j1 j2 j3 j4 j5 j6 q , (6.19)
qui partage plusieurs propri´et´es avec le 6j classique, en particulier les propri´et´es d’orthogonalit´e et les relations pentagone.
Le mod`ele de Turaev-Viro est comme l’analogue q-d´eform´e du mod`ele de Ponzano-Regge
T V (∆) = X {je≤r−22 } Y v 1 Vq Y e [2je+ 1]qY t jt1 jt2 jt3 jt4 jt5 jt6 q . (6.20)
La remarque importante est que cette fois-ci, la somme converge puisqu’il n’y a qu’un nombre fini de repr´esentations. Le mod`ele de Turaev-Viro d´efinit donc une fonction de partition finie pour tous les choix de triangulations.
Le coeur du travail de Turaev et Viro consiste `a prouver qu’un tel objet est ind´ependant du choix de la triangulation ∆ deM, et constitue donc un invariant de la vari´et´e M. On comprend qu’ici le facteur fini Vq remplace le facteur infini V qui servait `a rendre le mod`ele de Ponzano-Regge formellement invariant. Le mod`ele de Turaev-Viro ´etant fini, cet invariance n’est plus formelle dans son cas.
On est maintenant naturellement conduit `a se demander si le mod`ele de Turaev-Viro peut ˆetre associ´e `a un mod`ele de gravit´e quantique et lequel. La r´eponse nous est donn´ee par l’asymp-totique du 6j quantique[82]. Puisque j est born´e par (r−2)/2, il faut pour obtenir l’asymptotique faire tendre simultan´ement les spins j et le nombre r vers l’infini, en maintenant fixe le rapport des deux. Il a ´et´e conjectur´e que
j1 j2 j3 j4 j5 j6 q ∝j,r→∞ cos(SRegge,Λr+π 4), (6.21)
o`u SRegge,Λr est l’action de Regge de la gravit´e 2+1 en pr´esence d’une constante cosmologique Λr dont la valeur est reli´ee `a r par
Λr = 2π r
2
. (6.22)
Ainsi un mod`ele de gravit´e quantique en pr´esence de constante cosmologique Λ est d´ecrit par le mod`ele de Turaev-Viro avec q = ei√Λ. Il n’est pas clair `a l’heure actuelle que les m´ethodes que nous avons d´evelopp´ees dans [34] puissent s’appliquer au cas quantique. L’asymptotique du symbole 6j quantique est actuellement un sujet d’´etudes pour les math´ematiciens [83, 84].
6.3 L’espace de Hilbert du mod`ele de Ponzano-Regge
La d´ecouverte du mod`ele de Turaev-Viro au d´ebut des ann´ees 90 apporta un regain d’int´erˆet au mod`ele de Ponzano-Regge. Pour en faire une bonne th´eorie quantique, il manquait au mod`ele de Ponzano-Regge un espace de Hilbert. Cette construction fut faite par Ooguri[85].
On consid`ere une vari´et´e de la forme Σ× I. On construit un espace de Hilbert cin´ematique qui permet de consid´erer des ´etats cin´ematiques vivant sur le bord. On montre ensuite que le mod`ele de Ponzano-Regge d´efinit un projecteur qui projette ces ´etats de bord sur un espace de Hilbert d’´etats physiques. Des ´etats physiques peuvent ˆetre construit `a la Hartle-Hawking `a partir de l’amplitude de Ponzano-Regge.
6.3. L’espace de Hilbert du mod`ele de Ponzano-Regge 79
6.3.1 L’espace de Hilbert cin´ematique
Consid´erons une triangulation ¯∆ de la surface Σ. On appelle une coloration c de ¯∆ la donn´ee d’un demi-entier j¯epour toute arˆete ¯e de ¯∆. L’ensemble des colorations de ¯∆ engendre un espace vectoriel dit ”cin´ematique”, associ´e `a ¯∆
Hcin(∆) = ( |Ψ >=X c Ψ(c)|c > ) (6.23) que l’on muni du produit scalaire < c|c′ >= δc,c′. Pour un bord triangul´e ¯∆, cet espace de Hilbert permet donc de consid´erer des ´etats de bord qui sont des ’fonctions d’onde’ Ψ(c).
6.3.2 Le mod`ele de Ponzano-Regge/Turaev-Viro comme un projecteur
L’espace de Hilbert Hcin( ¯∆) est un espace de Hilbert cin´ematique. L’amplitude de Ponzano-Regge d´efinit l’int´egrale de chemin de la th´eorie, `a partir de laquelle on peut construire le projecteur sur les ´etats physiques. En r´ealit´e nous avons vu que le mod`ele de Ponzano-Regge est mal d´efini et contient des infinis. On peut n´eanmoins construire un projecteur `a partir du mod`ele de Turaev-Viro qui est lui fini. La discussion qui suit peut ´egalement ˆetre comprise si l’on arrive `
a d´efinir une version r´egularis´ee du mod`ele de Ponzano-Regge. La discussion originelle de Ooguri portait sur le mod`ele de Turaev-Viro. Un de mes travaux a justement consist´e `a r´egulariser le mod`ele de Ponzano-Regge[35] comme nous le verrons au chapitre 8. On peut donc avoir `a l’esprit que ce qui va suivre a ´egalement un sens bien d´efini si l’on utilise cette r´egularisation.
Consid´erons la vari´et´eM = Σ×I, o`u les surfaces initiales et finales Σiet Σf sont triangul´ees par ¯∆. On choisit une triangulation ∆ deM qui coincide avec ¯∆ sur les bords. On d´esigne par C une coloration de ∆, elle induit des colorations ¯Ci et ¯Cf sur ¯∆i et ¯∆f. On d´efinit alors les ´el´ements de matrice du projecteur Π sur les ´etats physiques par
< cf|Π|ci >= X
C tq C¯i,f=ci,f
AP R[∆, C], (6.24)
o`uAP R[∆, C] d´esigne l’amplitude de Ponzano-Regge pour la triangulation ∆ et la coloration C. Ooguri a alors montr´e [85] que compte-tenu de l’invariance du mod`ele de Ponzano-Regge par triangulation, Π est bien un projecteur. Le projecteur sur les ´etats physiques permet d’´ecrire l’´equation de Wheeler-DeWitt qui d´efinit les ´etats physiques
hc|Π|Φi = hc|Φi. (6.25)
Les solutions de cette ´equation d´efinissent l’espace de Hilbert physiqueHphys( ¯∆) et peuvent ˆetre explicitement fabriqu´ees `a partir d’´etats cin´ematiques
Φ(c) = < c|Π|Ψ >=X c′ < c|Π|c′ >< c′|Ψ >, = X c′ Ψ(c′) X C tqC¯i,f=c,c′ AP R[∆, C]. (6.26)
A ce stade, on dispose donc d’un espace de Hilbert physique du mod`ele de Ponzano-Regge. Cependant celui-ci d´epend de la triangulation ¯∆ de Σ. Ooguri a ´egalement montr´e [85] que deux
espaces de Hilbert d´efinis `a partir de deux triangulations ¯∆1 et ¯∆2 diff´erentes ´etaient en fait isomorphes ; l’isomorphisme n’´etant autre que le projecteur, o`u l’on triangule Σ× I de mani`ere `
a coincider avec ¯∆1 d’un autre cˆot´e et ¯∆2 de l’autre.
Parmi les fonctions d’ondes physiques, on peut fabriquer les fonctions d’onde physiques `a la Hartle-Hawking. On consid`ere une vari´et´e M de bord Σ triangul´e par ¯∆. On choisit une triangulation ∆ deM qui coincide avec ¯∆ sur le bord et on d´efinit la fonction d’onde
ΦHH(c) = X
C tqC=c¯
AP R[∆, C]. (6.27)
6.3.3 Lien avec la th´eorie de Chern-Simons
Ayant d´efinit un espace de Hilbert physique convenable pour le mod`ele de Ponzano-Regge, Ooguri a ensuite montr´e[85] que cet espace est isomorphe `a l’espace de Hilbert physique de la th´eorie de Chern-Simons ISO(3) [86]. En particulier il a montr´e que les produits scalaires des fonctions d’onde Hartle-Hawking coincident dans les deux th´eories.
Le travail d’Ooguri a permis d’une part d’´equiper le mod`ele de Ponzano-Regge d’un espace de Hilbert, qui permet de formuler les notions d’´etats cin´ematiques, d’´etats physique et de projecteur. D’autre part, ce travail a montr´e que les r´esultats physiques du mod`ele de Ponzano-Regge sont en accord avec les r´esultats de Witten [86]. Ainsi, malgr´e le caract`ere ’approximatif’ de l’argument qui motiva Ponzano et Regge a proposer cette expression (l’asymptotique du 6j), et le fait qu’il soit un mod`ele discret, le mod`ele de Ponzano-Regge se r´ev`ele ˆetre une quantification de la gravit´e 2+1, qui reproduit les r´esultats d’une approche ind´ependante.