.
Il est alors clair que ce Lagrangien est invariant sous le groupe de transformations U(2), i.e.
Ψ −→ UΨ, U ∈U(2). (8.27)
On a donc mis en ´evidence une nouvelle sym´etrie plus g´en´erale, qui m´elange les composantes des deux spineurs repr´esentant le proton et le neutron. Le groupe de sym´etrie U(2) est un groupe `a quatre param`etres r´eels qui se d´ecompose de la mani`ere suivante :
U(2) = SU(2)×U(1). (8.28)
En effet, soit U ∈ U(2). Alors U†U = I, ce qui implique |detU|2 = 1, i.e. detU =eiα pour un certainα∈R. Donc
U =eiαV
pour une certaine matriceV ∈SU(2), ce qui montre le r´esultat.
Il est alors ais´e d’appliquer le th´eor`eme de Noether pour construire les courants associ´es. Nous comprenons maintenant mieux la signification des fonctions C(n) introduites au chapitre 2 dans le cadre de la th´eorie de Noether. Ce sont les g´en´erateurs du groupe de sym´etrie du Lagrangien consid´er´e. On trouve donc
– pour SU(2),
θa µ= ∂L
∂∂µΨ
iτa 2 Ψ
=−Ψγµτa
2 Ψ, a= 1,2,3, (8.29) – pour U(1),
jµ= ∂L
∂∂µΨ(iΨ) =−ΨγµΨ. (8.30)
On a bien trouv´e quatre courants de Noether pour un groupe de sym´etrie `a quatre param`etres.
Le courant associ´e `a U(1) est alors interprˆet´e comme le courant de nombre baryonique. Dans ce cadre-ci, on appelle le groupe SU(2)groupe de l’isospin, par analogie. Le nucl´eon est alors interpr´et´e comme une particule d’isospin 12, dont le proton et le neutron sont les deux ´etats possibles.
R´esumons bri`evement le concept. Ayant constat´e que les deux spineurs qui forment le noyau atomique ont (essentiellement) la mˆeme masse et les mˆeme propri´et´es par rapport `a la force forte, il est possible de les consid´erer comme les deux ´etats d’une mˆeme particule, le nucl´eon. Ils sont alors les ´etats propres des g´en´erateurs du nouveau groupe de sym´etrie associ´e `a ce nouveau ‘doublet’.
Bien que la th´eorie de l’isospin ne joue plus `a l’heure actuelle un rˆole fondamental, il est im-portant de bien comprendre `a ce stade-ci la d´emarche, puisque beaucoup d’ingr´edients essentiels `a la construction du Mod`ele Standard se trouvent d´ej`a ici. Nous commen¸cons par g´en´eraliser ceci `a des particules d’isospin 1, ce qui permet d’´etendre le Lagrangien tout en conservant sa sym´etrie par rapport aux transformations de l’isospin.
8.3 L’isospin pour le pion
De mˆeme que les nucl´eons, les pions forment une famille de trois particules scalaires, les Π± et le Π0, qui subissent l’interaction forte, et dont les masses sont tr`es proches :m± = 139.6M eV et m0 = 135M eV. Il est donc logique de tenter d’appliquer une strat´egie similaire pour les d´ecrire.
La densit´e lagrangiennne s’´ecrit naturellement L = 1
2∂µΠ0∂µΠ0−1
2m20Π20+∂µΠ?∂µΠ−m2±Π?Π. (8.31)
Comme dans le cas pr´ec´edent, l’id´ee est de consid´erer ces trois particules comme les trois ´el´ements d’un mˆeme triplet par rapport `a un certain groupe de sym´etrie. D´efinissons alors les trois champs r´eelsϕi,i= 1,2,3, par
o`u les masses n’ont plus d’indices puisqu’on suppose qu’elles sont ´egales. Par rapport `a l’indice i, on a un produit scalaire
L = 1
2∂µΦT∂µΦ−1
2m2ΦTΦ, (8.33)
o`u ΦT = (ϕ1, ϕ2, ϕ3). Ainsi, on a bien fait apparaˆıtre une nouvelle sym´etrie, celle du groupe O(3) :
Φ −→ OΦ, O∈O(3). (8.34)
Cette construction pr´esente non seulement l’int´erˆet de la mise en ´evidence d’une sym´etrie plus grande d’un certain Lagrangien, mais plus encore, elle souligne la similitude de ce cas-ci avec le cas du nucl´eon : la sym´etrie O(3) est aussi une sym´etrie d’isospin. En effet, nous avons d´ej`a not´e dans la premi`ere partie de ce chapitre que les groupes O(3) et SU(2) partageaient la mˆeme alg`ebre, donc la mˆeme structure infinit´esimale. Il est alors possible de construire un Lagrangien pour les pions et les nucl´eons qui soit globalement invariant sous une transformation d’isospin, pour autant qu’on trouve un terme d’interaction qui soit non seulement Lorentz invariant, mais aussi isospin invariant.
Les deux termes envisageables sont
fSΨτa
2 Ψϕa (8.35)
et fAΨτa
2 γ5Ψϕa. (8.36)
En effet, lors d’une transformation infinit´esimale, on a Ψ −→ I2+iαcτc
2
Ψ, Φ −→ I3+iβdJd
Φ. (8.37)
La variation du terme d’interaction lors d’une telle transformation est donc δ
On constate donc que si la transformation des pions est la mˆeme que celle des nucl´eons, i.e. si αc=βc,c= 1,2,3, alors la variation du terme d’interaction est bien nulle, et le groupe de l’isospin est bien une sym´etrie du Lagrangien. Il n’y a donc plus deux groupes distincts, mais un unique avec un seul triplet de param`etresαc.
En r´esum´e, le Lagrangien libre admet le groupe SU(2)×O(3) comme groupe de sym´etrie. Pour cela, il a ´et´e n´ecessaire de regrouper le proton et le neutron en un seul doublet (‘isospin 1/2’) SU(2), et les trois pions en un triplet (‘isospin 1’) O(3). Si maintenant on introduit un terme d’interaction, il ne reste plus que le groupe SU(2). Ce qui implique finalement que
– mp=mn=M, – m±=m0=m,
– la transformation du pion et du nucl´eon est la mˆeme, i.e. d´ecrite par une seule constante.
Il est essentiel de remarquer ici que le Lagrangien d’interaction est possible uniquement grˆace au fait que les alg`ebres des groupes en question ont les mˆemes constantes de structure. C’est aussi ce qui permet d’interpr´eter les deux groupes comme deux repr´esentations diff´erentes d’une mˆeme sym´etrie, celle de l’isospin.
Notons encore qu’exp´erimentalement,fS = 0. CommeΨγ5Ψest pseudo-scalaire, i.e. de parit´e
−1, on en d´eduit que le pion est aussi une particule pseudo-scalaire si l’on impose que la parit´e soit une sym´etrie de ce Lagrangien.
Nous avons d´ej`a touch´e un certain nombre de points essentiels dans cette analyse. Les sym´etries sont le principe fondamental pour l’´etablissement des Lagrangiens. Non seulement est-il satisfaisant d’obtenir une th´eorie qui pr´esente la plus haute sym´etrie possible, mais on constate d´ej`a ici que le fait d’imposer une certaine sym´etrie ajoute des contraintes qui d´eterminent les termes autoris´es dans le Lagrangien d’une part, et qui restreignent l’espace des param`etres d’autre part : masses
´
egales, relations entre les charges des particules, i.e. entre les param`etres des transformations des champs. Les sym´etries forment donc un outil extrˆemement puissant en th´eorie des champs.
Chapitre 9
Sym´ etries locales et champs de jauge
Nous passons dans ce chapitre au concept de sym´etrie de jauge locale, qui est l’´el´ement cen-tral dans la construction du Mod`ele Standard. La notion dechamp de jaugeen est la cons´equence imm´ediate. Nous traiterons tout d’abord les groupes de sym´etrie ab´eliens, `a partir de l’´electrodynamique quantique. Puis nous passerons au domaine plus subtil des sym´etries non ab´eliennes avec comme exemple essentiel la chromodynamique quantique, i.e. la th´eorie de l’interaction forte.
9.1 Le cas de l’´ electrodynamique quantique : groupe ab´ elien
Nous commen¸cons par rappeler le Lagrangien de l’´electrodynamique quantique : L =−1
4FµνFµν+iΨγµ∂µΨ−mΨΨ +eΨγµΨAµ. (9.1) Il s’agit donc d’une th´eorie avec un champ vectoriel sans masse et un champ spinoriel massif, coupl´es par le dernier terme. Nous avions observ´e au chapitre 4 que le champ vectoriel sans masse libre est invariant sous la transformation suivante :
Aµ −→ A0µ=Aµ+1
e∂µα(x). (9.2)
Parall`element, le champ spinoriel libre est invariant sous
Ψ −→ Ψ0 =eiβΨ, o`u β est une constante. (9.3) L’objectif de cette section est de montrer le lien qu’il existe entre ces deux sym´etries des champs libres lorsqu’ils sont coupl´es l’un `a l’autre.
9.1.1 Le champ A
µcomme champ de jauge
Consid´erons le probl`eme du champ spinoriel. Jusqu’ici, nous avons consid´er´e le param`etre β de l’exponentielle comme une constante. Est-il possible de choisir une fonction arbitraire des coor-donn´eesβ(x) ? Le termemΨΨ reste bien sˆur invariant. Par contre, le terme cin´etique produit un facteur suppl´ementaire :
iΨγµ∂µΨ −→ iΨe−iβ(x)γµh
i(∂µβ(x))eiβ(x)Ψ +eiβ(x)∂µΨi
=iΨγµ∂µΨ−ΨγµΨ∂µβ(x). (9.4) 115
C’est ici qu’intervient le terme d’interaction. En effet, si lors de la transformation du champ Ψ, le champAµ se transforme selon l’´eq. (9.2), alors le terme d’interaction devient
eΨγµΨAµ −→ eΨγµΨAµ+ ΨγµΨ∂µα(x). (9.5) Et on constate donc que les deux termes exc´edentaires s’annulent si on choisit les fonctionsαet β telles queα(x) =β(x). On v´erifie encore que le Lagrangien libre du champ vectoriel reste invariant :
Fµν −→ ∂µAν+1
e∂µ∂να−∂νAµ−1
e∂ν∂µα=Fµν, puisque les d´eriv´ees partielles commutent.
On vient donc de montrer que le Lagrangien (9.1) est invariant sous la transformation jointe des deux champs suivante
Aµ −→ Aµ+1e∂µα(x),
Ψ −→ exp [iα(x)]Ψ. (9.6)
On parle desym´etrie de jauge U(1)-locale. Le groupe de sym´etrie pour le champ spinoriel ´etant bien sˆur U(1), et le terme local se rapporte au fait que la phase, i.e. le param`etre de la transformation, peut d´ependre du point d’espace-temps consid´er´e.
D´efinition On d´efinit lad´eriv´ee covarianteDµ comme l’op´erateur diff´erentiel suivant :
Dµ=∂µ−ieAµ. (9.7)
Elle tient son nom de la propri´et´e importante suivante. Lors d’une transformation de jauge, on a
DµΨ −→ eiα(x)DµΨ, (9.8)
autrement dit, la d´eriv´ee covariante du spineur se transforme comme le spineur lui-mˆeme, ce qui n’est pas le cas de sa d´eriv´ee ordinaire. En effet,
Dµ0Ψ0= [∂µ−ieAµ−i∂µα(x)]eiα(x)Ψ =eiα(x)DµΨ−i∂µα(x)eiα(x)Ψ +i∂µα(x)eiα(x)Ψ. Notons la propri´et´e suivante de la d´eriv´ee covariante, qui est tout `a fait analogue `a celle de la d´eriv´ee covariante qui apparaˆıt en relativit´e g´en´erale (avec la contraction partielle du tenseur de Riemann dans ce cas-l`a) :
[Dµ, Dν] =−ieFµν. (9.9)
En utilisant cette d´efinition, on peut alors ´ecrire le Lagrangien comme L =−1
4FµνFµν+iΨγµDµΨ−mΨΨ. (9.10) Remarques importantes
1. Jusqu’ici, nous avons simplement constat´e que les transformations des champs consid´er´ees constituaient bien une sym´etrie du Lagrangien. On aurait pu envisager le probl`eme sous un angle tout `a fait diff´erent. En effet, on aurait pu partir du Lagrangien libre du champ spinoriel, invariant sous la transformation U(1)-globale. On aurait alors impos´e la sym´etrie locale et constat´e qu’il apparaˆıt un terme suppl´ementaire lors de la transformation. On aurait alors introduit le champ Aµ et la d´eriv´ee covariante, et choisi la loi de transformation de ce nouveau champ de sorte `a obtenir un Lagrangien v´eritablement invariant. C’est la raison pour laquelle le champ vectoriel est en g´en´eral appel´echamp de jauge: c’est la sym´etrie de jauge locale qui impose sa pr´esence.
2. On constate qu’en suivant cette d´emarche, le terme d’interaction n’est plus choisi au hasard, mais il d´ecoule naturellement de la d´efinition de la d´eriv´ee covariante. Partant du Lagrangien libre pour les spineurs, imposer la sym´etrie de jauge locale d´etermine donc de mani`ere unique le Lagrangien d’interaction1. On a donc trouv´e un principe de sym´etrie premier qui produit l’´electrodynamique quantique de mani`ere unique. On peut raisonnablement esp´erer produire de la mˆeme mani`ere les autres interactions de la nature. C’est le concept fondamental dans la structure du Mod`ele Standard.
9.1.2 L’´ electrodynamique quantique scalaire
Il nous est maintenant ais´e de construire la th´eorie de l’´electrodynamique pour des particules scalaires, sachant que l’interaction ´electromagn´etique est le fruit de la sym´etrie de jauge locale.
Il suffit d’´ecrire le Lagrangien libre pour un champ scalaire charg´e, i.e. complexe, d’introduire le champ de jaugeAµ et son Lagrangien libre, puis de remplacer la d´eriv´ee par une d´eriv´ee covariante.
On obtient alors tous les termes d’interaction possibles.
Le Lagrangien est donc L =−1
4FµνFµν+ (Dµφ)?(Dµφ)−m2φ?φ−λ(φ?φ)2 , (9.11) o`u on a d´ej`a d´ecrit la self interaction du champ scalaire. Il suffit de lire maintenant l’interaction du champ scalaire et du potentiel ´electromagn´etique :
(∂µφ?+ieAµφ?) (∂µφ−ieAµφ) =∂µφ?∂µφ+e2AµAµφ?φ+ieAµ(φ?∂µφ−φ∂µφ?) . (9.12) Nous avons donc deux termes d’interaction diff´erents, outre le terme cin´etique libre pour le champ scalaire :
Fig.9.1 – Les deux termes d’interaction de l’´electrodynamique scalaire, impos´es par la sym´etrie de jauge locale.
Le second est relativement intuitif, puisqu’il repr´esente l’interaction du courant de φ avec le champ ´electromagn´etique. Le premier par contre l’est nettement moins, et il eˆut ´et´e plus difficile de le justifier sans l’aide du principe de sym´etrie. La sym´etrie de jauge impose de plus une relation stricte entre les constantes de couplage de ces deux termes. Une fois de plus, on voit ici la puissance du principe de sym´etrie : il d´etermine compl`etement le Lagrangien, la forme de tous les termes d’interaction, les relations entre constantes de couplage.
1En fait, il faut aussi imposer que toutes les constantes de coulpage ont une dimension positive, ce qui est essentiel pour que la th´eorie soit bien d´efinie, i.e. renormalisable.