a devoir user de cette m´ethode pour fixer de jauge les int´egrales de chemin qui d´efinissent les ´el´ements de matrice de l’op´erateur de projection. Nous allons ´etudier ceci dans l’exemple de la particule relativiste expos´e dans la partie suivante.
2.3 Exemple d’un syst`eme totalement contraint : la
particule libre relativiste
La particule relativiste peut ˆetre formul´ee sous la forme d’un syst`eme totalement contraint. En ce sens il s’agit du syst`eme totalement contraint le plus simple, qu’on peut voir comme de la relativit´e g´en´erale en dimension 0+1. Je vais maintenant illustrer les id´ees des deux parties pr´ec´edentes sur cet exemple, c’est `a dire montrer comment d´evelopper le formalisme canonique et obtenir le projecteur sur les ´etats physiques dans ce cadre. Dans une seconde partie je montrerai comment ce projecteur peut aussi s’obtenir dans un formalisme d’int´egrale de chemin.
2.3.1 Particule libre classique et canonique
On consid`ere l’action suivante pour la particule libre relativiste S[xµ, N ] = Z 1 0 dτ1 2 ˙xµ˙xνηµν N (τ ) − m2N (τ ) , (2.41)
o`u τ joue le rˆole de temps propre non-physique, xµ est le quadrivecteur position de la particule. N peut ˆetre vu comme une m´etrique unidimensionelle g00, qui joue le rˆole du ”lapse” de la formulation canonique de la relativit´e g´en´erale. Les ´equations du mouvement de cette action sont d dτ ˙x N = 0, (2.42) ˙x N 2 + m2 = 0. (2.43)
2.3. Exemple d’un syst`eme totalement contraint : la particule libre relativiste 39 Cette action poss`ede une invariance de jauge par reparametrisation du temps τ → f(τ) (diff´eomorphisme)
x(τ ) → x(f(τ)), (2.44)
N (τ ) → dτdf N (f (τ )), (2.45)
pour f diff´erentiable et pr´eservant les points extr`emes. Dans la jauge τ = x0 = t, la seconde ´equation permet d’extraire N =√
1− v2/m, et la premi`ere ´equation devient d dt mv √ 1− v2 = 0, (2.46)
qui est bien l’´equation du mouvement de la particule libre relativiste. Le moment conjugu´e `a xµ est donn´e par
pµ= ηµν˙x
ν
N (2.47)
et le hamiltonien s’´ecrit alors
H(x, p, N ) = Z
dτ N (p2+ m2) (2.48)
o`u le lapse N joue le rˆole de multiplicateur de Lagrange pour la contrainte
C(p) = p2+ m2. (2.49)
De mani`ere analogue au cas de la relativit´e g´en´erale, c’est un syst`eme totalement contraint puisque le hamiltonien est nul quand la contrainte est satisfaite. La contrainte hamiltonienne C(p) engendre la sym´etrie de jauge par reparam´etrisation du temps
2.3.2 Quantification canonique
Le choix naturel de polarisation am`ene `a consid´erer l’espace de Hilbert des fonctions d’ondes < xµ|Ψ >= Ψ(xµ), muni du produit scalaire L2. La repr´esentation de pµ par les op´erateurs de d´erivation conduit `a l’´equation de contrainte
( + m2)Ψ = 0, (2.50)
o`u d´esigne l’op´erateur d’alembertien. Les solutions de cette ´equation d’onde forment l’espace de Hilbert physique. Pour trouver le produit scalaire physique, l’op´erateur de projection
ˆ
Π = δ(P2+ m2) (2.51)
poss`ede des ´el´ements de matrice < xf| ˆΠ|xi> = Z d4p < xi|p > δ(p2+ m2) < p|xf >, = Z d4p eip·(xf−xi)δ(p2+ m2). (2.52)
On r´ealise explicitement l’int´egration sur p0, on d´efinit ω~p =p~p2+ m2, on a alors les ´el´ements de matrice du projecteur < xf|Π|xi>= X ǫ=± Z d3~p √ 2p0 ei~p·(~xf−~xi)+ǫωp~(tf−ti). (2.53)
Ce projecteur d´efinit le produit scalaire physique.
Sur l’exemple simple de la particule relativiste, le programme de quantification canonique peut ˆetre men´e `a son terme avec la r´esolution de la contrainte et le choix du produit scalaire physique. Voyons maintenant comment une m´ethode d’int´egrale de chemin permet elle aussi d’aboutir aux ´el´ements de matrice du projecteur.
2.3.3 Int´egrale de chemin pour le projecteur
Le but de cette partie est de montrer que le projecteur sur les ´etats physiques peut ˆetre retrouv´e `
a l’aide d’une d´efinition par int´egrale de chemin, assortie d’une fixation de jauge convenable. Une m´ethode similaire est pr´esent´ee dans [46]. On consid`ere l’action hamiltonienne de la particule
S[x, p, N ] = Z
dτ [p ˙x− N(p2+ m2)]. (2.54)
Cette action permet de d´efinir l’int´egrale de chemin G(xf, xi) = Z x(1)=xf x(0)=xi DxDpDN exp i Z dτ [p· ˙x − N(p2+ m2)] , (2.55)
On peut int´egrer l’action par parties, pour obtenir G(xf, xi) = Z x(1)=xf x(0)=xi DxDpDN exp i p(1)x(1)− p(0)x(0) − Z dτ [ ˙p· x + N(p2+ m2)] (2.56) L’int´egrale sur x peut alors s’effectuer facilement, elle impose que ˙p = 0, on obtient apr`es cette int´egration
G(xf, xi) = Z
dpDNei[p(xf−xi)−(p2+m2)R dτ N]. (2.57) On voit clairement sur cette expression qu’elle ne d´epend que de la quantit´e
T = Z
dτ N (τ ). (2.58)
La sym´etrie de reparam´etrisation du temps agissant sur le lapse par N → f′(τ )N (f (τ )), on voit bien que T est un invariant de jauge. Cela sugg`ere de reparam´etriser le lapse de la mani`ere suivante : l’ensemble des fonctions de lapse N (τ ) peut ˆetre param´etris´e par un couple (T, ϕ), o`u T ∈ R et ϕ(τ) est une fonction d’int´egrale 1 sur [0, 1]. On a alors N(τ) = T ϕ(τ). On peut montrer [46] que le jacobien associ´e `a ce changement de variable est une constante. En utilisant la param´etrisation N (τ ) = (T, ϕ(τ )), on a alors G(xf, xi) = Z Dϕ Z dpdT ei[p(xf−xi)−T (p2+m2)] (2.59)
2.3. Exemple d’un syst`eme totalement contraint : la particule libre relativiste 41 La division par le volume du groupe de jauge est alors facilement effectu´ee. On int`egre ensuite sur T pour obtenir δ(p2+ m2) puis sur p0. On retrouve alors les ´el´ements de matrice du projecteur G(xf, xi) =< xf| ˆΠ|xi > . (2.60) que l’on avait trouv´e par la quantification canonique (2.53).
Pr´ecisons ici que nous avons obtenu ce propagateur en int´egrant sur les valeurs positives et n´egatives du lapse N . Nous obtenons ainsi le propagateur de Hadamard du syst`eme[47]. Ce propagateur d´efinit une projection sur les solutions des contraintes et il encode le produit scalaire physique. En revanche il ne s’interpr`ete pas comme une amplitude de transition car il ne rend pas compte de la notion de causalit´e. En restreignant l’int´egration sur les lapses positifs, on obtient le propagateur de Feynman, qui distingue la causalit´e. Pour une th´eorie distinguant la notion de causalit´e (c’est `a dire pour nous une th´eorie de gravit´e quantique lorentzienne), il est important de souligner ces diff´erences, car le produit scalaire physique ne calcule pas une amplitude de transition causale. Il restreindre l’int´egration du multiplicateur de lagrange de la contrainte hamiltonienne.
2.3.4 Observables physique et probl`eme du temps
La particule relativiste est l’exemple le plus simple d’un syst`eme totalement contraint. Un probl`eme particulier qui se pose avec ces syst`emes est le probl`eme du temps. L’origine de ce probl`eme est la suivante : puisque le hamiltonien est purement constitu´e de contrainte, toute observable physique (c’est `a dire op´erateur qui commute avec les contraintes) commute aussi avec le hamiltonien. En cons´equence toute observable physique est une constante et rien ne distingue le temps.
Une mani`ere de r´esoudre ce probl`eme consiste `a introduire les notions d’observables partielles ou relationelles. L’id´ee est que des observables physiques peut ˆetre construite `a partir de la relations entre des op´erateurs qui ne sont pas des observables. Si O1 etO2 sont des observables partielles, demander les valeurs de O1 ou O2 n’a pas de sens. En revanche on peut utiliser O2
comme une horloge, et se demander : Quelle est la valeur de O1 quand O2 vaut T ?
Donnons-en un exemple pour le cas de la particule relativiste. La contrainte hamiltonienne est p2+ m2. Les moments pµsont donc des observables physiques, mais les xµn’en sont pas ! On n’a pas a priori d’observables de type distance. Pour en construire, introduisons une observable non-physique qui va servir d’horloge : l’op´erateur
O = x· p
m . (2.61)
Une question interessante est maintenant par exemple de construire l’observable qui donne xµ quand O vaut T . Explicitement, il s’agit de
Xµ(T ) = xu−x· p
m − Tp
µ
m. (2.62)
On peut v´erifier explicitement que cet op´erateur commute avec la contrainte. T est une coor-don´ees qui mesure la distance entre la particule le ’p´erih´elie’ de sa trajectoire, c’est `a dire le point de sa trajectoire le plus proche de l’origine.