Analyse d’une structure simple

Zone de Brillouin et symétrie des états de Bloch

Considérons à nouveau la structure CFC projetée selon l’axe[001]. Le paramètre de maille

du réseau bidimensionnel projeté est de a/2. Le réseau réciproque correspondant (qui

n’est autre que la section du réseau cubique centré) est un réseau carré de paramètre 4π/a, si bien que les vecteurs du réseau s’écrivent ~g = 2π/a(2h, 2k) où h et k sont des

entiers. Comme d’habitude~g sera noté (2h, 2k) ou (2h, 2k, 0). En raison des symétries du

ΓX M oùΓ= (0, 0), X = (1, 0) et M = (1, 1). Les lignes de symétrieΓX , X M et ΓM (cf.

fig 1.6) sont notées respectivement∆, Z etΣconformément aux notations usuelles. Ces points et lignes sont des éléments de symétrie particuliers du réseau réciproque, associés au groupe ponctuel des vecteurs~q correspondants (Buxton et al. 1978 [17] et Steeds et al. 1977 [50] font une discussion détaillée des propriétés de symétrie en dif-fraction électronique dans certains cas particuliers). Par exemple le pointΓa la symétrie complète du groupe ponctuel du carré (C_4vou 4mm). M possède également la symétrie du carré car les symétries du carré transforment M en des points équivalents du réseau réci-proque (modulo un vecteur~g du réseau réciproque). En revanche le groupe de symétrie

de X est plus petit et est isomorphe à C_2vou 2mm. Finalement les groupes correspondant à∆, Z etΣsont isomorphes à des groupes à deux éléments¹².

(020) (220) M (200) ∆ Σ Γ X Z

FIG. 1.6 – Première zone de Brillouin d’un réseau carré de maille a/2 (en pointillé) et

représentation du triangleΓX M.

Attardons-nous un peu sur les résultats concernant le pointΓ. Le groupe correspondant

C_4v comporte 5 classes d’équivalences et peut donc être décomposé en cinq représenta-tions irréductiblesΓ1···Γ5. L’étatΓ1 est totalement invariant par toutes les symétries du carré. C’est l’équivalent d’un état s pour un système isotrope. Les autres états ont des symétries plus basses.Γ5 est le seul état de dimension supérieure à un (plus précisément de dimension 2, avec la symétrie des fonctions x et y). Finalement Γ2, Γ3 etΓ4 ont des symétries respectivement du type xy, x²− y2 et xy(x2− y2). D’autre part on sait que les

états de Bloch|~q,α> ont la même symétrie que le vecteur ~q, donc en ~q = 0 correspondant 12Pour une discussion plus détaillée de la théorie des groupes en physique du solide on peut se reporter à de très bons livres spécialisés comme [51] Cornwell 1969, [52] Joshi 1982 dans lequel est traité explici-tement le cas du réseau carré, ou à des ouvrages généraux qui consacrent un ou deux chapitres à la théorie des groupes comme [47] Harrison 1979, ou [53] Landau et Lifshitz 1967.

au pointΓil y a cinq types d’états de Bloch associés aux cinq symétriesΓ1···Γ5. Tous les états autres queΓ5 sont de dimension un, par conséquent ils ne peuvent être dégénérés. En revancheΓ5de dimension deux est caractérisé par une paire dégénérée d’état de type

p. Les éléments de symétrie et la table de caractères du groupe du carré sont résumées

dans la figure et le tableau qui suivent :

x y x m m 3 y σ σ_v u C 4 2 C₄ C 4

FIG. 1.7 – Ełéments de symétrie du groupe du carré

E C₄² C₄C₄³ m_xm_y σuσv fonctions de base

Γ1 1 1 1 1 1 1

Γ2 1 1 -1 -1 1 xy

Γ3 1 1 -1 1 -1 x²− y2

Γ4 1 1 1 -1 -1 xy(x2− y2)

Γ5 2 -2 0 0 0 xy

Exemple : structure de bande du cuivre et de l’or

La structure de bande du cuivre en orientation[001] est montrée sur la figure 1.8. Nous

avons indiqué les différents éléments de symétrie sur la structure de bande. Ces symétries ont été déterminées essentiellement par le calcul¹³, cependant un certain nombre de règles de compatibilité existent et permettent de vérifier la cohérence des résultats ou même de déterminer les éléments de symétrie manquants. On remarque immédiatement un résultat important : la bande du bas, d’énergie fortement négative est totalement plate autrement

13Pour déterminer la symétrie d’un état il suffit de le projeter sur les différentes représentations, les projecteurs se déterminant simplement à partir du tableau de caractères.

dit elle ne disperse pas. Cette bande (de typeΓ1au pointΓ) est en fait construite à partir d’un état 1s fortement localisé, cet état est tellement localisé que le formalisme des liai-sons fortes s’applique de manière triviale, le recouvrement entre les fonctions de coeur de colonnes voisines est quasiment nul ce qui explique qu’il n’y ait aucune dispersion de la bande d’énergie correspondante. Au pointΓon note aussi la présence d’un deuxième étatΓ1(de type s : on l’appellera généralement l’état 2s bien que ce ne soit pas toujours un état de coeur) à une énergie légèrement négative mais très proche de zéro. Il y a aussi une paire dégénérée d’étatsΓ5(de type p : on l’appellera généralement l’état 1p bien que ce ne soit pas toujours un état de coeur) à énergie légèrement positive. A énergie plus élevée on arrive rapidement dans la “zone” des électrons presque libres. On notera que les bandes 2s et 1p, proches du zéro d’énergie, sont très fortement hybridées. Remarquons cependant que même si il y a hybridation des bandes s et p celle ci n’a aucune influence au point Γ, car les états de Bloch formés à partir des états 2s et 1p n’ont pas la même symétrie enΓet donc les états 2s et 1p ne se couplent pas.

Si l’on compare avec la structure de bande de l’or (cf. fig 1.9) on remarque que la structure est très similaire au cas du cuivre. L’existence d’un état localisé (à énergie plus basse pour l’or) qui ne disperse pas, semble être une constante fondamentale. L’état de type 1p est toujours présent mais cette fois il est passé en dessous de la bande 2s proche de zéro. Ces deux états 2s et 1p, contrairement au cas du cuivre, semblent ne pas trop s’hybrider. La bande 2s ressemble très fortement à une bande liaison forte “pure” s, de même la double bande p (qui n’est dégénérée qu’aux points spéciauxΓet M) ressemble à une bande liaison forte “pure” p.