I.4 Angle de contact dynamique Modélisation
I.4.2 L’approche hydrodynamique
Dans l’approche hydrodynamique, la dissipation est entièrement attribuée à l’écoulement. On se place dans le cadre de l’approximation de lubrification (limite des faibles pentes du liquide par rapport au substrat). Considérons la vitesse vx, selon l’axe x, perpendicu-
laire à la ligne de contact. Il s’agit de la vitesse pertinente, soit parce que la géométrie impose la nullité de la composante parallèle pour des lignes de contact droites, soit parce que nous nous placerons très près de la ligne de contact pour des lignes courbées, et que la vitesse y est auto- matiquement perpendiculaire à la ligne de contact [RIO et al (2005)]. La vitesse orthogonale à la
ligne de contact peut alors s’écrire vx(z) où z est une coordonnée selon l’axe perpendiculaire au
substrat (voir définition des axes sur la Figure I-8). Le champ de vitesse dans le liquide est alors approximativement un demi poiseuille :
vx = 3U
2h2z(2h − z) ( I.14 ) où U est la valeur moyenne de vx : U=
1
h 0 vx(z)dz h
∫
.Pour s’affranchir de la singularité à la ligne de contact, le problème est traité en intro- duisant une longueur de coupure microscopique a, de dimensions moléculaires. Pour VOÏNOV
(1976), il s’agit de la distance en dessous de laquelle la description hydrodynamique n’a plus de sens. COX (1986) procède selon une démarche similaire, mais en introduisant plutôt une lon-
gueur de glissement Ls (pour « slip length »), également moléculaire, et donc petite devant la
longueur caractéristique de l’écoulement qui elle est macroscopique. Ls devrait dépendre des
caractéristiques de surface du solide et des interactions liquide/solide. Mais EGGERS a montré
que la physique macroscopique ne dépendait que faiblement de la manière dont le glissement était pris en compte, ce qui fait que nous pouvons simplement tronquer les intégrations à une longueur microscopique a [EGGERS (2004-b)] sans trop nous préoccuper de l’origine du décou-
page. Au niveau macroscopique, on note b la distance à laquelle se fait la coupure. Au final, on voit apparaître un terme logarithmique ln(b/a) qui contient à lui seul tout l’effet de la diver- gence et qui est généralement de l’ordre de 10 [DE GENNES (1985)].
Figure I-8: Orientation des axes pour une goutte s’écoulant sur un substrat.
I.4.2.1 Théorie de COX-VOÏNOV « revisitée »
Il s’agit de résoudre les équations de STOKES (composantes des termes convectif non
linéaire ρ rv ⋅ r ∇
( )
rv et locaux ρ
(
∂rv /∂t)
négligeables devant celles des forces de frottement visqueux η∆vr) :− r
∇p + η∆rrv=r0 ( I.15 ) où p désigne la pression et v la vitesse du liquide. Aux échelles où nous nous plaçons (inférieu- res à la longueur capillaire), la gravité est négligée. La pression s’exprime alors uniquement par le terme de courbure :
p= γ κ = −γ ∂2h /∂x2 ( I.16 )
où h représente la hauteur de l’interface (voir Figure I-9a). Compte tenu de la vitesse du liquide en demi poiseuille, décrite à l’équation ( I.14 ), la dissipation visqueuse η ∂2vx(z) /∂z2 donne un terme −3ηU / h2. Il reste alors à résoudre l’équation suivante :
∂3
h ∂x3 = 3
Ca
h2 ( I.17 )
L’intégration de cette équation n’étant pas triviale, l’interface est considérée comme faiblement courbée jusqu’à des échelles microscopiques et la pente lentement variable. L’angle de contact à l’échelle microscopique a est pris comme étant l’angle de YOUNG θs en régime statique. On parvient alors à une relation liant l’angle de contact dynamique θ (à l’échelle macroscopique b)
et le nombre capillaire. Tant que les angles de contact restent inférieurs à 3π/4, c’est-à-dire inférieurs à 135°, la relation peut se mettre sous la forme [VOÏNOV (1976)] :
θ3− θ s 3 = 9Ca ln b a ( I.18 )
Des valeurs typiques des longueurs de coupure, a~10-9 m (quelques tailles de molécules) et b~10-3 m (~l
c), donnent un ordre de grandeur du terme logarithmique ln( b / a ):10.
Comme nous travaillerons toujours avec des angles de contacts inférieurs à 3π/4, la solution pour des angles de contact supérieurs [COX (1986), SNOEIJER (2006)], qui est beau- coup plus complexe, ne nous intéressera pas.
Figure I-9 : (a) Interface courbée avançant à la vitesse U sur un substrat. La hauteur du liquide est notée h et dépend de la position x le long du substrat. (b) Angle de contact dynamique en fonction du nombre capillaire, selon le modèle hydrodynami- que de COX & VOÏNOV.
Il est intéressant de remarquer que la loi de COX & VOÏNOV prévoit l’annulation de
l’angle de contact de reculée pour une valeur finie du nombre capillaire (voir Figure I-9b) : θr = θc = 0 ⇔ Ca = Cac = θs
3
9ln( b / a ) ( I.19 ) Il y aurait alors une transition de mouillage à angle critique de reculée nul, où le liquide passerait d’un état partiellement mouillant à un état totalement mouillant pour des vitesses de recul de la ligne triple suffisamment grandes. La Figure I-9b fait apparaître le nombre capillaire maximal Cac que peut atteindre une ligne de contact lorsqu’elle recule, typiquement de l’ordre de 5.10
-3
(pour un angle de contact θs=π/4 et ln(b/a)=10). Cette valeur indique la vitesse maximale de
démouillage : si la ligne recule plus rapidement que cette vitesse critique, elle n’arrive plus à démouiller le solide et dépose un film liquide sur le substrat.
I.4.2.2 Le modèle de DE GENNES
DE GENNES traite la question du mouillage dynamique d’un point de vue énergétique
[DE GENNES (1986), DE GENNES et al (1990)]. Il équilibre la dissipation visqueuse dans le vo- lume avec le travail des forces capillaires γ(cosθ − cosθs) où θ désigne l’angle de contact dynamique, et θs l’angle de contact statique. L’interface liquide/gaz est supposée localement
plane, c’est-à-dire que le liquide forme un dièdre qui avance sur le substrat (voir Figure I-10a). Le travail élémentaire des forces capillaires pendant une durée dt s’exprime comme :
dWγ = FγUdt= γ (cosθ − cosθs) Udt ( I.20 )
Celui de la dissipation des forces visqueuse 3ηU/h donne :
dWη = 3U
2
h ηdt
∫
dx ( I.21 )L’intégration de ce dernier terme en 1/h fait apparaître une divergence qu’il faut donc tronquer à une échelle microscopique a et à une échelle macroscopique b, délimitant une zone dans laquelle les forces capillaires et de friction sont dominantes. On obtient finalement le travail des forces visqueuses : dWη= η3U 2 tanθln b a dt ( I.22 )
L’effet de la divergence est entièrement contenu dans le logarithme. L’équilibre de ces deux travaux conduit au modèle de DE GENNES pour l’angle de contact dynamique, pour
(θs,θ) = 1 : θ θ2 − θ s 2
(
)
=6Ca Ln b a ( I.23 )On retrouve bien un polynôme en angle de contact dynamique θ, proportionnel au nombre capillaire. De plus, on peut remarquer que le polynôme est de degré 3, comme dans le modèle de COX et VOÏNOV.
Figure I-10 : (a) Dièdre avançant sur un substrat. (b) Évolution de l’angle de contact dynamique en fonction du nombre capillaire d’après le modèle de DE GENNES. La branche de a courbe en pointillés n’est pas atteinte en pratique.
La principale différence avec le modèle de COX et VOÏNOV porte sur l’angle critique à la
transition de mouillage. Le modèle de COX-VOÏNOV prévoit une transition de mouillage pour
un angle de contact de reculée nul (transition du deuxième ordre) alors qu’au contraire, le mo- dèle de DE GENNES pronostique une transition du premier ordre avec un angle critique non-nul
(voir Figure I-10b). D’après l’équation ( I.23 ), l’angle dynamique de reculée ne peut pas être inférieur à la valeur critique non-nulle :
θc = θs
3 ( I.24 )