Insertion d’une particule en gravit´e classique

Insertion de particules

ponctuelles

Ce chapitre d´ecrit comment il est possible d’ins´erer des particules ponctuelles dans le mod`ele de Ponzano-Regge. Nous obtenons ainsi un mod`ele de gravit´e quantique coupl´e `a de la mati`ere (quantique elle aussi). Une propri´et´e particuli`erement int´eressante de ce formalisme est qu’il peut d´ecrire des cas o`u le nombre de particules n’est pas constant. Ceci ouvre a priori la voie `

a une seconde quantification des particules coupl´ees `a la gravit´e quantique. Ce mod`ele a ´et´e pr´esent´e et ´etudi´e dans l’article [36].

9.1 Insertion de particules massives

Au chapitre pr´ec´edent, nous avons vu que des relations de dualit´e portant sur les op´erateurs de fixation de jauge conduisaient `a une classe nouvelle d’op´erateurs. L’op´erateur ˜O (8.66) qui ins`ere de la courbure sur les arˆetes d’un graphe constitue un premier indice sur le formalisme qui permet d’ins´erer des particules massives dans le mod`ele de Ponzano-Regge. Nous allons ici donner des arguments plus pr´ecis en faveur de ce formalisme dans un cas simple, `a savoir l’insertion de particules sans spin, dans une vari´et´e ferm´ee.

9.1.1 Insertion d’une particule en gravit´e classique

La pr´esence d’une ligne d’univers de particule ponctuelle en gravit´e classique 2+1 se traduit par la pr´esence d’une ligne de singularit´e conique. Plus pr´ecisemment une particule de masse M et de spin S = s~ situ´ee `a l’origine engendre[91] la m´etrique de cˆone ’spinnant’

ds² = (dt + 4SGdϕ)²+ dr²+ (1− 4GM)²r²dϕ². (9.1) Cet espace est localement plat, ϕ d´esigne une coordonn´ee angulaire avec l’identification ϕ ↔ ϕ + 2π. Si on red´efinit φ = (1− 4GM)ϕ, et τ = t + 4SGϕ on peut r´eecrire cette m´etrique comme une m´etrique plate,

ds² = dτ²+ dr²+ r²dφ², (9.2)

avec l’identification de la coordonn´ee angulaire φ ↔ φ + (1 − 4GM)2π et l’identification de la coordonn´ee temporelle τ ↔ τ + 8πslP. Cet espace peut donc se repr´esenter comme un secteur angulaire de l’espace de Minkowski, poss`edant un angle de d´eficit m = 8πGM , avec un d´ecalage temporel de longueur 8πGS = 8πsl_P, voir figure 9.1.

8πsl_P

8πGM

Fig. 9.1 – La m´etrique de cˆone ’spinnant’ s’obtient comme une portion d’espace de Minkowski avec un angle de d´eficit 8πGM et une identification avec un d´ecalage vertical 8πslP. Les deux segments ´epaissis de cette figure sont par exemple identifi´es.

La masse d’une particule en gravit´e 3D classique est donc born´ee par l’angle de d´eficit maximal 2π, on a donc M < 1/4G. Un champ de t´etrades pour cette g´eom´etrie (9.1) est donn´e par

e =J0dt +J (ϕ)dr +(1 − 4GM)rJ′(ϕ) + 4GSJ0 dϕ, (9.3) o`u on d´efinit J (ϕ) = cos ϕJ1 + sin ϕJ2, les g´en´erateurs d’alg`ebre de Lie Ji sont d´efinis en appendice A et satisfont l’alg`ebre

[Ji,Jj] = ǫ_ijkη^klJl. (9.4)

Une connexion pour cette g´eom´etrie est donn´ee par

ω = 2GMJ0dϕ. (9.5)

On peut alors calculer la torsion et la courbure associ´ee `a cette g´eom´etrie. On fait usage de l’identit´e ddϕ = 2πδ(x)dxδ(y)dy, on a alors

T (x^µ) = d_ωe = 8πGSJ0δ(x)dxδ(y)dy, (9.6)

Fω(x^µ) = dωω = 4πGMJ0δ(x)dxδ(y)dy. (9.7) Une particule de masse M et de spin S situ´ee en (x = 0, y = 0) se manifeste donc au niveau du champ de gravit´e par une ligne de courbure et de torsion distributionelle.

On peut facilement modifier l’action de la gravit´e pour obtenir une telle insertion de courbure et de torsion : il suffit d’ajouter un terme source. Une telle action est donn´ee par

S₀[e, ω] = Z M tr [e∧ F (ω)] −¹ 2 Z worldline dt tr (M e_t+ 2Sω_t) . (9.8)

Cette action permet d’incorporer une particule dans la gravit´e classique 3D. Cependant `a ce stade, la particule ne poss`ede pas de dynamique propre. Il s’agit ici de la description d’une particule gel´ee, et aucune variable de cette action ne correspond `a des degr´es de libert´e de la particule. Il ne s’agit donc pas encore de l’action que nous cherchons pour d´ecrire dynamiquement l’ensemble gravit´e+particule.

9.1. Insertion de particules massives 105 Pour ’trouver’ les degr´es de libert´e de la particule, on peut faire la remarque suivante : en l’absence de mati`ere, la contrainte de courbure nulle et de torsion nulle engendrent respective-ment les sym´etries de jauge translationelle et de Lorentz. Une particule provoque l’introduction de courbure et de torsion distributionelle sur sa ligne d’univers, on s’attend donc `a ce que la sym´etrie de jauge y soit bris´ee. C’est en effet ce qu’on constate explicitement : si on effectue une transformation de Lorentz parametr´ee par g−1 et une transformation translationelle parametr´ee par−φ, la courbure et la torsion distributionelle (9.6,9.7) deviennent

T = d_ωe = 4πG δ(x)dxδ(y)dy, (9.9)

F_ω = d_ωω = 4πGp δ(x)dxδ(y)dy. (9.10)

o`u  et p sont les ´el´ements d’alg`ebre de Lie

p = M gJ0g⁻¹, (9.11)

j = 2SgJ0g⁻¹− mgJ0g⁻¹, φ . (9.12)

Ceci illustre le fait suivant : l’introduction d’une particule brise localement la sym´etrie de jauge. Les anciens degr´es de jauge de la gravit´e deviennent les degr´es de libert´e physiques de la par-ticule. Partant de cette constatation, on peut d´eduire de l’action S₀ (9.8) une action pour la gravit´e coupl´ee `a une particule poss`edant des degr´es de libert´e : il suffit de lui appliquer les transformations de Lorentz et translationelles. On note (g, φ)⊲ l’action des transformations sur les variables, on d´efinit alors l’action

S[e, ω, g, φ] = S₀[(g, φ) ⊲ e, (g, φ) ⊲ ω]. (9.13) o`u g, φ d´ecrivent maintenant les degr´es de libert´e de la particule. On peut montrer que cette action se met sous la forme

S[e, ω, g, φ] = Sgravite[e, ω] + S_couplage[e, ω, g, φ] + S_particule[g, φ] (9.14) o`u on a les actions Sgravite[e, ω] = Z tr(e∧ F ), (9.15) S_couplage[e, ω, g, φ] = −¹ 2 Z dt tr [e_tp + ω_t] , (9.16) S_particule[g, φ] = −¹₂M Z dt tr(g⁻¹φg^˙ J0)− S Z dt tr(g⁻¹˙gJ0). (9.17)

Le point int´eressant de ce r´esultat est qu’en l’absence de gravit´e, il ne reste que l’action S_particule[g, φ] qui se trouve ˆetre pr´ecisemment l’action introduite par P. de Sousa-Gerbet[92] pour d´ecrire la particule libre relativiste.

Nous avons donc d´ecouvert une action d´ecrivant les degr´es de libert´e de la gravit´e, les degr´es de libert´e de la particule, et le couplage entre les deux. Nous allons donc baser notre construction sur cette action. Cette action a permis de d´ecrire les degr´es de libert´e de la mati`ere en les transformant en degr´es de libert´e de la gravit´e. La quantification de ce syst`eme va donc bien produire un mod`ele de gravit´e quantique, coupl´e `a de la mati`ere quantique. Il ne s’agit pas en somme d’une description semi-classique o`u la mati`ere serait classique et la gravit´e quantifi´ee.