1.4 Problèmes d'optimisation ombinatoire multiobje tif, adres appli atifs
1.4.2 Le problème de Ring-Star
1.4.2.1 Introdu tion aux problèmes de tournées
Les problèmes de tournées, tels que le problème du voyageur de ommer e ou le problème de tournéesdevéhi ules,sontfréquemmentétudiésdufaitdeleursnombreusesappli ationsréelles, notamment en transport et logistique. Les obje tifs les plus ourants onsistent à minimiser la distan e par ourue, le temps requis,le oût de la tournée,la taille de la otte de véhi ules,ou en ore à maximiser laqualité de servi eou le pro t olle té.D'autres aspe ts,tels que l'équili- bragedes tournées,peuvent également êtrepris en ompte.D'aprèsJozefowiezet al.(2008), les problèmes detournéesmultiobje tif seprésententgénéralementsoustroisformes:l'extensionde problèmes a adémiques existants dansle but d'améliorer leur appli ation pratique,la générali- sation de problèmes lassiques, ou l'étude de as réels où diérents obje tifsont lairement été identi és.
Le problème de Ring-Star étudié i i orrespond lairement à une généralisation du problème monoobje tiforiginal,pourlequelsoitlesdeuxfon tionsobje tifétaient ombinées(Labbéetal., 2004), soit l'une des deux fon tions obje tif était traitée omme une ontrainte (Labbé et al.,
Fig. 1.16UnexempledesolutionparleproblèmedeRing-Star.
1.4.2.2 Dé nition du problème
LeproblèmedeRing-Star(RSP)peutêtredé ni ommesuit.Soit
G = (V, E, A)
ungraphemixte omplet oùV ={v1, v2, . . . , vn}
estun ensemble de sommets,E ={[vi, vj]|vi, vj
∈ V, i < j}
est unensembled'arêtes,etA ={(vi, vj)|vi, vj
∈ V }
estunensembled'ar s.Lesommetv1
représente ledép t. À haque arête[vi, vj]∈ E
estasso iéun oût-anneau (ring ost) non nul, notécij
,et à haquear(vi, vj)∈ A
estasso iéun oûtd'ae tation(assignment ost) nonnul,notédij
.Le problèmedeRing-Starbiobje tif onsisteàidenti erun y lesurunsous-ensembleden÷udsdu grapheV′
⊂ V
(avev1
∈ V′
) tout en (i
) minimisant lasomme des oûts-anneau desarêtes du y le,eten(ii
) minimisantlasommedes oûtsd'ae tationdesar sallantde haquen÷udnon visitéversunn÷udvisité(desorte quele oûtd'ae tation asso iésoit minimum). Unexemple d'unesolution réalisableest donnésurla gure1.16, oùles lignespleinesreprésentent les arêtes appartenant à l'anneau, etoù les lignesen pointilléreprésentent lesar s desae tions entreles n÷uds.La première fon tion obje tif,le oût-anneau, estdé nie ommesuit.
X
[vi,vj]∈E
cijbij
(1.9)où
bij
est une variable binaireégale à 1 si etseulement sil'arête[vi, vj]
appartient au y le. Le se ond obje tif,le oûtd'ae tation, est dé niainsi:X
vi∈V \V′
min
vj∈V′
dij
(1.10)Remarquonsque esfon tionsobje tifnesont omparablesentreellesquesinoussupposonsque le oûtdu y leetles oûts d'ae tation sontproportionnels l'un àl'autre, e quiest rarement le as en pratique. De plus, privilégier un oût par rapport à l'autre s'apparente fortement aux préféren es du dé ideur. Or, nous nousplaçons i i dans un ontexte de prise de dé ision a posteriori. Le problème de Ring-Star biobje tif est un problème ombinatoire NP-di ile, ar le as parti ulier onsistant à visiter l'ensemble des n÷uds du graphe (
V′
= V
) équivaut à un problème duvoyageur de ommer e traditionnel.1.4.2.3 Jeux de données
Les expérimentations que nous allons réaliser au ours des hapitres suivants seront onduites sur un ensemble de jeux de données provenant de la TSPLIB
4
réées pour le problème du voyageur de ommer e, es instan es s'appliquent parfaitement à notre as,etsont d'ailleurs utiliséesau seindestravaux traitant d'uneversionàobje tif unique du problème (Labbé et al., 2004, 2005). Soit
lij
la distan e entre deux n÷udsvi
etvj
fournie par uneinstan e delaTSPLIB.Pour haquepaire den÷udsvi, vj
,le oût-anneaucij
etle oût d'ae tationdij
sont tousdeux xés àlij
.1.4.2.4 État de l'art su in t des méthodes de résolution existantes
Le problème de Ring-Starappartient àla lassedesproblèmes delo ation-allo ation visant à lo aliser des stru turesau sein d'ungraphe (Labbé et al.,1998). Il aété initialement formulé parLabbéetal.(1999)sousdeuxvariantes.Soussapremièreformulation(notéMCP1parLabbé et al. (1999) et généralement appelé Ring-Star problem ), une somme pondérée des deux fon tions obje tif est à optimiser. Sous sa deuxième formulation (MCP2 (Labbé et al., 1999), habituellement nommé median y le problem), le oût de l'anneau est à minimiser tandis quele oûtd'ae tationdoitrespe ter unebornedonnée.Mêmesi elan'étaitpasexpli itement mis en éviden e par les auteurs originaux, es deux formulations sont ouramment utilisées pour onvertir un problème d'optimisation multiobje tif en un problème monoobje tif à l'aide d'appro hes s alaires. En eet, elles orrespondent respe tivement à une transformation par méthode d'agrégation etpar méthode
ǫ
- ontrainte dans lalittérature traitant de l'optimisation multiobje tif(Miettinen, 1999), voirla se tion2.1.3.1.LapremièreformulationduproblèmeaétélargementétudiéeparLabbéetal.(2004).Lesauteurs proposent une méthode de type bran h-and-bound et résolvent des instan es de la TSPLIB et des instan es généréesaléatoirement allant jusqu'àdeux entsn÷uds en moinsde deux heures. Ensuite, Labbé et al. (2005) ont résolu la se onde formulation du problème à l'aide d'une mé- thode similaire. Pour nir, l'une ou les deux versions du problème ont été attaquées à l'aide d'heuristiques telles qu'une re her he tabou à voisinage variable (Moreno Pérez et al., 2003), un algorithme évolutionnaire (Renaud et al., 2004), une heuristique gloutonne itérée (Renaud et al., 2004), et une re her he tabou à voisinage variable hybridée à une re her he gloutonne adaptative (Diaset al.,2006).
Un problème très similaire, à savoir le problème de Ring-Star à apa ité a été introduit par Balda i et al. (2007). Il étend la première formulation du problème de Ring-Star en limitant le nombre de n÷uds pouvant être assignés à l'anneau (la apa ité d'anneau). Ce problème a été résolu par une méthode exa te de type bran h-and-bound. Notez que le même problème a également été abordé par Mauttone et al. (2007) à l'aide d'une métaheuristique hybride. En outre, BeasleyetNas imento (1996)ontprésenté un problèmede tournées-allo ation à véhi ule unique (single vehi le routing-allo ation problem, SVRAP) dans lequel les n÷uds non visités peuvent soitêtreae tés au y le,soit isolés.Dans e as,unobje tif additionnelminimisant le nombre de n÷uds isolés doit être pris en ompte. Vogt et al. (2007) ont proposé une re her he tabou pour résoudreun problèmemonoobje tif résultant de etteformulation.
Comme le montre l'état de l'art proposé par Jozefowiez et al. (2008), le nombre de problèmes de tournées multiobje tif s'est a ru durant les dernières années. Mais, malgré ses nombreuses appli ationsindustrielles(voirlase tionsuivante),leproblèmedeRing-Starn'ajamaisétéétudié ommeun problèmemultiobje tif.Néanmoins,il estànoterqueCurrent et S hilling (1994) ont dé ni deux variantes d'un problème multiobje tif très similaires au problème de Ring-Star : le median tour problem et le maximal overing tour problem. Dans es deux variantes, l'une des
maximiserl'a ès au tourpourles n÷udsnon visités.Pour s'attaquerà esdeuxproblèmes,les auteurs utilisent une appro he de type lexi ographique, où une hiérar hie est dé nie entre les fon tions obje tif,etoù haque fon tion obje tif est onsidérée l'une aprèsl'autre. Par ailleurs, Doerner et al. (2007) ont ré emment formulé unproblème de plani ation de tournées pour les établissements de soins mobiles. Trois obje tifs sont pris en ompte et le problème résultant est relativement pro he de elui introduit par Beasley et Nas imento (1996). Un établissement mobile doit visiterun sous-ensemblede n÷uds.Les n÷uds non visités sont ae tés àl'arrêt du tour leplus pro he, ousont onsidérés omme nepouvant pasa éder aux soins(parrapportà une distan emaximale donnée). Les obje tifs étudiéssont (