Appli ation au problème de Ring-Star - Analyse expérimentale

2.3 Analyse expérimentale

2.3.2 Appli ation au problème de Ring-Star

Cette se tion se on entre sur la re her he d'une approximation de l'ensemble Pareto optimal pour le problème de Ring-Star introduit à la se tion 1.4.2. Pour ela, nous allons évaluer ex- périmentalement les performan es d'unensemble de métaheuristiques, à lafois desalgorithmes évolutionnaires et des algorithmes de re her he lo ale. Quatre méthodes sont i i développées pour leproblème traité.Ainsi, unere her he lo aleàbasede population, deuxalgorithmes évo- lutionnaires lassiques et un troisième expérimenté i i pour la première fois sont omparés les uns auxautres pour larésolution d'instan esimpliquant jusqu'à

300

n÷uds.

Tout d'abord, une modélisation du problème destinée à une résolution par métaheuristique est proposée. Celle- i peut également être vue omme une illustration d'appli ation des diérents modèlesde on eptionproposés.Ensuite,sontdévoiléeslesméthodologies hoisiespourunetelle résolution. Elles sont suiviesde la présentation etd'unedis ussion desrésultats expérimentaux produits par la omparaison de esméthodes.

2.3.2.1 Modélisation

Cettese tionprésenteles omposantsspé iquement onçusetimplémentéspour leproblèmede Ring-Star. Ces éléments sont né essaires pour instan ier les diérentes métaheuristiques appli- quéesàlarésolution duproblème.Par onséquent,lareprésentation, l'évaluation,l'initialisation ainsique lesopérateursde voisinage, de mutation etde roisement sont détaillés i-dessous.

2.3.2.1.1 Représentation. L'en odagequenousallonsutiliserpourreprésenterunesolution au problème de Ring-Star est basé sur le mé anisme de lés aléatoires (random keys) proposé par Bean(1994). Une telle représentation a déjà été appliquée ave su ès lors de la résolution d'une version monoobje tif du problème traité (Renaud et al., 2004). Elle onsiste à attribuer, à haque n÷ud appartenant à l'anneau

vi

∈ V

′

, une lé aléatoire

ki

∈ [0, 1[

, ave

k1

= 0

. Une valeurparti ulière estae téeauxn÷udsnonvisités.Ainsi,le heminde l'anneauasso iéàune solution orrespond à l'ordredes lés aléatoiresdes n÷udslus dansl'ordre roissant;si

ki

< kj

alors

vj

sesitue après

vi

.Une représentation possible pour le y le(

v1

v7

v4

v9

v2

v6

)estdonnée sur la gure2.20. Les n÷uds non visités

v3

v5

v8

v10

sont ae tés à un n÷udvisité de sorte que le oûtd'ae tationasso iéest minimum.

2.3.2.1.2 Évaluation. L'étaped'évaluation onsisteà al ulerlesvaleursd'unesolutiondon- née pour ha une desfon tions obje tif, 'est-à-dire, pour le problème de Ring-Star, le oûtde

2.3.2.1.3 Initialisation. Les solutions initiales sont générées de façon aléatoire. Chaque n÷ud a une probabilité

p = 0.5

d'être visité ou non, et à haque n÷ud visité

vi

∈ V

′

est asso iée une lé aléatoire

ki

uniformément généréedans l'intervalle

[0, 1[

2.3.2.1.4 Voisinage. LeproblèmedeRing-Starétantàlafoisunproblèmedetournéeetun problème d'ae tation, diérents opérateurs de voisinage doivent être onçus. Pour e type de problème, les opérateurs habituels onsistent à supprimerou àajouter unn÷udà l'anneau.I i, nous onsidérons également unopérateur spé ialement onsa réàl'amélioration du y lepar le biaisd'uné hange de type 2-opt. Lestroisopérateurssont don les suivants.

Suppression.Cet opérateur onsiste à séle tionner unn÷udvisité

vi

∈ V

′

età lesupprimer del'anneau. Cen÷uddevient don non-visité.

Insertion.Cet opérateur séle tionne un n÷udnon visité

vi

∈ V \ V

′

etl'ajoute au y le. La position d'insertion de

vi

est hoisie de sorte que la valeur in rémentale du oût de l'anneau soitminimum.

É hange2-opt.Deuxn÷udsvisités

vi

vj

∈ V

′

sontséle tionnés,etunmouvement detype 2-opt est appliqué entre

vi

vj

: la séquen e de n÷uds de l'anneau situés entre

vi

vj

est inversée.

Notez que les voisins d'une solution donnée sont explorés de façon unique et aléatoire, sans onsidérer au un ordre entre lestroisopérateurs.

2.3.2.1.5 Évaluation in rémentale. Après l'appli ation d'unmouvement,il n'est pasné- essaire de réévaluer une solution omplètement. Ainsi,après avoirun mouvement de type suppression, outre la diéren e engendrée sur le oût de l'anneau, il sut de réassigner les n÷uds pré édemmentattribuésà eluiquiaétésupprimé.Demême,aprèsavoirunmouvement detype insertion,ilfautréae ter lesn÷udsnon-visitésdesorte quele oûtd'ae tation soitminimum. Enn, après un mouvement de type é hange 2-opt, il sut de al uler la diéren e engendrée sur le oûtde l'anneau,le oût d'ae tationrestant in hangé.

2.3.2.1.6 Variation. Ci-dessous sont dé rits les opérateurs de variation développés pour l'appli ation d'algorithmes évolutionnaires au problèmede Ring-Star.

Croisement. L'opérateur de roisement estun roisement 1-pointétroitement liéà elui pro- posé par Renaud et al. (2004). Deux solutions

x1

x2

sont divisées à une position aléatoire. La partie gau he de

x1

est alors asso iée à la partie droite de

x2

pour onstruire un premier individu Enfant,etla partie gau he de

x2

est ombinéeà lapartie droite de

x1

pour onstruire un deuxième individu Enfant. Chaque n÷ud onserve sa lé aléatoire de sorte qu'une simple re onstru tion des nouveaux individus est permise. Grâ e au mé anisme d'en odage basé sur les lés aléatoires, des solutions dont les anneaux sont de tailles diérentes peuvent très fa i- lement être re ombinées, même si les stru tures initiales des anneaux sont en général légère- ment brisées hez les solutions Enfant. La gure 2.21 illustre un roisement entre deux solutions (

v1

v7

v4

v9

v2

v6

) et (

v1

v8

v4

v3

v5

) au niveau du n÷ud

v6

, donnant naissan e à deux nouvellessolutions (

v1

v8

v4

v2

v6

)et(

v1

v7

v9

v4

v3

v5

parent1 n÷ud

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v10

lé 0 0.7 - 0.3 - 0.8 0.2 - 0.5 - parent2 n÷ud

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v10

lé 0 - 0.8 0.7 0.9 - - 0.2 - - enfant1 n÷ud

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v10

lé 0 0.7 - 0.3 - 0.8 - 0.2 - - enfant2 n÷ud

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v10

lé 0 - 0.8 0.7 0.9 - 0.2 - 0.5 - Fig. 2.21Opérateurde roisementpourleproblèmedeRing-Star.

qui ausaitune onvergen eprématuréedesalgorithmesversdessolutionsayantunpetitnombre de n÷uds visités.

Mutation. Trois opérateurs de mutation sont onsidérés. Ils sont identiques aux opérateurs de voisinage pré édemment présentés, à ladiéren e près qu'ilssont i i appliqués à desn÷uds hoisis aléatoirement.

2.3.2.2 Appro hes étudiées

L'analyse expérimentale menée par la suite va onsister à omparer diérentes méthodes, à la fois lassiques et novatri es, pour la résolution du problème de Ring-Star. Tout d'abord, IBMOLS (Basseur et Burke, 2007), re her he lo ale dont la stratégie d'ae tation des valeurs de tness est fondée sur un indi ateur binaire de qualité, est le premier algorithme onsidéré. Ensuite,deuxalgorithmesévolutionnaires ourammentutilisésenoptimisationmultiobje tifsont appliquésauproblèmetraité.Ils'agitdesalgorithmesNSGA-II(Debetal.,2002)etIBEA(Zitzler etKünzli,2004)introduitsdanslase tion2.1.4.1.Lepremierest onsidéré ommeuneréféren e dansledomainedel'optimisationmultiobje tifévolutionnaire,etlese ondestunalgorithmeplus moderneetestenquelque sorte l'inspirateurde lare her he lo ale IBMOLSégalement étudiée. Parrapportauxalgorithmesoriginaux,nousajoutonsi iunear hivequiestmiseàjourà haque itération de l'algorithme; e i an de onserver latotalité des solutions non-dominées trouvées depuisledébutdelare her he.Enn,ladernièremétaheuristique onsisteenl'algorithmeSEEA proposé dans la se tion 2.1.4.1 et appliqué i i pour la première fois. La te hnique d'ar hivage miseen pla e ausein de ha une desméthodes estnon bornée.

2.3.2.3 Design expérimental

Tous les algorithmes ont été implémentés sous ParadisEO version

1.1

, et les expérimentations ont été menéessur unema hine dotéed'un pro esseur IntelCore

2

Duo

6600

(

2× 2.40

GHz,

2

Go RAM)ave G++

4.1.2

fon tionnant sous Linux. Les algorithmes appliqués au problème de Ring-Star sontdon omparés de façon équitable.

Table 2.7 Conditiond'arrêt :temps de al ulparexé ution. Instan e Temps d'exé ution eil51 20 st70 1' kroA100 2' bier127 5' Instan e Temps d'exé ution kroA150 10' kroA200 20' pr264 30' pr299 50'

2.3.2.3.1 Conditionsd'arrêtetdereprise. Pourdesraisonsidentiquesà ellesquiontété exposéeslorsdel'analyseexpérimentalemenéesurleproblèmedeFlowshop,la onditiond'arrêt que nousavons onsidérée sebasesur untemps maximumd'exé ution. En eet,de notre point de vue,iln'existepasd'appro hestandard pour dénirune onditiond'arrêtin ontestabledans le adre de métaheuristiques pour l'optimisation multiobje tif. Les stratégies habituelles sont très basiques et onsistent généralement en un nombre arbitraire d'itérations ou d'évaluations. Néanmoins,dansnotre as,une itération pour unalgorithme évolutionnairen'arienà voirave uneitérationpourunalgorithmedere her helo ale.Enoutre,le al uldunombred'évaluations ee tuées depuisledébutdupro essusdere her hen'apasdesensi i, arlessolutionsvoisines et les solutions mutées ne sont pas évaluées omplètement, mais de façon in rémentale. Par onséquent, dansle adre de ette étude, nousavonsdé idé d'arrêter le pro essusde re her he aprèsun ertaintempsd'exé ution.Eneet,touteslesméthodespartagentlesmêmes omposants debaseetleursimplémentationsrespe tivespeuventdon être omparéesentermesdetempsde al ul. Mais,lespetitesinstan es sont supposémentplus fa ilesà résoudrequelesplus grandes, e ritère d'arrêta don étéxé enfon tion de lataillede l'instan e onsidérée, omme indiqué dans le tableau 2.7. Notez que le temps maximum d'exé ution disponible est stipulé pour une seule simulationpar instan e etpar algorithme.

De même que pour les algorithmes de re her he lo ale appliqués au problème de Flowshop, permettez-nous de rappeler que l'algorithme IBMOLS possède une ondition d'arrêt naturelle (ar hive non améliorante lors de la dernière itération). Toutefois, la répétition itérative d'un algorithmedere her helo ale onduit souventàdesperforman estrèsélevéesetpeutaméliorer onsidérablement les résultats. Dans le adre de l'optimisation monoobje tif, deux stratégies prin ipales de re her he lo ale itérée peuvent être distinguées : la reprise du pro essus à l'aide d'une nouvelle solution aléatoire (random restart) et les méthodes de perturbation (Louren o et al.,2002).Leredémarrage aléatoire onstituelapossibilitélaplussimple,maisune te hnique de perturbation adaptéepermetgénéralement d'obtenirde meilleurs résultats.Néanmoins,ave IBMOLS, nous devons maintenant omposer ave une population de solutions qui doit être réinitialisée entre haquephasedere her helo ale.CommeproposéparBasseuretBurke(2007) parmi d'autres alternatives, nous dé idons de perturber un ensemble de solutions provenant de l'ar hive pour onstituer la nouvelle population. Le hoix d'une telle stratégie a été motivé par desexpérimentations préliminaires ainsi que desrésultats probants obtenus par Basseur et Burke (2007) pour une autre appli ation. Ainsi, la stratégie de réinitialisation de lapopulation se basesur un bruit aléatoire,tout omme dansun algorithmede re uit simuléde base (Burke etKendall,2005).Cebruitse omposede multiples mutationsappliquéesen sérieàunensemble de

N

solutions provenant de l'ar hive. Notez que si la taille de l'ar hive est inférieure à

N

, la population est omplétée à l'aide de solutions aléatoires, tout omme lors d'une stratégie de

Table 2.8 Paramètres.

I-IBMOLS IBEA NSGA-II SEEA Instan e tailledelapop. tauxdebruit tailledelapop. tailledelapop. tailledelapop.

eil51 20 10% 100 100 100 st70 20 10% 50 100 100 kroA100 30 10% 100 200 100 bier127 30 10% 100 200 100 kroA150 30 10% 200 200 100 kroA200 30 10% 200 200 100 pr264 30 20% 50 200 100 pr299 50 10% 50 200 100

I-IBMOLS (iterated IBMOLS).

2.3.2.3.2 Paramètres. Une phase expérimentale préliminaire a été ee tuée an de déter- miner bon nombre des paramètres suivants(Liefooghe et al., 2008e). Néanmoins,pour ertains algorithmes, au une tendan e générale n'a été identiée quant à ertains paramètres, la taille de la population a don été xée en fon tion de l'instan e onsidérée, omme indiqué dans le tableau2.8.Letauxdebruitdel'algorithmeI-IBMOLSaétéxéàunpour entagedunombrede n÷uds pour leproblème traité. Ensuite, tout omme initialement proposépar Zitzleret Künzli (2004),lefa teurd'é helle

κ

aétéxéà

0.05

pourlesmétaheuristiquesàbased'indi ateur(IBEA etI-IBMOLS).Lesautresparamètressontpartagéspartouslesalgorithmesévolutionnairesetse omposent d'uneprobabilité de roisement de

0.25

,d'uneprobabilité demutation de

1.00

,ave destaux de

0.25

0.50

pour les opérateurs de mutation de typesuppression, insertion et é hange 2-opt, respe tivement.

2.3.2.4 Résultats expérimentaux

Lestableaux2.9et2.10fournissent une omparaison desalgorithmesSEEA,NSGA-II,IBEAet I-IBMOLS par rapportà l'indi ateur I

−

H

età l'indi ateur I

1 ǫ+

,respe tivement.

Lesrésultatsobtenus donnentunavantageindéniable àI-IBMOLS.Cetalgorithmen'esteneet jamaisstatistiquementsurpasséparau unautrealgorithmeselonlesdeuxindi ateursdequalité. Les seules ex eptions sont pour les instan es st70 et pr264, pour lesquelles SEEA a obtenu de meilleurs résultatspar rapportà lamétriqueepsilon. Quant àNSGA-II, ilest distan épar tous les autres algorithmes sur ha une desinstan es testées, saufpour le problème pr264 où il n'y a pasde diéren esigni ativeentrelesrésultatsde NSGA-IIet euxd'IBEA selonl'indi ateur I

1 ǫ+

. Enn, par rapport à l'indi ateur I

−

H

, les résultats obtenus par IBEA et SEEA semblent assez hétérogènesd'uneinstan eà uneautre, desorte qu'au unetendan egénéralenepeutêtre identiée.Toutefois,selonl'indi ateurI

1 ǫ+

,SEEAsemblenettementpluse a equel'algorithme IBEAsur laplupart desinstan es detest.

Comparaison aux résultats obtenus pour le problème de Ring-Star monoobje tif. Pour nir, nous fournissons une omparaison entre les résultats que nous avons obtenus pour

Table2.9 Comparaisondesalgorithmes selonl'indi ateur I

−

H

.Pour haqueinstan e, soitl'algorithme situé suruneligne donnéedomine signi ativement l'algorithme situé surune olonne donnée (

≻

), soit il est signi ativement dominé (

≺

), soit il n'existe pas de diéren e signi- ative entre les deux algorithmes (

≡

). La valeur entre parenthèses orrespond à la I

−

H

-valeur moyenne (

×10

−3

I-IBMOLS IBEA NSGA-II SEEA eil51 I-IBMOLS

(4.456)

≻

≡

IBEA

(6.710)

≺

≻

≺

NSGA-II

(12.573)

≺

SEEA

(4.957)

≡

≻

- st70 I-IBMOLS

(3.143)

≻

IBEA

(4.037)

≺

≻

≡

NSGA-II

(8.920)

≺

SEEA

(3.718)

≺

≡

≻

- kroA100 I-IBMOLS

(4.251)

≻

IBEA

(5.273)

≺

≻

≡

NSGA-II

(12.370)

≺

SEEA

(5.015)

≺

≡

≻

- bier127 I-IBMOLS

(3.219)

≻

IBEA

(4.236)

≺

≻

NSGA-II

(9.606)

≺

SEEA

(6.751)

≺

≻

- kroA150 I-IBMOLS

(3.959)

≻

IBEA

(4.562)

≺

≻

≡

NSGA-II

(8.973)

≺

SEEA

(4.747)

≺

≡

≻

- kroA200 I-IBMOLS

(2.875)

≡

≻

IBEA

(2.980)

≡

≻

NSGA-II

(8.515)

≺

SEEA

(3.822)

≺

≻

- pr264 I-IBMOLS

(1.535)

≻

≡

IBEA

(1.912)

≺

≻

≺

NSGA-II

(3.663)

≺

SEEA

(1.520)

≡

≻

- pr299 I-IBMOLS

(1.303)

≻

IBEA

(1.964)

≺

≻

≡

NSGA-II

(4.185)

≺

SEEA

(2.179)

≺

≡

≻

Table2.10Comparaisondesalgorithmesselonl'indi ateurI

1 ǫ+

.Pour haqueinstan e,soitl'algorithme situé suruneligne donnéedomine signi ativement l'algorithme situé surune olonne donnée (

≻

), soit il est signi ativement dominé (

≺

), soit il n'existe pas de diéren e signi- ative entre les deux algorithmes (

≡

). La valeur entre parenthèses orrespond à la I

1 ǫ+

-valeur moyenne (

×10

−3

I-IBMOLS IBEA NSGA-II SEEA eil51 I-IBMOLS

(9.307)

≻

≡

IBEA

(12.094)

≺

≻

≺

NSGA-II

(19.165)

≺

SEEA

(9.613)

≡

≻

- st70 I-IBMOLS

(7.321)

≻

≺

IBEA

(10.334)

≺

≻

≺

NSGA-II

(13.639)

≺

SEEA

(6.298)

≻

- kroA100 I-IBMOLS

(9.833)

≻

≡

IBEA

(11.771)

≺

≻

≺

NSGA-II

(17.718)

≺

SEEA

(9.606)

≡

≻

- bier127 I-IBMOLS

(8.421)

≻

IBEA

(11.993)

≺

≻

NSGA-II

(21.522)

≺

SEEA

(19.377)

≺

≻

- kroA150 I-IBMOLS

(7.853)

≻

IBEA

(10.708)

≺

≻

≺

NSGA-II

(13.383)

≺

SEEA

(9.056)

≺

≻

- kroA200 I-IBMOLS

(7.829)

≡

≻

≡

IBEA

(7.288)

≡

≻

NSGA-II

(14.473)

≺

SEEA

(8.204)

≡

≺

≻

- pr264 I-IBMOLS

(5.259)

≻

≺

IBEA

(9.055)

≺

≡

≺

NSGA-II

(8.403)

≺

≡

≺

SEEA

(4.343)

≻

- pr299 I-IBMOLS

(4.023)

≻

IBEA

(8.993)

≺

≻

≺

NSGA-II

(10.403)

≺

SEEA

(5.768)

≺

≻

Table2.11 Ratio d'erreurentrelameilleure valeurtrouvée au oursde nosexpérimentations etle oûtdelasolutionoptimaleduTSPmonoobje tifoulemeilleur oûtd'anneautrouvé pour leRing-Star monobje tif par Labbé etal. (2004).

Instan e TSP RSPmonoobje tif monoobje tif

α= 3

α= 5

α= 7

α= 9

eil51 1.10% 1.10% 0.75% 0.37% 0.69% st70 1.47% 1.47% 0.49% 0.56% 0.42% kroA100 0.64% 0.64% 0.10% 0.14% 0.00 % bier127 1.16% 1.16% 1.97% 0.52% 0.05% kroA150 3.12% 3.12% 1.37% 0.60% 0.05% kroA200 2.83% - 3.31% 3.39% 1.29% -1.37 % pr264 4.60% - - - - pr299 3.72% - - - -

étudié parLabbéet al.(2004),oùlesdeux oûts(anneauetae tation)sont additionnés 9

.An de fournir des solutions optimales visitant approximativement

25

50

75

and

100%

du nombre total den÷uds,lesauteurs ont xéle oûtdel'anneau

cij

etle oûtd'ae tation

dij

entredeux n÷uds

vi

vj

de lafaçon suivante:

cij

=⌈αlij⌉

dij

=⌈(10 − α)lij⌉

ave

α

∈ {3, 5, 7, 9}

, où

lij

représenteladistan eentre

vi

vj

donnée par l'instan ede laTSPLIB.

An de donner une idée générale des résultats que nous avons obtenus, nous allons omparer les meilleures valeurss alaires trouvées telles que ela estdétaillé i-dessus àla valeur optimale trouvée par Labbé et al. (2004)

. En outre, nous omparons également la meilleure solution visitant ha undesn÷udsquenousavonstrouvéeàlasolutionoptimale onnuepourleproblème du voyageur de ommer e monoobje tif (TSP), qui est disponible sur le site de la TSPLIB

11 . Le tableau2.11donneleratiod'erreurentrelameilleuresolution onnueetlameilleuresolution quenousavonstrouvéesurl'ensembledenosexpérimentationspour ha undesobje tifsuniques identiés.

Parrapportauxrésultatsobtenus pourleproblèmede Ring-Starmonoobje tif,leratio d'erreur est toujours de moinsde

5%

pour ha une desinstan es testées.L'optimuma même ététrouvé pour l'instan e kroA100 ave

α = 9

, et une meilleure solution a été obtenue pour l'instan e kroA200 ave

α = 3

α = 9

.En e qui on erne les solutions optimales du TSP, nosrésultats sont assez pro hespourdesinstan es demoinsde

150

n÷uds.Pour les instan esde plusgrande taille,ilsnesemblentpasaussibons.Ainsi,en omparaisonauxrésultatsmonoobje tifoptimaux ouquasioptimaux,lesméthodesdere her hequenousavonsproposéespourrésoudreleproblème deRing-Starsemblentassezprometteuses,d'autantqueletempsde al ulallouéestrelativement faible par rapport à la taille des instan es de problème à résoudre. Rappelons toutefois que la omparaison est i i faite à l'aide des meilleurs résultats que nous avons obtenus au ours de l'ensemble des expérimentations que nous avons réalisées. Il est don très probable que les résultatsne soient pasaussibonspour unesimulation unique.

9. Il ne nous a pas été possible de omparer nos résultats à eux de l'autre formulation du problème de Ring-Starmonoobje tif(Labbéetal.,2005; MorenoPérezetal.,2003;Renaudetal.,2004),pourlequelle oût d'ae tationestsoumisàune ontrainte; e ienraisondelafaçondontlaborneaétéxée.

10 . Enréalité, lesauteursontimposé untempslimitede al uldurantleurs expérimentations.Ilsontreporté lameilleuresolutiontrouvéedansle asoùletempsde al uldépassait edélai, equiestle aspourl'instan e kroA200ave

α= 3

5

9

dansletableau2.11.

2.3.2.5 Dis ussion

Au oursde ettese tion,quatremétaheuristiquesontétéappliquéesàlarésolutionduproblème deRing-Star.Unalgorithmedere her helo ale,IBMOLS,ad'abordété onçudansunevariante itérative ave un voisinage multiple.Ensuite, deux algorithmes évolutionnaires multiobje tif de lalittérature,àsavoirl'algorithme deréféren eNSGA-IIetun algorithmeplusmoderne omme IBEA, ainsiqu'un troisième,SEEA,proposéi i pour lapremièrefois,ont tousétéappliqués au as parti ulierdu problèmetraité.

Nous pouvons on lureque laversionitérative de l'algorithme IBMOLS est globalement nette- ment plus performanteque tous les autres algorithmes évolutionnaires que nous avonsétudiés. Néanmoins,le omportement d'uneméthode de re her he aussisimplequeSEEA parrapportà desalgorithmesderéféren e ommeNSGA-IIetIBEAestassezen ourageanten equi on erne larésolution de problèmes ombinatoires.

Unedesprin ipales ara téristiquesduproblèmedeRing-Starsembleêtrelenombrerelativement élevé de pointssitués surlefront Pareto. Ainsi, après un ertain nombred'itérations, ilest fort probable qu'une grande partie de la population ourante des algorithmes I-IBMOLS, IBEA et NSGA-IIne ontiennequedessolutionsnon-dominées.Ce ipourraitexpliquerlafaiblee a ité

Dans le document Métaheuristiques pour l'optimisation multiobjectif: Approches coopératives, prise en compte de l'incertitude et application en logistique (Page 90-105)