Alliages désordonnés
3.4 La théorie de la canalisation
3.4.3 L’approximation de la colonne simplifiée (SACA)
... np U1n
FIG. 3.4 – Représentation schématique de l’approximation de la colonne itérée.
Pour un alliage binaire AcB1−c les deux états de coeur|a > et |b > sont différents et donc
l’ordre du produit des opérateurs élémentaires
U
Nzn ···
U
pn···
U
1n est important et n’est pas commutatif. Il nous donne l’ordre de “visite” des sites que l’électron “voit” le long de son trajet. Autrement dit ce formalisme de l’approximation de la colonne itérée prend en compte la distribution spécifique des atomes le long de la colonne, c’est ce que l’on appelle parfois de façon elliptique l’effet “top bottom” (discuté par[71] W. Coene et al.
1987 et [72] P. De Meulenaereet al.1995).
3.4.3 L’approximation de la colonne simplifiée (SACA)
L’expression de l’opérateur d’évolution dans le formalisme IACA est très simple mais reste cependant assez difficile à manier du fait de la non commutativité des opérateurs élémentaires le long d’une même colonne. Il est utile de simplifier l’expression précé-dente afin de dégager les effets principaux engendrés par le désordre chimique, on pourra ensuite “raffiner” les approximations. Cette démarche est d’autant plus valable que l’on sait que l’approximation de la colonne est, comme son nom l’indique, une approximation, et il n’est sans doute pas nécessaire d’essayer de raffiner trop le modèle : on risquerait de s’attarder sur certains effets physiques “mineurs” alors que l’on sait que l’on en néglige d’autres. Ce modèle simplifié de l’approximation de la colonne va nous permettre d’ob-tenir des expressions analytiques d’une grande simplicité, notamment pour la diffusion
diffuse, il est également possible d’obtenir des expressions analytiques dans le cas gé-néral du formalisme IACA mais elles nécessitent des développements algébriques assez complexes qui sont reproduits dans l’annexe en fin de thèse.
La non-commutativité des opérateurs élémentaires est due au fait que deux atomes dis-tincts ont des états de coeur|a > et |b > différents et donc les projecteurs Pa= |a >< a|
et Pb= |b >< b| ne commutent pas. Le produit scalaire de deux états de coeur d’atomes
différents doit toujours être strictement inférieur à un, mais le calcul montre qu’il est souvent assez près de un, il sera d’autant plus près de un que les atomes sont proches dans le tableau de Mendeleev. Une approximation simple consiste à prendre en compte la nature chimique des atomes uniquement par leur énergie de coeur en négligeant la différence entre les fonctions 1s. C’est une approximation assez courante en théorie des alliages traités en liaisons fortes. Ceci est raisonnable tant que la différence énergétique
|εA−εB| n’est pas trop grande par rapport à l’énergie moyenne <ε>= xAεA+ xBεB. On considère donc un état de coeur commun aux atomes de l’alliage ; on peut par exemple choisir comme état de coeur, la fonction 1s obtenue par diagonalisation de l’Hamiltonien moyen < H >= T + < V >, il n’y a rien de très “scientifique” dans cette démarche il
s’agit juste de faire un choix pour effectuer les calculs sans privilégier un atome plutôt qu’un autre. Avec cette approximation la nature chimique des atomes est prise en compte uniquement par leurs énergies de coeur, d’autre part dans cette limite les opérateurs d’évo-lution élémentaires deviennent commutatifs et l’opérateur d’évod’évo-lution d’une colonne ato-mique s’exprime de façon immédiate en fonction de cet état 1s et des énergies de coeur de chaque atome. L’opérateur d’évolution dans cette approximation de la colonne simpli-fiée (SACA : “Simplified Atomic Column Approximation”) est alors donné à l’épaisseur
z= Nzd :
UnSACA= 1 + (e−i(NnAγA+NB nγB)d
− 1)|n >< n| (3.8) où NnA et NnB sont les nombres d’atomes A et B dans la colonne Nz= NA
n + NB
n étant le nombre total d’atomes dans chaque colonne. Si on note xn la concentration de l’atome
A dans la colonne n de l’alliage binaire AxB1−x on peut écrire UnSACA en fonction d’une
énergie de coeur moyenne de la colonne n,γc
n= xnγA+ (1 − xn)γB:
UnSACA= 1 + (e−iγcnz
− 1)|n >< n| (3.9)
Dans les travaux de Van Dyck et al.([6] Van Dyck 1987,[19] Van Dyck et al.1988, [72] De Meulenaereet al.1995) l’approximation de la colonne est présentée de façon lé-gèrement différente (nous noterons son approximation ACA’ pour faire la distinction). On part de l’approximation du potentiel projeté sur toute l’épaisseur du cristal et on consi-dère pour chaque colonne n un potentiel moyen Vn relié aux concentrations xAn = xn et
xBn = 1 − xnd’atomes A et B dans la colonne (Vn= xnVA+ (1 − xn)VB). Ensuite est appli-quée l’approximation de la colonne. Dans ce formalisme l’effet “top bottom” est toujours négligé. Pour chaque colonne n on doit déterminer l’état de coeur|en>, et surtout l’énergie
de coeur eγc
n associée au potentiel Vn. L’opérateur d’évolution de la colonne s’écrit alors simplement à l’épaisseur z :
UACA0(z) = 1 + (e−i eγcnz
− 1)|en >< en|
Cette approximation est légèrement différente de la nôtre pour deux raisons. Première-ment l’énergie γec
n de la fonction 1s du potentiel moyen est en principe différente de la moyenne des énergies de coeurγc
n= xnγA+ (1 − xn)γB. Deuxièmement dans l’approxima-tion de Van Dyck l’état de coeur varie en principe d’une colonne à l’autre.
Mais dans la pratique l’énergie propre de l’état de coeur de l’atome moyen est très proche de l’énergie moyenne des états de coeur, donc eγc
n'γc
n, du moins pour des atomes
A et B qui ne sont pas trop éloignés dans le tableau de Mendeleev. D’autre part la variation
de l’état de coeur avec les variations de concentration de la colonne est absolument négli-geable et l’on peut facilement se contenter d’une unique fonction de coeur obtenue avec le potentiel moyen. Par conséquent cette approximation qui consiste à appliquer le potentiel projeté sur toute l’épaisseur du cristal et ensuite utiliser l’approximation de la colonne est presque exactement équivalente à l’approximation de la colonne simplifiée. Cela prouve donc d’une certaine manière la validité de l’approximation du potentiel projeté pour les alliages désordonnés sur des épaisseurs assez importantes.
Comme nous l’avons remarqué l’effet “top bottom” est négligé dans le formalisme SACA, ce qui est raisonnable pour des épaisseurs pas trop importantes et des alliages ne possédant pas d’atomes lourds en forte concentration. Des études récentes semblent en effet confirmer ce fait. En réalité la question cruciale est de savoir si les fluctuations gendrées par l’effet “top bottom” sont plus ou moins importantes que les fluctuations en-gendrées par les variations de concentrations entre les colonnes. Des simulations récentes montrent clairement que ce sont les effets engendrés par les fluctuations de concentrations qui sont assez largement prédominants ([71] Coeneet al.1987, [72] De Meulenaereet al.
1995).
La formule (3.8) est extrêment intéressante et riche malgré sa simplicité déconcer-tante. Notonsθn le facteur de phase de l’équation (3.8) soit :
Le vecteur d’état s’écrit donc comme une somme indépendante de termes centrés sur chaque colonne, modulés par un coefficient de phase exp(−iθn) qui dépend simplement
de la concentration de la colonne. Ce terme de phase associé à chaque colonne n est une variable aléatoire du fait des fluctuations des concentrations. Il va donc provoquer des fluctuations dans l’espace réel, et engendrer en diffraction une diffusion diffuse qui va prendre de l’intensité aux réflexions de Bragg. Les deux “visions” de la diffraction dans l’espace réel ou réciproque, même si elles sont exactement équivalentes du point de vu mathématique puisque l’on passe de l’une à l’autre par une transformée de Fourier, nous fournissent des informations très différentes : dans l’espace réel on peut observer des fluctuations locales tandis que dans l’espace réciproque on obtient plutôt des informa-tions globales moyennées. Nous allons revenir en détail sur ces points dans la suite de ce chapitre.
Cette formulation qui relie explicitement l’opérateur d’évolution aux concentrations des colonnes par l’intermédiaire de ce facteur de phase est le point essentiel car il permet de faire une analyse statistique précise. Cette analyse n’a pas pu être faite par Van Dyck
et al.car le lien essentiel entre l’énergie de coeur du potentiel moyen et l’énergie de coeur moyenne (γn=γen) qui permet de relier la fonction d’onde à la concentration est moins immédiat en utilisant leur formalisme ce qui les empêchait de faire une analyse statistique “propre”.