Métaheuristiques pour l'optimisation multiobjectif: Approches coopératives, prise en compte de l'incertitude et application en logistique

HAL Id: tel-00464166

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00464166

Submitted on 16 Mar 2010

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Approches coopératives, prise en compte de l’incertitude

et application en logistique

Arnaud Liefooghe

To cite this version:

Arnaud Liefooghe. Métaheuristiques pour l’optimisation multiobjectif: Approches coopératives, prise

en compte de l’incertitude et application en logistique. Informatique [cs]. Université des Sciences et

Technologie de Lille - Lille I, 2009. Français. �tel-00464166�

École Doctorale Sciences Pour l'Ingénieur Université Lille Nord-de-France

Laboratoire d'Informatique Fondamentale de Lille (UMR CNRS 8022)

Centre de Recherche INRIA Lille - Nord Europe

Numéro d'ordre : 40153 | Année : 2009

Mémoire de thèse présenté pour obtenir le grade de

Docteur de l'Université Lille 1 - Sciences et Technologies

Discipline : Informatique

Métaheuristiques pour l'optimisation multiobjectif

Approches coopératives, prise en compte de l'incertitude et application en logistique

Arnaud Liefooghe

Date de soutenance : 08/12/2009

Membres du jury

Président : Nour-Eddine Oussous, Professeur des Universités, Lille 1

Rapporteur : Alexandre Caminada, Professeur des Universités, Belfort-Montbéliard

Rapporteur : Jin-Kao Hao, Professeur des Universités, Angers

Examinateur : Dirk Thierens, Professeur des Universités, Utrecht (Pays-Bas)

Examinateur : Daniel Tuyttens, Professeur des Universités, Mons (Belgique)

Directeur : El-Ghazali Talbi, Professeur des Universités, Lille 1

la logistique, doivent faire fa e à beau oup de di ultés. En eet, ils sont souvent ara térisés par desespa esde re her he vasteset omplexes,de multiplesfon tionsobje tif ontradi toires, et une foule d'in ertitudes qui doivent être prises en ompte. Les métaheuristiques sont des andidates naturelles pour résoudre es problèmes, e qui les rend préférables aux méthodes d'optimisation lassiques.Toutefois,ledéveloppementdemétaheuristiquese a esdé ouled'un pro essusdere her he omplexe.Le ÷urde etravailrésideenla on eption,l'implémentation etl'analyse expérimentale de métaheuristiquespour l'optimisation multiobje tif,ainsiqueleurs appli ationsàdesproblèmeslogistiquesdetournéesetd'ordonnan ement.Toutd'abord,unevue uniée de esappro hesest présentée, puisintégrée dansune plateforme logi ielle dédiée àleur implémentation,ParadisEO-MOEO.Ensuite,plusieursappro hesde oopération, ombinantdes métaheuristiquespourl'optimisation multiobje tif,sont proposées.Enn,laquestiondelaprise en ompte l'in ertitude est abordée dansle ontextede l'optimisation multiobje tif.

Mots lés. Re her heopérationnelle;Optimisation ombinatoire;Optimisationmultiobje tif; Programmationheuristique;Algorithmeshybrides;In ertitude;Ordonnan ement;Problèmedu voyageur de ommer e.

Abstra t

Manyreal-world optimization problems,espe iallyin the eld of logisti s, have to fa e a lotof di ulties. Indeed, they are often hara terized by large and omplex sear h spa es, multiple oni ting obje tive fun tions, and a host of un ertainties that have to be taken into a ount. Metaheuristi sarenatural andidatesto solvethoseproblemsandmakethempreferableto las-si al optimization methods. However, the development of e ient metaheuristi s results in a omplex engineering pro ess. The ore subje t of this work lies in the design, implementation and experimental analysisofmetaheuristi s formultiobje tive optimization,together withtheir appli ations to logisti problems from routing and s heduling. Firstly, a unied view of su h approa hesispresentedandthenintegrated into asoftwareframeworkfortheirimplementation, ParadisEO-MOEO. Next, some ooperative approa hes ombining metaheuristi s for multiob-je tive optimization are proposed. At last, the issueof un ertainty handling is dis ussed in the ontext of multiobje tive optimization.

Keywords. Operational resear h; Combinatorial optimization; Multiobje tive optimisation; Heuristi programming;Hybridalgorithms;Un ertainty;S heduling;Travelling Salesman

Pro-Mes premiers remer iements s'adressent à mes dire teurs de thèse,El-Ghazali Talbi etLaetitia Jourdan. Je tiens à leur exprimer ma profonde re onnaissan e pour leurs pré ieux onseils, la qualité deleuren adrement etleurlu idité s ientique, quiontétéprimordiauxtoutaulongde es annéesde do torat.

Mer iégalement àtouslesmembresdujury:Nour-EddineOussous,président,Alexandre Cami-nada etJin-KaoHao,rapporteurs,ainsiqueDirkThierens etDanielTuyttens, examinateursde ette thèse. À tous, je leur exprime masin ère gratitude pour toute l'attention qu'ilsont porté à montravail.

Je tiens par ailleurs à remer ier toutes les personnes ave qui j'ai pris beau oup de plaisirs à travailler durant estrois années de thèse,tout autant les membres du LIFL, de l'INRIA et de l'équipeDolphinqueles ollaborateursextérieurs.Unmer iparti ulieràMatthieu Basseur, Cla-risseDhaenens,Ni olasJozefowiez,NouredineMelab,maiségalementàJoséR.Figueira,Andrzej P.Wierzbi ki etEdmund K.Burke. Mer iégalement à tousles do torants, post-do torants, in-génieursetstagiairesdel'équipeDolphin,présentsetpassés.JepenseàAlex,Ali,Clive,Emilia, Gaël, Jean-Charles, Jérme, Julien, Malika, Marie-Éléonore (mer i pour les rele tures), Moha-med, Mohand,Rémy,Salma,Thé-Van,Thomas, Waldo, etj'enoublies!Unimmense mer itout à faitparti ulieràJérémie Humeau.Je suis ons ient que ette thèseneseraitpas e qu'elleest sans lui.

J'exprime enn mes remer iements à ma famille et à mes amis, qui, par leur bonne humeur, sympathie et amitié ont ontribué au bon déroulement de ette thèse. Mer i à mes parents pour leursoutien infaillible toutau longde mondo torat, maisausside mes études,etde mon existen e en générale. Mer i à ma soeur, Aude, de m'avoir ouvert la voie. Mer i à ma femme, Anne, pour sapatien eetsonsoutien. Mer ienn à meslle,PiaetCléo. Àtous, emanus rit leur estdédié.

Introdu tion générale 1

1 Optimisation multiobje tif 5

Introdu tion . . . 6

1.1 Dénitions . . . 6

1.1.1 Formulationgénéraled'un problèmed'optimisation multiobje tif . . . 6

1.1.2 Notionsde dominan ePareto etd'optimalité . . . 7

1.1.3 Autresnotions de dominan e . . . 8

1.1.4 Bornesdu frontPareto . . . 8

1.2 Appro hesde résolution . . . 9

1.2.1 Optimisation multiobje tif etaideà ladé ision . . . 11

1.2.2 Classi ation desensembles Pareto optimaux . . . 12

1.2.3 Méthodologies de résolution . . . 12

1.2.3.1 Classi ation . . . 12

1.2.3.2 Métaheuristiques . . . 13

1.2.3.3 Méthodespour l'optimisation multiobje tif . . . 14

1.3 Analyse deperforman es . . . 15 1.3.1 Indi ateurs de qualité . . . 15 1.3.1.1 Classi ation . . . 15 1.3.1.2 Indi ateurhypervolume . . . 18 1.3.1.3 Indi ateurepsilon . . . 18 1.3.1.4 Indi ateur ontribution . . . 19

1.3.1.5 Ensembleetpoint de référen e . . . 19

1.3.2 Validation statistique. . . 20

1.4 Problèmes d'optimisation ombinatoire multiobje tif, adresappli atifs . . . 20

1.4.1 Le problème deFlowshop . . . 21

1.4.1.1 Introdu tionaux problèmesd'ordonnan ement . . . 21

1.4.1.2 Dénition duproblème . . . 22

1.4.1.3 Jeux dedonnées . . . 23

1.4.1.4 Étatde l'artsu in t desméthodes derésolution existantes . . . 23

1.4.2 Le problème deRing-Star . . . 24

1.4.2.1 Introdu tionaux problèmesde tournées . . . 24

1.4.2.2 Dénition duproblème . . . 25

1.4.2.3 Jeux dedonnées . . . 25

1.4.2.4 Étatde l'artsu in t desméthodes derésolution existantes . . . 26

1.4.2.5 Intérêts industriels . . . 27

2 Métaheuristiques pourl'optimisation multiobje tif 29

Introdu tion . . . 31

2.1 Con eption . . . 32

2.1.1 Motivations . . . 32

2.1.2 Con epts ommuns àtouttype de métaheuristique . . . 34

2.1.2.1 Représentation . . . 34

2.1.2.2 Évaluation . . . 34

2.1.3 Con epts ommuns à tout type de métaheuristique pour l'optimisation multiobje tif . . . 35

2.1.3.1 Ae tation d'unevaleur detness . . . 35

2.1.3.2 Préservation deladiversité . . . 39

2.1.3.3 Élitisme . . . 40

2.1.4 Con eption d'algorithmesévolutionnaires multiobje tif . . . 42

2.1.4.1 Un modèlede on eptionunié . . . 42

2.1.4.2 Des ription des omposants . . . 44

2.1.4.3 Algorithmes existants omme instan es dumodèle . . . 45

2.1.4.4 Unnouvelalgorithmeévolutionnairepourl'optimisation multiob-je tif. . . 49

2.1.5 Con eption d'algorithmesde re her he lo alemultiobje tif . . . 50

2.1.5.1 Un modèlede on eptionunié . . . 52

2.1.5.2 Des ription des omposants . . . 53

2.1.5.3 Algorithmes existants omme instan es dumodèle . . . 57

2.1.5.4 Un autreexemple d'algorithme dere her he lo alemultiobje tif 60 2.2 Implémentation . . . 60

2.2.1 Motivations . . . 62

2.2.2 Présentation de ParadisEO-MOEO . . . 63

2.2.2.1 La plateforme ParadisEO etlemoduleParadisEO-MOEO . . . . 63

2.2.2.2 Cara téristiques prin ipales . . . 64

2.2.2.3 Plateformeslogi ielles existantes . . . 65

2.2.3 Implémentation sousParadisEO-MOEO . . . 67

2.2.4 Dis ussion . . . 67

2.3 Analyse expérimentale . . . 70

2.3.1 Appli ation au problèmede Flowshop . . . 70

2.3.1.1 Modélisation . . . 70

2.3.1.2 Appro hesétudiées . . . 72

2.3.1.3 Designexpérimental . . . 73

2.3.1.4 Résultats expérimentaux . . . 74

2.3.1.5 Dis ussion . . . 77

2.3.2 Appli ation au problèmede Ring-Star . . . 79

2.3.2.1 Modélisation . . . 79

2.3.2.2 Appro hesétudiées . . . 81

2.3.2.3 Designexpérimental . . . 81

2.3.2.4 Résultats expérimentaux . . . 83

3 Métaheuristiques oopératives pour l'optimisation multiobje tif 91

Introdu tion . . . 93

3.1 Classi ation . . . 94

3.1.1 Classi ation hiérar hique . . . 94

3.1.2 Classi ation àplat . . . 95

3.1.3 Métaheuristiques oopérativesetoptimisation multiobje tif . . . 95

3.2 Une appro he de oopérationde haut niveau en mode relais . . . 98

3.2.1 Motivations . . . 98

3.2.2 Con eption . . . 99

3.2.2.1 S hémade oopération . . . 99

3.2.2.2 Choixd'instan iation dumodèle . . . 101

3.2.3 Implémentation . . . 102

3.2.4 Analyse expérimentale . . . 103

3.2.4.1 Designexpérimental . . . 103

3.2.4.2 Résultats expérimentaux . . . 104

3.2.5 Dis ussion . . . 105

3.3 Une appro he de oopérationde haut niveau en mode teamwork . . . 107

3.3.1 Motivations . . . 107 3.3.2 Con eption . . . 108 3.3.2.1 Élémentsfondamentaux . . . 108 3.3.2.2 S hémade oopération . . . 114 3.3.3 Implémentation . . . 114 3.3.4 Analyse expérimentale . . . 116 3.3.4.1 Designexpérimental . . . 116 3.3.4.2 Résultats expérimentaux . . . 117 3.3.5 Dis ussion . . . 117 Con lusion . . . 120

4 Métaheuristiques pour l'optimisation multiobje tif en environnement in er-tain 123 Introdu tion . . . 125

4.1 Classi ation . . . 126

4.1.1 Contexte . . . 126

4.1.1.1 Classesd'in ertitude . . . 126

4.1.1.2 In ertitudeen optimisation multiobje tif . . . 128

4.1.1.3 Appro hesissuesde laprogrammation mathématique . . . 130

4.1.2 Appro hesmétaheuristiques . . . 132

4.1.2.1 Choixde valeursreprésentatives . . . 132

4.1.2.2 Exploitation desvaleursreprésentatives . . . 135

4.1.2.3 Questions onnexes . . . 138

4.2 Con eption . . . 139

4.2.1 Modélisationde l'in ertitude . . . 139

4.2.2 Appro hes métaheuristiquespour l'optimisation multiobje tif en environ-nement in ertain . . . 140

4.2.2.2 Appro hesbasées surles valeurs d'indi ateur . . . 144

4.3 Implémentation . . . 146

4.4 Analyse expérimentale . . . 146

4.4.1 Évaluationdesperforman es . . . 146

4.4.1.1 Commentaires généraux . . . 147

4.4.1.2 Deux appro hes méthodologiques . . . 147

4.4.2 Appli ation au problèmede Flowshop sto hastique . . . 148

4.4.2.1 Sour es d'in ertitude. . . 149

4.4.2.2 Modèles sto hastiqueset jeuxdedonnées . . . 149

4.4.2.3 Designexpérimental . . . 152

4.4.2.4 Résultats etdis ussion. . . 153

Con lusion . . . 156

Con lusion générale 159 Synthèse des ontributions . . . 159

Perspe tives . . . 161

Annexe 167 Implémentation sous ParadisEO-MOEO . . . 167

Cettethèse s'ins rit dansledomaine del'optimisation multiobje tif,eten parti ulierde l'étude et de larésolution de problèmes d'optimisation ombinatoires et di ilesissus de la logistique. Elle aétémenée auseinde l'équipeDOLPHIN

1

du laboratoired'informatiquefondamentalede Lille (LIFL, CNRS,Université Lille 1), ommune à l'équipe-projet du même nomdu entre de re her he INRIALille-Nord Europe.

Beau oupdeproblèmesd'optimisationissusdumonderéelsont omplexesetdi ilesàrésoudre. De plus, les problèmes d'optimisation ren ontrés en pratique sont rarement monoobje tif, et requièrent souvent la prise en ompte de plusieurs ritères oni tuels, e qui amplie en ore le degré de di ulté. Ainsi, de nombreux domaines industriels, notamment en logistique, se doivent de faire fa e à desproblèmes multiobje tif omplexeset de grande taille.D'autant que la omplexité des problèmes d'optimisation multiobje tif augmente en fon tion de la taille du problème à résoudre, aussi bien en termes d'espa e de re her he qu'en termes de nombre de fon tionsobje tifàoptimiser. Aussi,biendesproblèmesmultiobje tifa adémiquesetindustriels sont NP-di iles,etnepeuventdon généralementpasêtrerésolusdefaçonexa teenuntemps de al ul raisonnable. Il s'avère don né essaire de onsidérer des méthodes alternatives. Pour ela,lesmétaheuristiquesont onnuunintérêtgrandissantau oursdesdeuxdernièresdé ennies. De nosjours, les métaheuristiques pour l'optimisation multiobje tif onstituent un domaine de re her he etdedéveloppement trèsa tif.

D'une part, les métaheuristiquesreprésentent une lasse de méthodologies de résolution appro- hées qui sont appli ables à une large variété de problèmes d'optimisation. Elles sont indépen-dantes du problème à résoudre, et doivent don être ajustées à la résolution d'un problème parti ulier, e i par le biais d'un sous-ensemble de omposants algorithmiques dépendants du problèmetraité.Lesmétaheuristiquessont desappro hesgénérales dehaut niveau utiliséespour guider etdiriger, de façon sous-ja ente, la on eptiond'une méthode de résolution dédiée à un problème d'optimisation parti ulier. Elles omptent parmi les te hniques les plus e a es pour résoudre, en un temps de al ul raisonnable, des problèmes d'optimisation di iles dans de nombreux domaines dela re her he opérationnelle.

Cesdernièresannées, ilestdevenuévidentqueledéveloppement demétaheuristiquese a esse basesurunpro essusd'ingénierie omplexequi ombinelesaspe tsde on eption, d'implémenta-tionetd'analyseexpérimentale.Ladi ultéde epro essusestenpartiedueàla omplexitédes problèmesabordésetaugrandnombrededegrésdelibertéa ordésaux her heursetaux prati- iens onfrontésàl'élaborationde telsalgorithmes.Cepro essusdedéveloppement requiertune méthodologiesolidequi abordeles diérentesquestionssurvenant lors desphasesde on eption algorithmique,d'implémentation,ainsiqued'évaluationetd'analyseexpérimentale.Deplus,des études supplémentaires sont né essaires pour omprendre quellesmétaheuristiques se montrent lesplusadaptées àtelouteltypedeproblème, etpour omprendre lesrelationsexistantesentre les multiples omposants algorithmiques,l'inuen e desparamètres, et .

D'autrepart,denombreuxproblèmesd'optimisationissusdumonderéelrequièrentla onsidéra-tionsimultanéedeplusieurs ritères,généralement en onitlesunsave lesautres.À ha unde

es ritères orrespondunefon tion obje tifàoptimiser(minimiseroumaximiser),quirelèvede la modélisationdu problèmetraité. De tels problèmes d'optimisation multiobje tif sont réputés pour être parti ulièrement di iles à résoudre. En eet, ontrairement au as monoobje tif, il n'existepasunesolutionoptimale unique,maisunensembledesolutions optimales,ditesPareto optimales. Une solution est Pareto optimale si l'amélioration à l'égard d'une des fon tions ob-je tif entraîne invariablement une détérioration relativement à une autre fon tion obje tif. Ces solutions représentent les ompromisentreles diérentes fon tionsobje tif àoptimiser. L'union dessolutions Paretooptimales formel'ensemblePareto optimal, etl'image de etensembledans l'espa eobje tifestappelélefrontPareto.Ainsi,l'optimisationmultiobje tif s'intéresseaux par-ti ularités liéesà l'existen ede essolutions optimalesmultiples, etaux méthodesde résolution dédiéesà e type deproblèmes, biensouvent NP-di iles.

Larésolutiond'unproblèmed'optimisationmultiobje tif onsisteàtrouverlasolutionPareto op-timale qui répond au mieux auxpréféren es du dé ideur. L'optimisation multiobje tif est don étroitement liée au domaine de la prise de dé ision multi ritère. Les appro hes de résolution initiales onsistaient à réduire le problème original en un problème monoobje tif. Néanmoins, depuis plusieurs années, une des questions fondamentales de l'optimisation multiobje tif s'ap-parente àl'identi ation de l'ensembleParetooptimal, ou à uneapproximation de elui- i pour des problèmes di iles de grande taille. Dans e ontexte, les métaheuristiques en général, et les algorithmes évolutionnaires en parti ulier, onnaissent un intérêt grandissant. Dans la litté-rature du domaine, larésolution d'unproblème multiobje tif à l'aided'une métaheuristique est en eet ommunément entendue ommelare her he d'uneapproximation del'ensemble Pareto optimal satisfaisant les onditions unanimes de onvergen e vers le front Pareto et de diversité uniforme. Ces deux ara téristiques ontrlent l'obtention de solutions pro hes, et bien distri-buéeslelongdufrontPareto,desortequ'au uneinformationutilenesoitperdue.Parrapportau asmonoobje tif,lesdi ultéssupplémentairesliéesàlarésolutiondeproblèmesd'optimisation multiobje tif résultent du fait qu'il n'existe pas d'ordre total entre les solutions, que la stru -ture du front Pareto estvariable d'unproblème à l'autre, et quele nombrede solutions Pareto optimales roît enfon tion de lataille duproblème, en parti ulierselon lenombre d'obje tifs. Dans e mémoire de thèse, nous nous intéressons aux problématiques liées à la résolution de problèmes d'optimisationmultiobje tif àl'aidede métaheuristiques,eten parti ulierauxphases su essivesde on eption, d'implémentation etd'analyseexpérimentale de etype d'appro hes. Par ailleurs,nousétudionsdeuxproblèmes d'optimisation ombinatoires issusdu domaine dela logistique, et à l'appli ation de métaheuristiques pour leur résolution. Puis, suite à une étude approfondiedesmétaheuristiquespourl'optimisationmultiobje tif,nousnousintéressonsàla o-opérationdeplusieursmétaheuristiques.Nousmontronspournirqu'enplusdeleur omplexité intrinsèque et de leurs multiples fon tions obje tif, beau oup de problèmes d'optimisation sont égalementsujetsàtoutesorted'in ertitude.Nousexaminons,d'unpoint devuemétaheuristique et multiobje tif, omment prendre esdiérentes sour esd'in ertitude en ompte, etquellesen sont les réper ussions sur le développement des méthodes de résolution. Les diérents aspe ts ouverts au ours de e mémoire de thèse sont illustréssur lagure1.

Dansunpremiertemps,nousnous on entronsprin ipalementsurledéveloppementde métaheu-ristiques dédiéesà l'approximation de l'ensemble Pareto optimal. Une vueuniée est présentée pourla on eptiondemétaheuristiquese a esdédiéesàlarésolution deproblèmes d'optimisa-tionmultiobje tif ontinusou ombinatoires.Una entparti ulierestmissurles omposantsde

coopération incertitude application conception implémentation analyse expérimentale métaheuristiques pour l'optimisation multiobjectif

Fig.1Inter onnexionentrelesprin ipaux thèmesabordésau oursde emanus ritdethèse.

dédiéeàl'implémentationexibleetréutilisabledetellesméthodes:ParadisEO-MOEO.Il s'agit dumoduledelaplateformeParadisEOspé iquement onsa réauxmétaheuristiquespour l'op-timisation multiobje tif, et basé sur une séparation laire entre la méthode de résolution et le problèmeàtraiter.Enn,nousmodélisonslesdeuxproblèmestraitési ienvuedeleurrésolution par métaheuristique,etnousmenonsune analyseexpérimentaled'unensembledeméthodessur es deuxappli ations.

Dans unse ondtemps, nousnousattardonssurledéveloppement de métaheuristiques oopéra-tives, séquentiellesetparallèles, toujoursdans le adrede l'optimisation multiobje tif.En eet, les métaheuristiques sont onsidérées omme des méthodes de référen e pour bon nombre de problèmes d'optimisation. Cependant, il est à présent devenu évident que se on entrer sur un seul type de métaheuristiques s'avère plutt restri tif.Une ombinaisonappropriée de on epts provenant de diérentes méthodologies permetdansbien des asde produire un omportement plus e a e et une plus grande exibilité lorsque des problèmes de grande envergure issus du monde réel sont traités. Les métaheuristiques hybrides sont des appro hes d'optimisation qui ombinent diérentes métaheuristiques, ou qui intègrent des te hniques issues de l'intelligen e arti ielleoudelare her heopérationnelleauseind'unemétaheuristique.Pour ela,nous propo-sonsplusieurss hémasde oopérationgénéraux,etvalidonsleursintérêtssurlesdeuxproblèmes d'optimisation multiobje tif ombinatoireétudiés.

Dansunderniertemps,nous onstatonsqu'unegrandepartiedesproblèmesd'optimisationréels sontsoumisàdesin ertitudes, tant auniveaudesfon tionsobje tifqu'auniveau desparamètres environnementaux, ou en ore des variables de dé ision. Ces diérentes sour es d'in ertitude se doivent d'être prises en ompte au ours de la modélisation et de la résolution du problème. D'un point de vue multiobje tif, es in ertitudes onstituent un obsta le majeur, puisqu'elles empê hentl'identi ationdel'ensembleParetooptimal.Endépitdeleurexibilité,les métaheu-ristiques sont très rarement explorées pour s'attaquer à des problèmes de nature sto hastique. Pourtant, elles semblent être des andidates intéressantes. Nous pensons qu'ave un minimum d'ajustements,ellespeuventêtreappliquéesàunelargevariétédeproblèmesd'optimisationsous in ertitude, dont des problèmes multiobje tif. Nous examinons tout d'abord omment prendre en ompte esdiérentessour esd'in ertitude,etnousnousintéressonspour elaauxappro hes fondées sur un é hantillonnage. Ensuite, nous dis utons de l'adaptation des métaheuristiques

Plan du manus rit

Chapitre 1. Le premier hapitre introduit les bases de l'optimisation multiobje tif, onnais-san es requises pour la bonne ompréhension des travaux présentés dans les hapitres ulté-rieurs.Ainsi,nousdonnonslesdénitions essentielles, etdis utonsde diérentesappro hesde résolution etdel'analyse de leurs performan es. Deplus, nousprésentonsles deuxproblèmes d'optimisation ombinatoire multiobje tif qui vont nous intéresser par lasuite. Il s'agit d'un problèmed'ordonnan ementdetypeFlowshopdéjàétudiéauseindel'équipeDOLPHIN (Bas-seur, 2005; Lemesre, 2006), et d'un problème de tournées pour la première fois formulée de façonmultiobje tif:leproblèmedeRing-Star,faisantréféren eautravaildeJozefowiez(2004).

Chapitre 2. Le se ond hapitre onstituelenoyaude ettethèse.Ils'intéresseàla on eption, àl'implémentation etàl'analyse expérimentale de métaheuristiques pour l'optimisation mul-tiobje tif.Uneuni ationdela on eptiondetellesméthodesestproposée.Bienque ettevue uniéesoit ommune àtouttypede métaheuristique,l'a ent estmis surdeuxméthodologies parti ulières: les algorithmes évolutionnaires et les algorithmes de re her he lo ale. Diverses ontributions algorithmiques sont également présentées.Nous dévoilons ensuitelatradu tion de e modèle de on eption en une plateforme logi ielle dédiée à l'implémentation de mé-taheuristiques pour l'optimisation multiobje tif : ParadisEO-MOEO. Celle- i fait suite à un travail de thèse réalisée dansl'équipe DOLPHIN (Cahon, 2005). Enn, nous fournissons une étude omparative à propos desperforman es d'un ensemble de méthodespour la résolution des deux problèmes traités i i : le problème de Flowshop et le problème de Ring-Star. Ces deux appli ations nous permettent par ailleurs d'analyser expérimentalement l'inuen e des omposantsde re her he surle omportement général de es algorithmes.

Chapitre 3. Au ours du troisième hapitre, nous nous intéressons aux métaheuristiques hy-brides pour l'optimisation multiobje tif. Deuxmodèles de oopérationsont proposés. Le pre-mier se base sur la omplémentarité de deux métaheuristiques, exé utées en séquen e, pour a omplirdestâ hes ontradi toires :l'améliorationde solutionsexistantes(intensi ation)et ladé ouvertede nouvellesrégionsàexplorer(diversi ation). Le deuxièmes héma d'hybrida-tionsebasesur l'exé ution parallèle de plusieurs métaheuristiques. Cha uned'elles s'emploie à trouver une approximation de l'ensemble Pareto optimal lo alisé dans une sous-région de l'espa eobje tif; e dernierétantdivisé à l'aidede points de référen emultiples.

Chapitre 4. Le dernier hapitre dis utede la prise en ompte de l'in ertitude au sein de pro-blèmes d'optimisation multiobje tif. Nous analysons diérentes options pour la gestion des sour es d'in ertitude, et la manière dont es options ae tent la on eption de métaheuris-tiques. Un bilan et une lassi ation des appro hes existantes sont proposés. Nous présen-tonsensuitediérentes ontributions méthodologiques, en termesderésolution algorithmique et d'analyse de performan es. Enn, nous étudions la résolution du problème de Flowshop multiobje tif ave durées d'exé utions sto hastiques, etsoulevonsde nouvelles perspe tivesà proposdesmétaheuristiquespour l'optimisation multiobje tif en environnement in ertain.

Nous on lurons lemanus rit en synthétisant les prin ipales ontributions présentées, eten dé-nombrant de nouvelles voies àexplorer suite à etravail de thèse.

Optimisation multiobje tif

Ce premier hapitre a pour but d'introduire les prérequis né essaires à la bonne ompréhension de ette thèse. Ainsi, dans un premier temps, nous présenterons le ontexte de l'optimisation multiobje tif, les prin ipales dénitions,et surtout les problématiques essentielles liées à e do-maine de re her he, tant au niveau des appro hes de résolution qu'à elui de l'évaluation des performan es. Dans unse ond temps,nous présenterons les deuxproblèmes d'optimisation om-binatoiremultiobje tifauxquels nousallonsparti ulièrementnousintéresserparla suite,àsavoir le problème deFlowshop, etle problème de Ring-Star.

Sommaire

Introdu tion . . . 6

1.1 Dénitions. . . 6

1.1.1 Formulationgénéraled'unproblèmed'optimisationmultiobje tif . . . . 6

1.1.2 Notionsdedominan ePareto etd'optimalité . . . 7

1.1.3 Autresnotionsdedominan e . . . 8

1.1.4 BornesdufrontPareto. . . 8

1.2 Appro hes de résolution . . . 9

1.2.1 Optimisationmultiobje tif etaideàladé ision . . . 11

1.2.2 Classi ationdesensemblesParetooptimaux . . . 12

1.2.3 Méthodologiesderésolution . . . 12

1.3 Analyse de performan es . . . 15

1.3.1 Indi ateursdequalité . . . 15

1.3.2 Validationstatistique . . . 20

1.4 Problèmesd'optimisation ombinatoiremultiobje tif, adres appli- atifs . . . 20

1.4.1 LeproblèmedeFlowshop . . . 21

1.4.2 LeproblèmedeRing-Star . . . 24

Introdu tion

L'optimisation multiobje tif est un domaine fondamental de l'aide à la dé ision multi ritère, auquel de nombreux milieux s ientiques et industriels se doivent de faire fa e. Au ours des deuxdernièresdé ennies, untrèsgrandnombrede travaux, àlafoisthéoriqueset appliqués,ont étépubliésdans edomaine.Larésolutiond'unproblèmed'optimisationmultiobje tif onsisteà déterminerlasolution orrespondantaumieuxauxpréféren esdudé ideurparmilessolutionsde bon ompromis.L'unedesquestionslesplusdi ilesestdon liéeàl'identi ationdel'ensemble Pareto optimal,oud'une approximationde elui- ipour desproblèmes omplexes.

Ainsi, de nombreux domaines appli atifs se doivent de répondre à l'optimisation multiobje tif. En parti ulier, beau oup de problèmes de logistique ren ontrés dans l'industrie sont de nature multiobje tif. La logistique et les transports sont au entre de nombreuses préo upations é o-nomiquesetpratiques,notammentdanslarégionNord-Pas-de-Calais.Iln'est don pasétonnant que e typede problème soit plusqu'abondamment étudié en re her he opérationnelle. Ausein de ettethèse,nousallonsnousintéresseràdeuxproblèmesd'optimisationmultiobje tifissusde lalogistiqueetdestransportsen général,etdel'ordonnan ementetduroutageen parti ulier.Il s'agit d'unproblème d'ordonnan ement de type Flowshop, présentésousune forme à deuxetà trois fon tionsobje tif, et du problèmede Ring-Star, généralisation d'un problème de tournées en un problèmebiobje tif.

Le hapitre est organisé de la façon suivante. Tout d'abord, un ensemble de dénitions pour l'optimisation multiobje tif est donné dans la se tion 1.1. Puis, dans la se tion 1.2, nous pré-sentons une lassi ation des diérentes appro hes de résolution. Ensuite, la se tion 1.3 traite de l'évaluation des performan es dans le adre de l'optimisation multiobje tif. Enn, dans la se tion1.4,nousprésentonsdeuxproblèmesd'optimisation ombinatoiremultiobje tifpratiques et omplexes quenoustraiteronspar lasuite.

1.1 Dénitions

Cettese tion ouvrelesprin ipaux on epts,dénitionsetnotationsliésàl'optimisation multiob-je tif, tels que larelation de dominan e Pareto, l'optimalité Pareto, l'ensemble Pareto optimal, etlefront Pareto.Denombreuses dénitionssont tirées dulivre deEhrgott (2005).

1.1.1 Formulation générale d'un problème d'optimisation multiobje tif

Dénition 1.1 (Problème d'optimisation multiobje tif) Unproblèmed'optimisation mul-tiobje tif (multiobje tive optimization problem,MOP) peut êtredéni ommesuit :

(M OP ) =



min

f (x) = (f

1

(x), f

2

(x), . . . , f

n

(x))

telque :

x

∈ X

(1.1)

où

n

est lenombre d'obje tifs (

n

≥ 2

),

X

est l'ensemble des solutions réalisables dansl'espa e dé isionnel,et

x = (x

1

, x

2

, . . . , x

k

)

∈ X

estunve teurreprésentantlesvariablesdedé ision.Dans le as ombinatoire,

X

estun ensembledis ret. À haquesolution

x

∈ X

est asso ié unve teur obje tif

z

∈ Z

sur la base d'un ve teur de fon tions

f : X

→ Z

tel que

z = (z

1

, z

2

, . . . , z

n

) =

x 2 f 2 x 1 f 1 z* z n

Espace décisionnel Espace objectif

Fig. 1.1  Espa e dé isionnel et espa e obje tif d'un problème d'optimisation multiobje tif (exemple ave deuxvariablesdedé isionset deuxfon tionsobje tif).

l'espa e obje tif (Fig. 1.1).Sansperte de généralité, noussupposerons par lasuite que

Z

⊆ R

n

etque toutesles fon tionsobje tif sont àminimiser.

1.1.2 Notions de dominan e Pareto et d'optimalité

Dans le domaine de l'optimisation multiobje tif, le dé ideur évalue généralement une solution par rapport à ha un des ritères, et se positionne don naturellement dans l'espa e obje tif. Néanmoins, ontrairement au as monoobje tif où il existe un ordre total parmi les solutions réalisables, il n'existe généralement pas de solution qui serait à la fois optimale pour haque obje tif, étant donnée lanature oni tuelle de es derniers. Ainsi, une relation de dominan e, d'ordre partiel, est généralement dénie.

Dénition 1.2 (Dominan e Pareto) Un ve teur obje tif

z

∈ Z

domine un ve teur obje tif

z

′

_{∈ Z}

ssi

∀i ∈ {1, 2, . . . , n}

,

z

i

≤ z

′

i

et

∃j ∈ {1, 2, . . . , n}

tel que

z

j

< z

′

j

. Cette relation sera notée

z

≻ z

′

.Par extension, une solution

x

∈ X

domine une solution

x

′

_{∈ X}

,noté

x

≻ x

′

,ssi

f (x)

≻ f(x

′

₎

.

Dénition 1.3 (Ve teur non-dominé) Unve teurobje tif

z

∈ Z

estnon-dominéssi

∀z

′

∈ Z

,

z

′

_{6≻ z}

(Fig. 1.2).

Dénition 1.4 (Solution Pareto optimale) Une solution

x

∈ X

est Pareto optimale (ou non-dominée) ssi

∀x

′

∈ X

,

x

′

6≻ x

.

Ainsi, toutesolution Pareto optimale peutêtre onsidérée ommeoptimale puisqu'au une amé-lioration n'estpossiblesurlavaleurd'unobje tifsansendégrader elled'unautre.Lanotionde Pareto optimalité, initialement utilisée en é onomie etdansles s ien es de management, prend sesra inesdanslestravauxdeEdgeworth(1881)etPareto(1896).CessolutionsParetooptimales forment l'ensemble Pareto optimal, noté

X

E

.L'imagede et ensemble dansl'espa e obje tif est lefront Pareto, etsera noté

Z

N

.

Dénition 1.5 (Ensemble Pareto optimal) Étant donné un MOP(f,X), l'ensemble Pareto optimal est déni ommesuit :

X

E

=

{x ∈ X| 6 ∃x

′

_{∈ X, x}

′

_{≻ x}}

f 2 f 1 vecteur dominé vecteur non-dominé

Fig. 1.2Ve teursdominésetnon-dominésdansl'espa eobje tif.

Dénition 1.6 (Front Pareto) Étant donné un MOP(f,X) et son ensemble Pareto optimal

X

E

, lefrontPareto est déni ommesuit :

Z

N

=

{f(x)|x ∈ X

E

}

.

1.1.3 Autres notions de dominan e

Il existe des relations de dominan e diérentes de la dominan e Pareto, omme la dominan e faible, la dominan e stri te et l'

ǫ

-dominan e (Helbig et Pateva, 1994; Laumanns et al., 2002). Ellessont dénies i-dessous.

Dénition 1.7 (Dominan e faible) Unve teur obje tif

z

∈ Z

dominefaiblement unve teur obje tif

z

′

∈ Z

ssi

∀i ∈ {1, 2, . . . , n}

,

z

i

≤ z

′

i

.Cetterelation sera notée

z

 z

′

.

Dénition 1.8 (Dominan e stri te) Un ve teur obje tif

z

∈ Z

domine stri tement un ve -teur obje tif

z

′

∈ Z

ssi

∀i ∈ {1, 2, . . . , n}

,

z

i

< z

′

i

.Cette relationsera notée

z > z

′

.

Dénition 1.9 (

ǫ

-dominan e) Unve teurobje tif

z

∈ Z ǫ

-domineunve teurobje tif

z

′

_{∈ Z}

, ave

ǫ > 1

,ssi

∀i ∈ {1, 2, . . . , n}

,

z

i

≤ ǫ · z

′

i

.Cetterelation seranotée

z



ǫ

z

′

.

Dénition 1.10 (

ǫ

-dominan e additive) Unve teur obje tif

z

∈ Z ǫ

-domine de façon addi-tive un ve teur obje tif

z

′

_{∈ Z}

,ave

ǫ > 0

, ssi

∀i ∈ {1, 2, . . . , n}

,

z

i

≤ ǫ + z

′

i

(Fig. 1.3). Cette relation seranotée

z



ǫ+

z

′

.

Par extension, on dira qu'une solution

x

∈ X

domine faiblement, domine stri tement ou

ǫ

-domine une solution

x

′

_{∈ X}

si la relation de dominan e est vériée pour les ve teurs obje tif orrespondants (respe tivement

f (x)

et

f (x

′

₎

).

1.1.4 Bornes du front Pareto

pou-f f 2 1 z région dominée région -dominée f f 2 1 z

Fig.1.3Illustrationdelanotiond'

ǫ

-dominan eadditive.

Dénition 1.11 (Point idéal) Le point idéal

z

∗

_{= (z}

∗

1

, z

2

∗

, . . . , z

∗

n

)

est leve teur quiminimise haque fon tionobje tif individuellement,

z

∗

i

= min

x∈X

f

i

(x)

pour

i

∈ {1, 2, . . . , n}

.

Bien sûr, e ve teur idéal est rarement réalisable en pratique ar les obje tifs sont souvent en onit les uns ave les autres.

Dénition 1.12 (Point utopique) Le point utopique

z

∗∗

_{= (z}

∗∗

1

, z

∗∗

2

, . . . , z

∗∗

n

)

est le ve teur obje tif irréalisabledont les omposantes sont forméespar

z

∗∗

i

= z

∗

i

− ǫ

i

pour

i

∈ {1, 2, . . . , n}

, où

z

∗

estlepointidéal et

ǫ

estunve teurdevaleurss alairesstri tement positivesrelativement petitesmaissigni atives.

Dénition 1.13 (Point nadir) Le point nadir

z

n

_{= (z}

n

1

, z

2

n

, . . . , z

n

n

)

est leve teur qui orres-pondaumaximumde haquefon tion obje tifparmi lessolutionsdel'ensembleParetooptimal,

z

_i

n

= max

_x∈X

E

f

i

(x)

pour

i

∈ {1, 2, . . . , n}

.

Ce point nadir estbien plusdi ile à al uler quelepoint idéal,notamment lorsquele nombre de fon tionsobje tif eststri tement supérieuràdeux.Le point idéal

z

∗

etlepointnadir

z

n

sont représentésgraphiquement surlagure 1.1.

1.2 Appro hes de résolution

Cette se tion présente les diérentes appro hes de résolution de l'optimisation multiobje tif. Tout d'abord, une lassi ation sur lafaçon de résoudrele problème traité du point de vue du dé ideurestprésentée.Ensuite,nousdélimitonslesdiérentesformesquepeutprendrel'ensemble Paretooptimal.Puisnousnissonsparunetaxinomiedesprin ipalesméthodologiesderésolution d'un point de vue algorithmique. Une lassi ation de toutes es questions essentielles pour la

méthodes exactes méthodes approchées heuristiques méthodes d'approximation métaheuristiques métaheuristiques à base de solution unique métaheuristiques à base de population heuristiques spécifiques aide à la décision

a priori a posteriori interactive

ensemble minimal

ensemble maximal ensemble Pareto optimal

méthodologie de résolution

connaissance a priori décideur préférences résultats apprentissage méthode de résolution

Fig. 1.5 Appro he derésolutionintera tive: oopérationprogressiveentre ledé ideuret laméthode derésolution.

1.2.1 Optimisation multiobje tif et aide à la dé ision

Résoudreunproblèmed'optimisationmultiobje tif onsisteàtrouverlasolutionParetooptimale qui orrespondlemieux auxpréféren esdudé ideur. L'unedesquestionsfondamentales lorsde larésolution d'untelproblème estdon étroitement liée à la oopération entre ledé ideur et la méthode de résolution. Plusieurs s énarios existent à proposdu rle que peut jouerle dé ideur dansun pro essusde prise dedé ision.

 Apriori.Dans e as,ledé ideurfournitdes onnaissan esoudespréféren essurleproblème à résoudre avant le pro essus d'optimisation, e i en vue d'aider la méthode de résolution danssare her he.Enpratique, e isetraduitfréquemment enlatransformation duproblème d'optimisationmultiobje tiforiginalenunproblèmemonoobje tif,etpeutdon êtrerésolupar uneméthode lassiquedontune seuleexé utionfourniralasolutionre her hée.Néanmoins,la modélisationdespréféren esdudé ideurn'estpasunetâ hefa ileetdoitêtrepriseen ompte durant l'étape de résolution. Par ailleurs, ilse peut quele dé ideur ne soit passatisfait de la solutiontrouvée etqu'il doive don relan erle pro essuspar le biaisd'une autreformulation deses préféren es.

 A posteriori. I i la méthode de résolution vise à trouver la totalité des solutions Pareto optimales,ouune bonne approximationde etensemble. Ce ipermetaudé ideur d'avoirune onnaissan e omplètedu front Pareto.Il peutalors hoisir, parmi et ensemble desolutions, ellequiluisemblelaplusappropriéeauvuedesespréféren es.Ainsi,iln'estplusné essairede modéliserlespréféren esdudé ideur,maisilfautdésormaisfournir unensembledesolutions, e qui peut s'avérer oûteux en pratique. Par ailleurs, le nombre de solutions obtenues peut rendrel'ensemblePareto optimale di ile àanalyser pour ledé ideur.

 Intera tive. Lorsd'une appro he intera tive, il existe une oopération dire te etprogressive entreledé ideuretlaméthodederésolution(Fig.1.5).Ainsi,àpartirde onnaissan esa quises lors de la résolution, le dé ideur peut dénir ses préféren es de façon ompréhensible. Ce pro essusestitéré plusieurs fois jusqu'àlasatisfa tiondu dé ideur.Toutefois, ette appro he né essitelaprésen edudé ideur toutaulong dupro essusde re her he.

Chaque appro he possède ses for es et ses faiblesses. Le hoix d'un type de méthode dépend des propriétés du problème à résoudre et des habilités du dé ideur. Au ours de e manus rit, nous nous pla erons dans le adre des méthodes non-intera tives, et prin ipalement des mé-thodes a posteriori. Dans e dernier type d'appro he, deux phases sont onsidérées : la phase d'optimisation et la phase d'aide à la dé ision. Seule la première phase sera traitée i i, et sera abusivement onsidérée omme la résolution du problème traité. Toutefois, notez que les mé-thodes non-intera tives peuvent également s'avérer utiles lors de la on eption d'une appro he intera tive. Par exemple, lorsque ela est possible, la visualisation du front Pareto ore une

1.2.2 Classi ation des ensembles Pareto optimaux

Nous onsidérons don quelebut de l'optimisation estdefournir l'ensemble Pareto optimal(ou unebonneapproximationde etensemble)audé ideur anque elui- ipro èdeàlaséle tionde la, ou dessolutions qui orrespondent à ses préféren es. Aussi, étant donné que deux solutions peuventposséderlesmêmesvaleurspour ha undesobje tifs, unequestion estdesavoirs'il est intéressant de onserverdeuxsolutions Pareto optimaleséquivalentes.

Dénition 1.14 (Solutions équivalentes) Deux solutions

x, x

′

_{∈ X}

sont équivalentes ssi

f (x) = f (x

′

)

.

Ainsi, la lassi ation suivante peut être introduite pour l'ensemble Pareto optimal (Hansen, 1979).

Dénition 1.15 (Ensemble omplet) Étant donné unMOP(f,X), sonensemblePareto opti-mal

X

E

et son front Pareto

Z

N

, un ensemble omplet est un ensemble

X

b

∈ X

E

tel que, pour haqueve teurnon-dominé

z

∈ Z

N

,ilexisteaumoinsunesolution

x

∈ b

X

pourlaquelle

f (x) = z

. Dénition 1.16 (Ensemble omplet minimal) Un ensemble omplet minimal est un en-semble omplet sanssolutions équivalentes.

Dénition 1.17 (Ensemble omplet maximal) Un ensemble omplet maximal est un en-semble omplet ontenant toutes lessolutions équivalentes.

À l'image de la nalité ren ontrée dans le adre de l'optimisation monoobje tif, où une seule solution optimale est généralement fournie, obtenir un ensemble omplet minimal est le but prin ipaldel'optimisationmultiobje tif,àl'ex eptiondequelquesappli ationsparti ulières.Par ailleurs, notez que dans le as où le but est uniquement de fournir une image de l'ensemble Pareto optimal dans l'espa e obje tif au dé ideur, il s'avère inutile de onserver les solutions équivalentes.

1.2.3 Méthodologies de résolution

En fon tion de la omplexité du problème d'optimisation à résoudre, plusieurs types de mé-thode peuvent être envisagés.Dans unpremiertemps, elles- i sont brièvement présentées.Une attention parti ulière est portée aux métaheuristiques, auxquelles on va essentiellement s'inté-resser tout au long de e manus rit. Enn, quelques remarques d'ordre général sont données à propos du but prin ipal desméthodes de résolution appro hées dans le adre de l'optimisation multiobje tif.

1.2.3.1 Classi ation

De façon générale, deux types de méthode de résolution de problèmes d'optimisation peuvent êtredistingués:lesméthodes exa tes etlesméthodes appro hées (Fig.1.4).Lesméthodesexa tes obtiennent dessolutions dont l'optimalitéestgarantie,maissont généralement très oûteusesen temps d'exé ution pour des problèmesdi iles. Au ontraire, les méthodesappro héesvisentà générer dessolutions dehautequalitéen untempsde al ulraisonnable,maisiln'existeau une

sélectionner une solution mémoire

générer des solutions candidates

Fig. 1.6  Illustration des prin ipes géné-rauxd'unemétaheuristiqueàbasedesolution unique(S-META).

générer une population

remplacer la population

mémoire

Fig. 1.7Illustrationdesprin ipesgénérauxd'une mé-taheuristiqueàbasedepopulation(P-META).

deux sous- atégories : les algorithmes d'approximation et les heuristiques. Contrairement aux heuristiques, les algorithmes d'approximation garantissent la qualité de lasolution trouvée par rapportà l'optimal.Enn, il existe en oredeux sous- lassesdeméthodesheuristiques:les heu-ristiques spé iquesàunproblèmedonné,etlesmétaheuristiques,qui seront onsidéréesdansle adre de ette thèse.

1.2.3.2 Métaheuristiques

Les métaheuristiques sont des algorithmes pouvant être appliqués à la résolution de presque touttypedeproblèmed'optimisation. Ellespeuventêtrevues ommedesméthodologiesdehaut niveau servant à guider la on eption d'heuristiques impli itement dédiées à la résolution d'un problème spé ique. Elles sont don omposées d'éléments génériques ou invariants, ainsi que d'éléments spé iques au problème onsidéré, tels que la représentation ou l'évaluation d'une solution.

Àl'inverse desméthodesexa tes,lesmétaheuristiquespermettentde s'attaqueràdesproblèmes omplexesdegrandetaille endélivrant dessolutionssatisfaisantesenuntemps de al ul raison-nable. Néanmoins,iln'existepasde garantiequant à leuroptimalité. Durant lesvingtdernières années, lesmétaheuristiquesontreçuunintérêtgrandissantetont montréleure a itédansde vastesdomainesd'appli ationen résolvant denombreuxproblèmes d'optimisation(Talbi,2009). Deux typesde métaheuristique peuvent être distingués:les métaheuristiquesà base de solution unique (S-META) et les métaheuristiques à base de population (P-META). Les S-META (tels que les algorithmes de re her he lo ale, de re her he tabou, de re uit simulé, et .) manipulent ettransforment uneseule solutiondurant lepro essusde re her he, alorsquedansles P-META (algorithmes évolutionnaires,algorithmesàessaimdeparti ules,et .),unensembledesolutions, appelépopulation,évolueen parallèle.Lesprin ipesgénérauxd'uneS-META etd'uneP-META sont respe tivement illustréssurles gures 1.6et1.7(Talbi,2009).

En termes de on eption, deux ritères ontradi toires sont à prendre en ompte lors du dé-veloppement d'une métaheuristique :l'exploration de l'espa e de re her he (diversi ation), et l'exploitation desmeilleures solutions trouvées (intensi ation). LesS-META sont plutt axées sur l'exploitation de l'espa e de re her he. Les régions prometteuses sont explorées lo alement dans l'espoir de trouverde meilleurs solutions. Les P-META sont généralement plutt

explora-diversification intensification recherche aléatoire recherche locale

métaheuristiques à base de population

métaheuristiques à base de solution unique

Fig. 1.8 Deux ritères ontradi toires lorsde la on eption d'une métaheuristique : exploration (di-versi ation)et exploitation(intensi ation).Engénérallesmétaheuristiquesàbasedesolutionunique sontpluttorientéesversl'exploitation,alorsquelesmétaheuristiquesàbasedepopulationsontplutt exploratoires(Talbi,2009).

1.2.3.3 Méthodes pour l'optimisation multiobje tif

Dansle adredel'optimisationmultiobje tif,lesproblèmesren ontréssontsouventNP-di iles, e qui rend l'utilisation de méthodes exa tes imprati able pour des instan es de grande taille. En eet,siunproblèmemonoobje tif donné est onnu ommeNP-di ile,alorssa ontrepartie multiobje tifleseraaussi.Parailleurs,pourdenombreuxproblèmesmonoobje tifsolublesenun temps polynomial, le problème multiobje tif orrespondant est toutefois NP-di ile (Ehrgott, 2005). Ce i a pour eet de restreindre l'appli ation de méthodes exa tes et d'en ourager l'uti-lisation d'heuristiques etde métaheuristiques. De plus, les méthodes exa tes sont généralement limitées à desproblèmes de petite taille etàdeux fon tionsobje tif.On peut par exemple iter laméthode deux-phases,proposéepar Ulungu etTeghem(1995), etplus tardamélioréepar Le-mesre et al. (2007a), ainsique la méthode PPM (Lemesre et al., 2007b), et

k

-PPM (Dhaenens et al.,2010) pour desproblèmes à plusde deuxobje tifs.

An de trouver une approximation de l'ensemble Pareto optimal, les P-META, et en parti u-lier les algorithmes évolutionnaires, sont très ouramment utilisées ar elles sont naturellement onçues pour trouverunensemblede solutions enuneseule exé ution(Deb, 2001;Coello Coello et al., 2007). L'optimisation évolutionnaire multiobje tif (evolutionary multiobje tive optimiza-tion,EMO)estun hampdere her he etdedéveloppement trèsa tif,donnantlieuàunnombre grandissantdepubli ations

1

etàune onféren ebi-annuellespé iquedepuis2001(Zitzleretal., 2001a;Fonse aetal.,2003;CoelloCoelloetal.,2005;Obayashietal.,2007;Ehrgottetal.,2009). L'appli ation demétaheuristiquespourlarésolution d'unproblèmed'optimisation multiobje tif impliquede trouverune approximationdel'ensemblePareto optimal.Pour unemétaheuristique

A

dédiée à la résolution d'un problème donné, l'approximation ourante forme un ensemble potentiellement Paretooptimal,etest onstituée desolutions potentiellement Paretooptimales. Dénition 1.18 (Solution potentiellement Pareto optimale) Soit

X

A

l'ensemble des so-lutions de

X

visitées par un algorithme

A

:

X

A

⊂ X

.Une solution

x

∈ X

A

est potentiellement Pareto optimale ssi

∀x

′

_{∈ X}

_A

,

x

′

_{6≻ x}

.

De façon abusive, on parlera également de solution non-dominée pour désigner une solution potentiellement Pareto optimale.L'ensemble potentiellement Pareto optimal, etdon l'approxi-mation ourante de l'algorithme, estl'unionde essolutions non-dominées.

Cette approximation doit ontenir un ensemble de solutions dont l'image dansl'espa e obje tif est à la fois pro he du front Pareto et uniformément diversiée le long de la frontière. Ce i a 1. Voir la liste de référen es maintenue sur le sujet par C. A. Coello Coello à l'URL : http://delta. s.

pour butd'obtenirun é hantillon représentatif etde nepasse on entrer surunesous-partiede l'espa e obje tif.Ainsi, lorsquel'on parlede diversité enoptimisation multiobje tif, onseréfère généralement à l'espa e obje tif.Les deuxbutsde l'optimisation multiobje tif sont illustrés sur la gure1.9. Maintenant, examinonsles troisexemplesdonnés surles gures 1.10,1.11 et1.12. Le premier exemple (Fig. 1.10) montre une approximation ayant les deux propriétés désirées de bonne onvergen e etde bonne diversité. L'approximation du deuxième exemple (Fig. 1.11) présenteunetrèsbonnerépartitiondesolutions,maislespointssontloindufrontPareto.Enn, ledernierexemple (Fig.1.12) ontientun ensembledepointstrèspro hesdufrontPareto, mais ertaines régions nesont pas ouvertes, equi provoqueun perte d'information importanteaux yeux dudé ideur.

La on eption, l'implémentation et l'analyse de métaheuristiques pour l'optimisation multiob-je tif estle sujetdu hapitre 2.

1.3 Analyse de performan es

Lors de l'évaluation et de la omparaison expérimentale des performan es de métaheuristiques de façon rigoureuse, les points suivants doivent être abordés (Talbi, 2009). Tout d'abord, il est né essairededénirlebutdesexpérimentations.Ensuite,desmesures,métriquesouindi ateurs de performan edoivent être séle tionnéspour obtenir lesrésultats, etunevalidation statistique de es derniers doit être fournie. Enn, es résultats doivent être présentés de façon laire et être suivis d'une analyse tenant ompte des obje tifs xés au départ des expérimentations. Le premieretledernierpointsseronttraitésaugrédesdiérentesappli ationsmenéesauseinde e travail.Cettese tionse on entredon surlesmesuresdeperforman eainsiquesurlavalidation statistique dansle adrede l'optimisation multiobje tif.

1.3.1 Indi ateurs de qualité

En optimisation multiobje tif, l'existen e d'un ensemble de solutions et l'absen e d'ordre total entre es solutions rendent la mesure de qualité d'une approximation de l'ensemble Pareto op-timal di ile. En outre, omme pré édemment remarqué, à e i vient s'ajouter la né essitéde mesurer laqualité d'une approximationà lafois enterme de onvergen e etde diversité. Ainsi, de nombreuses métriques ont été proposées pour mesurer laqualité d'unensemble non-dominé, ou pour omparer deuxapproximations (Zitzler etal., 2003,2008).

Lorsdenosexpérimentations,nousallonsprin ipalementutiliserdeuxindi ateursdequalitéan demesurerlaperforman edesalgorithmestestés:unindi ateurbasésurlanotiond'hypervolume etunindi ateurbasésurlanotiond'

ǫ

-dominan e.Deplus,une mesurede ontribution sera éga-lement onsidéréepourundesalgorithmesproposéesdanslase tion3.2.Aprèsune lassi ation généraledesindi ateursdequalité,lestroisindi ateursquenousallons onsidérer sontprésentés i-dessous.

1.3.1.1 Classi ation

Les indi ateursdequalité peuvent être lassés selon diérentes propriétés.

 Arité.Tout d'abord,ilexistedesindi ateursunairesetdesindi ateursbinaires.Unindi ateur unaire de qualité est une fon tion

I : Ω

→ R

qui ae teune valeur réelle à haque

approxi-f

f

2

1

Convergence

Diversité

Domaine

réalisable

Fig.1.9Lesdeuxbutsdel'optimisation multiob-je tif : onvergen eet diversité.

f

f

2

1

Fig.1.10Exempled'approximationdufront Pa-retodebonnequalitéentermede onvergen eetde diversité.

f

f

2

1

Fig. 1.11Exempled'approximationdufront Pa-retodebonnequalitéentermedediversité,maisde mauvaisequalitéentermede onvergen e.

f

f

2

1

Fig.1.12Exempled'approximationdufront Pa-retodebonnequalitéentermede onvergen e,mais demauvaisequalitéentermedediversité.

indi ateur arité butdelamesure paramètres référen e

ontribution binaire onvergen e  Meunieretal.(2000) overage binaire onvergen e  ZitzleretThiele(1999) entropie unaire diversité nombredeni hes Basseuretal.(2002) epsilon binaire onvergen e,diversité  Zitzleretal.(2003)

proportiond'erreur unaire onvergen e,diversité frontParetoexa t VeldhuizenetLamont(2000) distan egénérationelle unaire onvergen e frontParetoexa t VeldhuizenetLamont(2000) hypervolume unaire onvergen e,diversité pointderéféren e ZitzleretThiele(1999) hypervolume-diéren e binaire onvergen e,diversité pointderéféren e ZitzleretThiele(1999) spa ing unaire diversité  S hott(1995)

spread unaire diversité  ZitzleretThiele(1999) R1,R2,R3 binaire onvergen e,diversité ens.deréféren e, HansenetJaszkiewi z(1998)

pointidéal

Table 1.1  Cara téristiques d'un ertain nombre d'indi ateurs de qualité pour la mesure de performan een optimisation multiobje tif.

mation, où

Ω

représente l'ensemble de toutes les approximations possibles sur

X

. Ainsi, un indi ateur dequalité

I

introduit un ordretotal sur

Ω

.Cet ordre estsensé représenterla qua-litédesapproximations.Supposonsquel'onveuille omparerdeuxapproximationsarbitraires

A, B

∈ Ω

, provenant par exemple de l'exé ution de deux méthodes de résolution diérentes surunmêmeproblème. Ladiéren eentreleurs

I

-valeurs

I(A)

et

I(B)

mesureladiéren ede qualitéentre esdeuxensembles.Ce in'estpasuniquementvalabledansle asoùlessolutions de

A

sont toutes dominées par au moins un élément de

B

,mais également lorsque es deux ensembles semblent apriori in omparables.Parextension,unindi ateurbinairedequalité est unefon tion

I : Ω

× Ω → R

mesurant laqualité d'uneapproximation parrapportàuneautre. Notez qu'un grand nombre d'indi ateurs binaires peut être généralisé en indi ateurs unaires de la façon suivante :

I(A) = I(A, R)

, où

R

∈ Ω

est un ensemble de référen e. C'est le as par exemple de l'indi ateur hypervolume-diéren e, et de la famille des indi ateurs epsilon, ommenousleverrons par lasuite.

 But de la mesure. Les indi ateurs de qualité peuvent également être distingués selon le but de leur mesure: la onvergen e vers le front Pareto, ou la diversité dessolutions le long du front Pareto. Les indi ateurs mesurant la onvergen e évaluent la qualité de la, ou des approximationsentermesdeproximitéparrapportaufrontPareto.Lesindi ateursdediversité mesurent l'uniformité de la distribution des solutions, dans l'espa e obje tif, en termes de dispersion et d'extension. Enn, les indi ateurs hybrides portent à la fois sur la onvergen e etladiversité.

 Paramètres. Denombreux indi ateursde qualité né essitent également ladénition de er-tains paramètres. Parmi es indi ateurs, on peut distinguer eux qui requièrent ertaines onnaissan es exa tes (front Pareto exa t, point idéal, et .) et eux qui requièrent des in-formations de référen e fournies par l'utilisateur (ensemble de référen e, point de référen e, et .).Certainsparamètres exa ts, tels quelefront Pareto, ne sont pastoujoursdisponibleset sont parfois impossibles à al uler. Néanmoins, lorsqu'unetelle information est disponible, il s'avère intéressant de l'utiliserà bon es ient,à l'aided'indi ateurs de qualité adaptés.

f f z Approximation 2 1 ref

Fig. 1.13Indi ateurhypervolume(

I

H

).

f f z Ensemble de référence Approximation 2 1 ref

Fig.1.14Indi ateurhypervolume-diéren e(

I

−

H

).

1.3.1.2 Indi ateur hypervolume

L'indi ateurhypervolume(

I

H

),proposéparZitzleretThiele(1999),mesurelevolumedela por-tion multidimensionnelle de l'espa e obje tif faiblement dominée par une approximation

A

∈ Ω

(Fig.1.13).Cetindi ateurunairené essitelaspé i ationd'unpointderéféren e

z

ref

.Cedernier doit aumoins êtrefaiblement dominé partoutes les solutions de l'approximation onsidérée. Une variante de et indi ateur mesure la diéren e, en terme d'hypervolume, entre une ap-proximation

A

∈ Ω

et un ensemble de référen e

R

(Fig. 1.14). Ce i peut être vu omme le volume faiblement dominé par

R

etnonpar

A

.C'estsous ettedeuxième formequenousallons utiliserl'indi ateur hypervolumelors denosexpérimentations. Notezque ontrairement à l'indi- ateuroriginal,lespluspetitesvaleurs orrespondent i iàunequalitésupérieure.Cetindi ateur hypervolume-diéren e seranoté(

I

−

H

).

I

_H

−

(A) = I

H

(R)

− I

H

(A).

(1.2)

Soussesdeuxformes(

I

H

et

I

−

H

),l'indi ateurhypervolume estundesraresindi ateursmesurant à la fois la qualité d'une approximation en terme de onvergen e et de diversité. Néanmoins, le temps de al ulest élevé : lemeilleur algorithme onnu est de omplexité exponentiellement proportionnelle au nombre de fon tions obje tif. Par ailleurs, il est à noter que et indi ateur est sensible à l'é helle des fon tionsobje tif etau hoix du point de référen e. Par onséquent, les magnitudes de toutes les fon tions obje tifse doivent d'être normalisées, e i an de ne pas privilégier unefon tion obje tif au détriment d'uneautre.

1.3.1.3 Indi ateur epsilon

La famille des indi ateurs epsilon a été introduite par Zitzler et al. (2003), et se base sur la notion d'e a ité epsilon introduite par Helbig et Pateva (1994). Elle omprend une version multipli ative et une version additive, toutes deux sous une forme unaire et sous une forme binaire. La version additive est elle que nousallons utiliser. Tout d'abord, l'indi ateur epsilon additif binaire (

I

ǫ+

) donne lefa teur additif minimalpar lequel une approximation

A

∈ Ω

doit être translatée dansl'espa e obje tif pour dominerfaiblement uneapproximation

B

∈ Ω

.

I

ǫ+

(A, B) = min

ǫ∈R

{∀x ∈ B, ∃x

′

_{∈ A : x}

′

_

Par extension,l'indi ateur epsilon additif unaire (

I

1

ǫ+

) peutêtre déni omme suit.

I

_ǫ+

1

(A) = I

ǫ+

(A, R),

(1.4)

où

R

est un ensemble de référen e. Cet indi ateur est à minimiser. Par ailleurs, une

I

1

ǫ+

-valeur inférieure ou égale à

0

implique que l'approximation onsidérée domine faiblement l'ensemble de référen e

R

. L'indi ateur epsilon semble à première vue dédié à la mesure de la qualité d'uneapproximationenterme de onvergen e.Cependant,entredeuxapproximationsdequalité similaire enterme de onvergen e,l'ensemble leplusdiversiéest privilégié.Enn, tout omme l'indi ateur hypervolume,

I

1

ǫ+

est sensible àl'é helle desfon tions obje tif.

1.3.1.4 Indi ateur ontribution

La mesure de ontribution (Meunier et al., 2000) est un indi ateur binaire permettant la om-paraison dedeux ensembles

A, B

∈ Ω

.Soit

S

⋆

l'ensembledessolutions non-dominées de

A

∪ B

. La ontribution de

A

sur

B

,donnéepar

I

C

(A, B)

,évaluelaproportiondesolutions représentées par

A

dans

S

⋆

. Soit

W

A

l'ensemble dessolutions de

A

qui dominent au moins une solution de

B

. Soit

N

A

l'ensemble des solutions non omparables de

A

( 'est-à-dire les solutions qui sont nidominantes, nidominées par rapportà

B

).Alors lamesurede ontribution peutêtre dénie ommesuit.

I

c

(A, B) =

|A∩B|

2

+

|W

A

| + |N

A

|

|S

⋆

_|

(1.5)

Ainsi,si

f (A) = f (B)

,alors

I

C

(A, B) = I

C

(B, A) = 0.5

.Si haquesolutionde

A

estdominéepar aumoinsunesolutionde

B

,alors

I

C

(A, B) = 0

.Et,defaçon générale,

I

C

(A, B) + I

C

(B, A) = 1

. Cet indi ateur permet d'obtenir une idée de la qualité d'une approximation par rapport à une autre entermes de onvergen e enun temps de al ul raisonnable.

1.3.1.5 Ensemble et point de référen e

L'indi ateur de ontribution a l'avantage de ne pas né essiter de paramètres. Au ontraire, les indi ateurs epsilonethypervolume requièrent tout deuxun ensemblede référen e

R

, e dernier né essitant également la spé i ationd'unpoint de référen e

z

ref

.

Idéalement,ilsembleévidentdedénirl'ensemblederéféren e

R

ommeétant l'ensemblePareto optimal

X

E

.Cependant,nousne sommespasenmesuredefournir etensemblepourlatotalité des instan es des deux problèmes abordés dans e manus rit. En onséquent, l'ensemble de référen e asso ié à une instan e de problème donnée sera al ulé de lafaçon suivante. Soit

A

⋆

l'union de toutes les approximations obtenues lors de nos expérimentations pour une instan e donnée.

A

⋆

ontient probablement à la fois des solutions non-dominées et dominées, ar une approximation peut ontenir des éléments dominant eux d'une autre approximation, et vi e versa. L'ensemble de référen e

R

est alors omposé de l'ensemble des solutions non-dominées extraites de

A

⋆

.Il orrespond end'autres mots aumeilleur ensemble trouvé. Soient

z

min

_{= (z}

min

1

, . . . , z

n

min

)

et

z

max

_{= (z}

max

1

, . . . , z

n

max

)

,tels que

z

min

i

(respe tivement

z

max

i

) dénotelaborneinférieure(respe tivementsupérieure)desvaleursdelafon tionobje tif

f

i

parmi touslespoints ontenusdans

f (A

⋆

₎

.Leve teur

z

min

peutdon êtrevu ommeuneapproximation dupointidéal

z

⋆

z

min

et

z

max

.Par ailleurs, le point de référen e

z

ref

, né essaireau al ulde l'hypervolume, est xé à

z

max

.

1.3.2 Validation statistique

Jusqu'i i, nous avons supposé que ha un des algorithmes onsidérés ne générait qu'une seule approximationpouruneinstan edonnée.Néanmoins,lesméthodesd'optimisation onsidéréesi i sont desalgorithmes sto hastiques. À haqueexé ution d'untel algorithme, une approximation diérentepeutêtreretournée. Ainsi, and'analyser empiriquement laperforman e denos algo-rithmes sto hastiques,ilfaut ommen erpar exé uterplusieurs foislemêmealgorithmesurune même instan ede problème. On obtient don un é hantillon d'approximations.Comparer deux méthodesrevient don à omparer lesdeuxé hantillons orrespondant, e qui onduità utiliser un test d'hypothèse statistique. La démar he que nous allons suivre i i onsiste à transformer les é hantillons d'approximations obtenus en é hantillon de

I

-valeurs s alaires. Des pro édures de testsstatistiques lassiquessont ensuiteappliquéessur es é hantillons de

I

-valeurs.

Considérons deuxalgorithmes

A

et

B

ayant étéexé utés

r

fois ha un pourrésoudreune même instan e de problème. On obtient don deux é hantillons d'approximations orrespondants :

(A

1

, A

2

, . . . , A

r

)

et

(B

1

, B

2

, . . . , B

r

)

.Ensuite,relativement àunindi ateur unaire 2

de qualité

I

, on transforme es deux é hantillons en deux autres é hantillons dont les éléments sont doréna-vant des valeurs s alaires :

(I(A

1

), I(A

2

), . . . , I(A

r

))

et

(I(B

1

), I(B

2

), . . . , I(B

r

))

.Ces résultats peuvent être résumés à l'aidede statistiques des riptivestelles que lamoyenne de es

I

-valeurs par algorithme. On peut également appliquer une pro édure de test statistique standard an d'être en mesure de dé larer que l'algorithme

A

surpasse l'algorithme

B

, l'algorithme

B

surpasse l'algorithme

A

,ou il n'existe pas de diéren e signi ative entre les algorithmes

A

et

B

, e i selon l'indi ateur de qualité

I

spé ié (et pour une instan e donnée). En eet, la situation peut être diérente pour un autre indi ateur; 'est la raison pour laquelle plusieurs indi ateurs sontgénéralement onsidérés.

Les tests non-paramétriques sont ouramment utilisés pour omparer e type d'é hantillon de petite taille, ar ils ne font au une hypothèse sur la distributions des variables (Zitzler et al., 2008). Deux aspeuvent alors seprésenterlors dela omparaison dedeuxalgorithmes

A

et

B

: soit haqueexé utionrésulteenuné hantillonaléatoire omplètementindépendant(é hantillons indépendants), soit l'inuen e d'une ou plusieurs variables aléatoires est partiellement é artée (é hantillons appariés). Dans notre as, lapopulation initialeainsi que lagraine du générateur de nombres pseudo-aléatoires sont identiques pour les exé utions orrespondantes des deux al-gorithmes, les é hantillons sont don appariés. De e fait, untest des rangs signésde Wil oxon sera utilisé ave un niveau de signi ation

α = 0.05

. Le nombre d'exé utions d'un algorithme par instan e estxéà

r = 20

.

1.4 Problèmes d'optimisation ombinatoire multiobje tif, deux adres appli atifs

Tout omme les problèmes d'optimisation monoobje tif, les problèmes d'optimisation multiob-je tif peuvent être lassés en deux atégories : eux dont les solutions sont représentées à l'aide 2. Siunindi ateurbinaireest onsidéré,ilsutdeletransformerenindi ateurunaireàl'aided'unensemble