Asymptotiques du 6j quantique

j₀₁ j₀₂ j₀₃ j23 j13 j12 2 = ² π4 Z Dπ Y I<J dθ_IJsin[(j_IJ + 1)θ_IJ] ¹ pdet[cos θ_IJ] ^(11.37)

Enfin au cours de la preuve de l’asymptotique du 6j classique, nous avons ´egalement rencontr´e la formule suivante (11.23)  2 π 3Z D∞ Y I<J sin(l_IJu_IJ)du_IJ ! 1 V∗(u_IJ) ⁼ 1 V (l_IJ) ^(11.38)

qui est une formule de dualit´e sur le volume V d’un t´etra`edre.

Nous disposons donc de 3 formules tr`es analogues exprimant des relations entre symboles 6j via des transform´ees de Fourier. Nous avons commenc´e [39] a ´etudier ces relations. Ces relations sugg`erent l’existence d’un ph´enom`ene plus g´en´eral de ce type, que nous conjecturons ˆetre une relation entre carr´e du symbole 6j d’un groupe G et symbole 6j du double du groupeD(G). Cette interpr´etation est `a l’heure actuelle coh´erente avec les relations sur les 6j classiques et quantiques. Une utilisation concr`ete de ces relations consiste `a les exploiter pour ´etudier l’asymptotique du 6j quantique.

11.3.2 Asymptotiques du 6j quantique

L’asymptotique du symbole 6j quantique est un probl`eme qui a re¸cu une certaine attention ces derniers temps [79, 84]. On consid`ere la racine de l’unit´e q = e^iπ/k, et 6 angles lIJ. On consid`ere alors T (l) le t´etra`edre sph´erique dont les longueurs sont les lIJ. On note V (l) sont volume et θ_IJ ses angles dih´edraux. On a alors l’asymptotique

 k πl₀₁ ^k_πl_{02 π}^kl₀₃ k πl₂₃ ^k_πl_{13 π}^kl₁₂  q ∼ ^2π k3/2 cos^hk_π^P I<Jl_IJ^θIJ 2 − V (l) +^π₄^i pdet[cos lIJ] ^(11.39)

En ´etudiant la limite k→ ∞ de la relation de dualit´e des 6j quantique, et en la comparant `a la formule de dualit´e pour le 6j classique, nous avons pu notamment prouver [39] la contribution non-oscillante de l’asymptotique du 6j quantique (c’est `a dire l’analogue q-d´eform´e de la formule de Wigner). On a  k πl_{01 π}^kl₀₂ ^k_πl₀₃ k πl_{23 π}^kl₁₃ ^k_πl₁₂ 2 q ∼_k→∞ ^2π 2 k3 1 pdet[cos lIJ]^{. (11.40)}

Un autre r´esultat consiste `a prouver que l’asymptotique conjectur´ee pour le 6j quantique v´erifie bien la relation de dualit´e. C’est `a dire que si on d´efinit la partie oscillante du carr´e de l’asymptotique conjectur´ee Ok(l) = ^sin k π P I<Jl_IJθ_IJ − 2V (l) pdet[cos lIJ] ^{, (11.41)}

ainsi que sa transform´ee de Fourier ˜ Ok(ϕ) = k π 6Z Dπ Y I<J sin(^k π^lIJϕIJ)dlIJ Ok(lIJ), (11.42)

alors elle sont asymptotiquement duales, c’est `a dire que ˜ Ok(ϕ)∼k→∞  k 2 3 Ok(ϕ). (11.43)

Il est int´eressant de noter que ce dernier r´esultat se prouve `a l’aide d’une jolie formule g´eom´etrique. En g´eom´etrie euclidienne, la donn´ee de 6 longueurs suffit `a sp´ecifier un t´etra`edre. On peut `a tout t´etra`edre associer ses 6 angles dih´edraux, mais en retour ces derniers ne d´eterminent le t´etra`edre qu’`a un facteur d’´echelle pr`es. La situation est diff´erente en g´eom´etrie sph´erique : si l’on consid`ere un t´etra`edre sph´erique, ce dernier peut aussi bien ˆetre d´ecrit en donnant ses 6 longueurs sph´eriques (qui sont des angles) θ_IJ, ou bien ses 6 angles dih´edraux φ_IJ. On peut donc consid´erer le changement de variables d’une de ces descriptions vers l’autre. Le jacobien du changement de variable des longueurs vers les angles est alors

det_6×6 dφ dθ 

= ^{det4×4[cos θIJ]}

det_4×4[cos φ_IJ]^{. (11.44)}

Nous n’avons pas trouv´e trace dans la litt´erature de cette formule g´eom´etrique. Il est amusant de remarquer que la seule preuve de cette identit´e que nous avons pu fabriquer fait intervenir la comparaison par Maple de deux polynomes `a 6 variables, de degr´e 16 et comportant 1986 termes[39] !

12

Somme non-perturbative sur les

topologies

Ce chapitre pr´esente un r´esultat sur la possibilit´e de d´efinir de mani`ere non-perturbative une somme sur toutes les topologies d’amplitudes de gravit´e quantique en 3 dimensions. Ce travail a ´et´e publi´e dans [37].

12.1 Probl´ematique g´en´erale

En relativit´e g´en´erale classique, les changements de topologie de l’espace sont interdits. Plus pr´ecisemment, un th´eor`eme du `a Geroch [114] montre qu’un espace-temps contenant deux hy-persurfaces de genre espace de topologies diff´erentes doit n´ecessairement contenir des singularit´es ou des courbes ferm´ees du genre temps. Dans le cas de la gravit´e quantique, la situation est moins claire et l’on consid`ere qu’il n’y pas de raison pour rejeter a priori les changements de topologie. D’une mani`ere g´en´erale, si les changements de topologie doivent ˆetre effectivement interdits au niveau quantique, il serait int´eressant d’obtenir cette restriction au niveau dynamique, plutˆot que par une interdiction a priori.

La question des possibles changements de topologie se pose de mani`ere privil´egi´ee dans une quantification par int´egrale de chemin. En effet par essence le formalisme canonique suppose un espace-temps ayant la topologie Σ× R avec Σ de topologie donn´ee. Il est donc inadapt´e `a la consid´eration des changements de topologie. Le principe de la quantification de la gravit´e par int´egrale de chemin consiste `a sommer une amplitude quantique sur des classes d’´equivalence de m´etriques. Cependant dans ce principe, le domaine des m´etriques sur lesquelles on doit sommer n’est pas prescrit. On doit certainement sommer sur les m´etriques qui sont classiquement possibles – c’est `a dire les m´etriques lorentziennes non-singuli`eres – mais ´egalement sur d’autres m´etriques interdites classiquement.

Le fait de sommer sur un ensemble de chemins qui est plus ´etendu que celui des chemins classique apparait d´eja dans la plus simple des int´egrales de chemin : celle de la particule en m´ecanique quantique. On sait en effet que dans l’int´egrale

Z

[Dx]e~ⁱS(x), (12.1)

ce sont essentiellement les chemins continus mais non-diff´erentiables qui contribuent. Partant de cette constatation, dans le contexte d’une int´egrale de chemin de gravit´e quantique, on imagine 147

qu’il faille sommer sur plus de m´etriques que les m´etriques lorentziennes non-singuli`eres vivant sur une vari´et´eM de topologie donn´ee. Par exemple, on peut imaginer devoir sommer sur les m´etriques singuli`eres, sur les diff´erentes topologies possibles de M, voire pourquoi pas sur les signatures et les dimensions d’espace-temps !

Dans ce chapitre, nous allons nous int´eresser `a la question de la somme sur les topologies, et en particulier `a savoir si une telle somme est r´ealisable dans un formalisme d’int´egrale de chemin d´efinie par un mod`ele de mousse de spin. Un mod`ele de mousse de spin est d´efini `a partir d’une triangulation fix´ee de l’espace-temps. En 3D ceci n’est pas gˆenant grˆace `a l’invariance des ampli-tudes sous les changements de triangulations. En revanche en 4D, il faut d’une mani`ere ou d’une autre se d´ebarasser de la triangulation. Ceci permet de restaurer le nombre infini de degr´es de libert´e de la gravit´e en 4D. Une mani`ere de faire ceci pourrait ˆetre de raffiner la triangulation. Une proposition alternative plus ambitieuse serait de sommer sur toutes les triangulations pos-sibles. Outre que cette m´ethode pr´esenterait l’avantage d’´eviter une d´ependance dans le choix du processus de raffinement, elle permet ´egalement de prendre en compte le probl`eme de la somme sur les topologies.

En effet si l’on cherche `a d´efinir une somme sur les triangulations d’un mod`ele de mousse de spin, on peut tenter de sommer sur toutes les triangulations de toutes les topologies. Une telle somme incluerait de fait une somme sur les topologies de la vari´et´e. Cette technique s’av`ere en pratique difficile `a mettre en place, comme le montre l’examen de la situation pour les triangulations dynamiques.