2.2 Les sp´ ecificit´ es du fonctionnement de l’horloge HORACE
2.2.3 L’interrogation des atomes
G´en´eralit´es
Le fonctionnement temporel d’HORACE permet de r´ealiser diff´erentes m´ethodes d’interro-gation (Rabi ou Ramsey) et de modifier leurs dur´ees `a loisir. Ceci permet notamment d’´etudier plus ais´ement certains effets syst´ematiques qui d´ependent beaucoup de la s´equence d’interro-gation (cavity pulling, transitoires de phase dus au switch micro-onde). La chute du nuage d’atomes froids dans le champ de pesanteur impose une dur´ee maximale `a l’interrogation de l’ordre de 50 ms.
On peut r´ealiser en pratique 2 types d’interrogations7 :
7. Une contrainte technique importante `a noter est celle concernant le switch micro-onde. Il est crucial que celui-ci pr´esente `a la fois une forte att´enuation (pour ´eviter des couplages parasites lors d’une s´equence de Ramsey) et un faible transitoire de phase. Ces remarques sont d’autant plus valables que les atomes sont toujours dans la cavit´e micro-onde.
54 Chapitre 2. L’horloge HORACE : Concepts fondateurs et projets
La m´ethode de Rabi C’est la plus simple, elle consiste en une unique impulsion micro-onde π de dur´ee τ . La largeur de raie atomique est alors ∆ν = 0.8/τ . Ce type d’interrogation pose a priori moins de contraintes sur la qualit´e de l’extinction du signal micro-onde par le switch.
La m´ethode Ramsey Elle consiste en deux impulsions π/2 s´epar´ees par un temps de libre ´evolution de dur´ee T . Dans le cas usuel o`u T τ , on a ∆ν = 0.5/T . Elle permet donc d’obtenir une meilleure stabilit´e qu’avec la m´ethode de Rabi, mais pose plus de contraintes sur le switch (transitoires de phase et extinction) durant la phase de libre ´evolution.
Influence de l’oscillateur local et Effet Dick
Un des aspects essentiels de la stabilit´e d’une horloge `a fonctionnement cyclique provient de l’influence de l’oscillateur local. En effet, il peut d´egrader consid´erablement les performances du r´esonateur atomique en augmentant le bruit du signal vu par les atomes. Ce probl`eme est de taille car un r´esonateur atomique aussi bon soit-il ne pourra exhiber ses performances r´eelles s’il n’est pas utilis´e avec un oscillateur appropri´e. On citera l’exemple parlant des fontaines atomiques qui, dans la majorit´e des cas, ont une stabilit´e de fr´equence limit´e vers 10−13 τ−1/2 lorsqu’elles sont utilis´ees avec un oscillateur quartz et vers quelques 10−14 τ−1/2 avec un oscil-lateur cryog´enique dont le bruit de phase est bien plus faible.
Le probl`eme est similaire pour HORACE mais il est bien sˆur hors de question d’utiliser `
a terme un oscillateur cryog´enique bien trop volumineux. L’optimisation des performances de l’horloge HORACE n´ecessite donc une ´etude compl`ete et la prise en compte de l’influence de l’oscillateur local.
Interpr´etation physique Dans les horloges dont le fonctionnement n’est pas continu (ions, atomes froids) le temps d’interrogation Tint peut ˆetre notablement plus court que le temps de cycle Tc. Ainsi, au cours d’un cycle, le r´esonateur atomique de l’horloge ne mesure la fr´equence de l’oscillateur que pendant la dur´ee Tint. On r´ealise donc un ´echantillonnage temporel du signal de l’oscillateur `a la p´eriode T c. Cet ´echantillonnage temporel se r´epercute dans l’espace de Fourier, o`u le spectre de bruit de l’oscillateur est convolu´e par un peigne de Dirac dont les raies sont espac´ees de 1/Tc. Ainsi, des composantes de bruit hautes fr´equences sont ”repli´ees” en basse fr´equence et d´egradent le spectre de bruit effectif vu par les atomes.
Elements du mod`ele et limitations Cette d´egradation a ´et´e interpr´et´ee par G.J.Dick et porte donc le nom ”d’effet Dick”. On trouvera dans la r´ef´erence [14] des mod´elisations rigoureuses de cet effet et des limitations qu’il impose sur la stabilit´e de fr´equence. Cette limitation d´epend de deux facteurs. D’une part, du spectre de bruit de fr´equence de l’oscillateur Sy(f ) et d’autre part de la s´equence d’interrogation dont l’influence est usuellement d´ecrite par la fonction de sensibilit´e g(t) [14][13]. Cette fonction traduit la mani`ere dont les atomes (ou plus exactement la probabilit´e de transition) r´eagissent `a une perturbation de phase lors de l’interrogation8. En particulier, g(t) d´epend du type d’interrogation et g(t) est nulle en dehors de la phase d’interrogation. On montre que le contenu spectral de cette fonction g(t) aux fr´equences multiples de la fr´equence de cycle fc= 1/Tcpond`ere le repliement des composantes de bruit haute-fr´equence mentionn´e plus haut.
Ainsi, la limitation apport´ee par l’oscillateur local s’´ecrit en terme d’´ecart-type comme :
8. Cette perturbation pouvant provenir d’un effet agissant directement sur le atomes (champ magn´etique, light shift,etc..) ou bien d’une perturbation directe de la fr´equence du champ micro-onde d’interrogation.
2.2. Les sp´ecificit´es du fonctionnement de l’horloge HORACE 55 σyDick = ∞ X n=1 gn2 g20Sy(nfc) !1/2 .τ−1/2 (2.9)
avec les gn coefficients de Fourier de la fonction g(t) aux fr´equences harmoniques de fc
gn= 1 Tc
Z Tc
0
g(t)eı2πnfctdt (2.10)
On remarque que l’expression2.9est ind´ependante du nombre d’atomes d´etect´es; elle peut donc constituer une v´eritable limitation `a la stabilit´e de l’horloge.
Pour une interrogation de Rabi
On montre que pour une interrogation de Rabi de dur´ee τ d´ebutant `a l’instant t = 0, gRabi(t) vaut [60]:
gRabi(t) = (−b2δ
Ω3 [(1 − cos(Ωt)) sin(Ω(τ − t)) + (1 − cos(Ω(τ − t))) sin(Ωt))] pour 0 < t < τ
0 pour τ < t < Tc
(2.11) On a repr´esent´e la fonction gRabi(t) sur la figure 2.7 avec Tc = 80 ms, τ = 30 ms, bτ = π et δτ = 2.51 (maximisant la sensibilit´e en fr´equence). C’est une arche de sinus pendant l’interrogation et est nulle pendant le reste du cycle.
Les coefficients de Fourier pour une telle fonction sont donn´es par:
gnRabi= (2b2δ Ω4Tc 1 − cos(Ωτ ) −Ωτ2 sin(Ωτ ) pour n = 0 −4b2δ Ω3 ΩTc (ΩTc)2−(2πn)2 sin2(Ωτ2 ) cos(2πcτT c ) −ΩTc 4πnsin(Ωτ ) sin(nπτT c ) pour n ≥ 1 (2.12) La figure 2.8repr´esentegnRabi
g0Rabi
2
en fonction de l’indice n avec les param`etres utilis´es plus haut. La d´ecroissance se fait avec une pente de -40dB/d´ecade.
Pour une interrogation de Ramsey
De mani`ere similaire on consid`ere une interrogation de Ramsey de dur´ee τ + T + τ d´ebutant `
a l’instant t = 0. On consid`ere de plus que la pulsation de Rabi b est la mˆeme pour les deux impulsions et que b δ, T τ . On a alors [60] [14]:
gRamsey(t) =
− sin(δT ) sin(bτ ) sin(bt) pour 0 ≤ t ≤ τ − sin(δT ) sin(bτ ) sin(bτ ) pour τ ≤ t ≤ T + τ − sin(δT ) sin(bτ ) sin(b(T + 2τ − t)) pour T + τ ≤ t ≤ T + 2τ
0 pour T + 2τ ≤ t ≤ Tc
(2.13)
On a repr´esent´e la fonction gRamsey(t) sur la figure 2.7 avec Tc = 80 ms, τ = 2.5 ms, T = 25 ms, bτ = π/2 et δT = π/2 (maximisant la sensibilit´e en fr´equence). C’est une demi-arche de sinus pendant les interactions micro-ondes, constante et ´egale `a 1 entre les impulsions puis elle est nulle pendant le reste du cycle.
56 Chapitre 2. L’horloge HORACE : Concepts fondateurs et projets
Les coefficients de Fourier pour une telle fonction et avec ces valeurs particuli`eres sont donn´es par: gnRamsey= (2 Tc T 2 +2τπ pour n = 0 Tc T c2−(4nτ )2 4τ π cos(nπ(T + 2τ )) + Tc nπsin(nπTT c ) pour n ≥ 1 (2.14)
La figure2.8repr´esente
gnRamsey
g0Ramsey
2
en fonction de l’indice n avec les param`etres utilis´ee plus haut. La d´ecroissance se fait avec une pente de -20dB/d´ecade pour les 10 premi`eres harmoniques puis de -40dB/d´ecade.
2.2. Les sp´ecificit´es du fonctionnement de l’horloge HORACE 57
Fig. 2.7 – Fonction de sensibilit´e pour des interrogations de Rabi et de Ramsey. Pour Rabi (noir) on a choisi Tc= 80 ms, τ = 30 ms bτ = π et δτ = 2.51. Pour Ramsey(rouge) on a choisi Tc= 80 ms, τ = 2.5 ms, T = 25 ms, bτ = π/2 et δT = π/2.
Fig. 2.8 – Coefficients de Fourier normalis´ees des fonctions de sensibilit´e pour des interrogations de Rabi () et de Ramsey (•). Pour Rabi on a choisi Tc = 80 ms, τ = 30 ms bτ = π et δτ = 2.51. Pour Ramsey(rouge) on a choisi Tc= 80 ms, τ = 2.5 ms, T = 25 ms, bτ = π/2 et δT = π/2.
58 Chapitre 2. L’horloge HORACE : Concepts fondateurs et projets
Fig. 2.9 – Diff´erentes m´ethodes de d´etection du signal d’horloge. Seules les d´etection micro-onde, par fluorescence ou par absorption sont utilisables pour le signal d’horloge. La d´etection par temps de vol est utilis´ee pour les diagnostics sur la temp´erature atomique.