Le formalisme de Plebanski

3.3.3 L’analyse canonique de la th´eorie de Palatini

L’analyse canonique de la th´eorie de Palatini se conduit selon les mˆemes lignes que l’analyse ADM. On la trouvera par exemple dans [53]. Cette analyse r´ev`ele que les variables canoniques conjugu´ees sont donn´ees par ωIJ

a , la restriction spatiale de la connexion, et Ea

IJ un ’champ ´electrique’ qui s’exprime en terme de la t´etrade

E_IJ^a = ǫIJKLǫ˜^abce^K_b e^L_c. (3.36) Ces variables v´erifient le crochet de Poisson

n

A^IJ_a (x), E_KL^b (y)^o= δ_a^bδ_[K^I δ_L]^Jδ(x− y). (3.37) Les contraintes de cette th´eorie sont donn´ees par

G_IJ =^. DaE_IJ^a = 0, (3.38)

V_a = E^. _IJ^b F_ab^IJ = 0, (3.39)

S = E^. _IJ^a E^bJ_KF_ab^KI = 0, (3.40)

qui sont des contraintes de premi`ere classe, et par

Φ^ab = ǫ^{. IJKL}E_IJ^a E_KL^b = 0, (3.41)

χ^ab = ǫ^{. IJKL}[E^a, E^c]_IJDcE_KL^b + (a↔ b) = 0, (3.42) qui sont des contraintes de seconde classe.

Les contraintes de premi`ere classe engendrent les sym´etries de jauge. La contrainte de Gauss liss´ee

G(Λ) = Z

Σ

Λ^IJG_IJ, (3.43)

engendre la sym´etrie de jauge de la connexion

A^IJ_a → A^IJa +DaΛ^IJ, (3.44)

tandis que la combinaison des 3 contraintes J (ξ^µ) =

Z

Σ

ξt− ξ^a(V_a− A^IJa G_IJ) , (3.45)

engendrent les diff´eomorphismes selon le champ de vecteur ξ^µ

A^IJ_a → A^IJa +LξA^IJ_a . (3.46)

On peut v´erifier le nombre de degr´es de libert´e de cette th´eorie. L’espace des phases poss`ede 2× 18 = 36 degr´es de libert´e. Les 10 contraintes de premi`ere classe, les 10 sym´etries de jauge et les 12 contraintes de seconde classe le r´eduisent `a 4 degr´es de libert´e d’espace des phases, soit deux degr´es de libert´e physiques.

3.4 Le formalisme de Plebanski

Le formalisme de Plebanski est une r´eecriture de l’action de Palatini qui vise `a pr´esenter la relativit´e g´en´erale comme un th´eorie topologique contrainte. Dans cette partie je pr´esente cette action, en introduisant au passage l’´ecriture dans le langage des formes [55]. Je consid`ererai le cas d’une m´etrique euclidienne.

3.4.1 L’action de Palatini dans le langage des formes

On introduit les formes diff´erentielles

e^I = e^I_µdx^µ (3.47)

ω^IJ = ω_µ^IJdx^µ, (3.48)

et la 2-forme de courbure

F^IJ = d_ωω (3.49)

o`u dω d´esigne la d´eriv´ee covariante ext´erieure associ´ee `a la connexion ω. On peut alors r´ecrire l’action de Palatini sous la forme

S_P[e, ω] = Z

M

ǫ_IJKLe^I∧ e^J∧ F^KL(ω), (3.50)

o`u ∧ d´esigne le produit ext´erieur des formes diff´erentielles. Cette ´ecriture rend manifeste le fait que l’action est covariante, puisque les 4-formes s’intr`egrent naturellement sur les vari´et´es de dimension 4.

3.4.2 L’action de Plebanski

La formulation de Plebanski de la relativit´e g´en´erale en 4D repose sur l’id´ee suivante : on veut r´ecrire l’action de Palatini (3.50) sous la forme

Z

M

B^IJ ∧ FIJ, (3.51)

en imposant `a la 2-forme B d’ˆetre

B^IJ = ǫ^IJ_KLe^Ke^L. (3.52)

Nous voulons chercher une action qui formule ceci `a l’aide du terme (3.51) et d’une contrainte qui impose (3.52) explicitement, `a l’aide d’un multiplicateur de Lagrange.

Pour cela, on peut d’abord montrer qu’une condition n´ecessaire pour que B satisfasse (3.52) est que

B^IJ ∧ B^KL = 0. (3.53)

Cette condition est appel´ee condition de simplicit´e. A l’aide de cette condition, on d´efinit l’action de Plebanski d´efinie de la mani`ere suivante. On consid`ere donc une 2-forme B `a valeur dans l’alg`ebre de Lie so(4), et un scalaire Φ^IJKL satisfaisant

Φ_IJKLǫ^IJKL= 0, et Φ^IJKL= Φ^KLIJ =−Φ^JIKL=−Φ^IJLK. (3.54) Ces sym´etries sont celles du tenseur de Riemann. Ce scalaire nous sert de multiplicateur de Lagrange. On d´efinit l’action de Plebanski

S_{P leb}[B, ω, Φ] = Z

M

B^IJ∧ FIJ + Φ_IJKLB^IJ ∧ B^KL (3.55)

La variation par rapport au multiplicateur de lagrange impose la contrainte voulue B^IJ∧BKL = 0. Cette action semble donc ˆetre un candidat convenable. Il faut maintenant v´erifier qu’elle donne

3.4. Le formalisme de Plebanski 51 effectivement les ´equations de la relativit´e g´en´erale. On peut montrer [56] que la variation de cette action par rapport au champ B redonne effectivement les ´equations d’Einstein, `a une subtilit´e pr`es. J’ai mentionn´e que la condition de simplicit´e constituait une condition n´ecessaire pour que B s’´ecrive sous la forme (3.52). Ca n’est pas une condition suffisante. En fait l’´equation B^IJ ∧ B^KL = 0 poss`ede 4 secteurs de solutions[56]. Si B satisfait une telle ´equation, alors il existe e tel que

(I)_± : B^IJ =±e^I∧ e^J, (3.56)

(II)_± : B^IJ =±¹ 2^ǫ

IJ

KLe^K∧ e^L. (3.57)

On constate alors que c’est seulement le secteur (II)₊qui reproduit l’action de Palatini. L’action de Plebanski est donc une action dont un des secteurs est ´equivalent `a la relativit´e g´en´erale.

L’int´erˆet de la formulation de Plebanski, est qu’elle est d´ecrit la relativit´e g´en´erale en appli-quant des contraintes quadratiques `a la th´eorie d´efinie par l’action

SBF[B, ω] = Z

M

tr(B∧ F ). (3.58)

Cette action est celle de la th´eorie BF en 4 dimensions, qui est une th´eorie topologique [57]. Dans la perspective de quantification, cette r´ecriture ouvre la possibilit´e d’importer certaines techniques des th´eories topologiques pour quantifier la gravit´e.

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La gravit´e quantique `a boucles

Le but de ce chapitre est de donner un aper¸cu de la quantification canonique non-perturbative de la gravit´e 3+1, connue sous le nom de gravit´e quantique `a boucle. Je pr´esente tout d’abord le formalisme classique (lagrangien et canonique), puis sa quantification selon le programme de Dirac, ainsi que les r´esultats physiques associ´es. Il existe maintenant plusieurs textes [22, 21, 58, 51] qui pr´esentent l’ensemble du sujet, selon des points de vus diff´erents.

La gravit´e quantique `a boucles est une impl´ementation du programme de quantification canonique de Dirac, `a partir de la version hamiltonienne d’une action de la gravit´e obtenue comme une variante de l’action de Palatini. La partie du programme qui est `a ce jour bien ´etablie concerne la d´efinition de l’espace de Hilbert, et l’impl´ementation et la r´esolution de deux des trois types de contraintes. C’est `a la pr´esentation de ces r´esultats qu’est consacr´ee cette partie.

4.1 Formalisme classique

La formulation classique dont nous allons partir trouve son origine dans les variables cano-niques complexes d´ecouvertes par A. Ashtekar [19, 59]. Ces variables canocano-niques furent ensuite g´en´eralis´ees [26, 60]. La forme lagrangienne correspondante la plus g´en´erale a ´et´e donn´ee par Holst [61] et Barros e Sa [62]. Nous allons pr´esenter cette action et exposer son analyse canonique.

4.1.1 L’action de Palatini g´en´eralis´ee

L’action de Palatini g´en´eralis´ee est une variante de l’action de Palatini obtenue en lui adjoignant un terme : SP B[e, ω] = ¹ 2 Z M ǫIJKLe^I∧ e^J∧ F^KL(ω)−¹ γ Z M e^I∧ e^J∧ FIJ(ω). (4.1) Elle d´epend d’un param`etre γ appel´e param`etre d’Immirzi [26]. En fixant ce param`etre `a +∞, on trouve l’action de Palatini. Cette action est classiquement ´equivalente car le second terme est en r´ealit´e un terme topologique. L’ajout de ce second terme proportionnel `a γ<sup>−1</sup> est analogue `

a l’ajout du terme θ dans l’action de Yang-Mills : il modifie l’action mais pas les ´equations du mouvement. Cependant l’ajout d’un tel terme modifie la structure symplectique de la th´eorie par une transformation canonique. En r´ealit´e cette transformation n’a pas de r´ealisation unitaire. La cons´equence de cela est que les quantifications de ces th´eories sont in´equivalentes et d´ependent de ce param`etre γ. Nous allons donc conserver ce terme au cours de la quantification canonique de cette action.

4.1.2 Analyse canonique de l’action de Palatini g´en´eralis´ee

La formulation hamiltonienne de l’action de Palatini g´en´eralis´ee fournit le cadre n´ecessaire `a l’application du programme de Dirac. Je ne pr´esenterai ici que les r´esultats de cette analyse qui seront utiles pour la suite. On pourra consulter l’analyse d´etaill´ee dans [61, 62].

On suppose qu’on peut d´ecomposer la vari´et´eM sous la forme Σ × R o`u Σ est une hypersur-face de genre espace. On note a, b,· · · les indices spatiaux. Apr`es le choix d’une jauge convenable, les variables canoniques qui d´ecrivent le probl`eme sont une connexion SU(2) Ai

a et un ’champ ´electrique’ E^bj. Ces variables sont d´efinies en termes des variables lagrangienne d’origine e et ω, de la mani`ere suivante E^ai = ¹ 2^˜ǫ abcǫ^ijke_bje_ck, (4.2) A_ai = ω_ai0+ ¹ 2γ^ǫijkω jk a , (4.3)

et v´erifient le crochet de Poisson n

A_aⁱ(x), E^bj(y)^o= γδ_a^bη^ijδ⁽³⁾(x− y). (4.4) La connexion SU(2) Aⁱ_a est connue sous le nom de connexion d’Ashtekar-Barbero. Elle fut initialement propos´ee par Ashetkar dans le cas γ = i lorentzien [19, 59]. On note Da la d´eriv´ee covariante qui est associ´ee `a cette connexion. La th´eorie hamiltonienne que nous obtenons est une th´eorie totalement contrainte, donc les contraintes sont

G_i = ∂_aE_i^a+ ǫ_ijkA_a^jE^ak =DaE^ai, (4.5) V_a = E_i^bF_abⁱ , (4.6) C = ǫ^ijkE_i^aE_j^b  F_abk− (1 + ¹ γ2)R_abk  . (4.7)

o`u R d´esigne la courbure associ´ee `a la connexion de Levi-Civita Γ[e].

Les contraintes de cette th´eorie tiennent un rˆole identique `a celles de la th´eorie de Palatini. La contrainte de Gauss

G_i=DaE_i^a, (4.8)

engendre les sym´etries de Lorentz locales de la connexion et les rotations de la t´etrade. La contrainte vectorielle Va engendre les diff´eomorphismes d’espace. La contrainte scalaire C en-gendre les diff´eomorphismes dans la direction du temps. Son expression montre le caract`ere particulier du cas γ =±i qui constituait la formulation originale propos´ee par Ashtekar et pour laquelle C ´etait une contrainte polynomiale.