂^νA^{µ a}) +gA^a_µΨγ^µτ^a

2 Ψ +g^abc(∂µA^a_ν)A^{µ b}A^{ν c}−1

4g^2abcadeA^b_µA^c_νA^{µ d}A^{ν e}. (9.34) A nouveau, il est int´eressant de noter qu’il n’y qu’une seule constante de couplage en jeu, la sym´etrie de jauge ayant impos´e une relation stricte entre les diff´erents termes du Lagrangien d’interaction.

Remarque Historiquement, Yang et Mills tent`erent d’appliquer ceci `a la th´eorie de l’interaction forte et de d´ecrire ainsi les m´esons vectoriels comme le tripletρ⁰, ρ^±. Malheureusement, ce fut un

´

echec, puisque ces particules sont massives et que les bosons de jauge A^a_µ sont sans masse. Il est d’ailleurs impossible d’ajouter des termes de masse dans le Lagrangien qui respecteraient toutes les sym´etries pr´esentes ici. Nous verrons par la suite comment r´esoudre ce probl`eme essentiel : comment conf´erer aux bosons interm´ediaires une masse non nulle ? On devra faire appel `a un principe nouveau, la brisure spontan´ee de sym´etrie et le m´ecanisme de Higgs.