Algorithmes existants omme instan es du modèle

Parlebiaisdumodèlede on eptionuniéprésenté i-dessus,nousarmonsqu'ungrandnombre d'algorithmes évolutionnaires multiobje tif de référen e proposés durant les deux dernières dé- ennies sont basées sur de simples variations des omposants indépendants du problème. Dans

Table 2.1  Algorithmes évolutionnaires multiobje tif existants omme instan es du modèle unié proposé. Trois exemples sont présentés : NSGA-II (Deb et al., 2002), SPEA2 (Zitzler et al.,2001b) etIBEA(Zitzler etKünzli, 2004).

omposants NSGA-II SPEA2 IBEA

tness profondeurdedominan e ompteetrangdedominan e indi ateurbinaire (dominan ePareto) (dominan ePareto) dequalité diversité distan ede rowding pluspro hevoisin au un séle tion tournoibinaire élitiste(tournoibinaire) tournoibinaire rempla ement rempla ementélitiste rempla ementgénérationnel rempla ementélitiste gestiondel'ar hive au un ar hivedetaillexe au un arrêt nombredegénérations nombredegénérations nombredegénérations

2001b)etIBEA(ZitzleretKünzli, 2004),sont onsidérées ommede simplesinstan esdumême modèle.Biensûr,seulsles omposantsindépendantsduproblèmesontprésentéspourdesraisons évidentes. NSGA-IIetSPEA2 sont probablement lesdeux algorithmesévolutionnairesmultiob- je tif les plus fréquemment ren ontrés dans la littérature, soit pour faire fa e à un problème original, soit pour servir de référen e lors d'une omparaison de diérentes appro hes. Con er- nant IBEA, 'est une bonne illustration de la nouvelle tendan e portant sur la re her he basée sur unindi ateur de qualité,qui ommen e à devenir populairedepuis quelquesannées.

Exemple 2.1 (NSGA-II) (Deb etal., 2002)

NSGA-IIestprobablementl'algorithmeévolutionnairemultiobje tif lepluspopulaire. À haque génération, les solutions de la population ourante sont lassées en fon tion de deux ritères. Deux valeurs sont don ae tées à haque membrede la population. Tout d'abord,la stratégie d'ae tation des valeurs de tness se base sur le ompte de dominan e et sur la dominan e Pareto. Toutes les solutions non-dominées de la population se voient ae ter une valeur de tness de

1

(premier front), puis elles sont retirées de la population. Toutes les solutions non- dominéesdelapopulationsevoientae terunevaleurdetnessde

2

(deuxièmefront),puiselles sont retirées de lapopulation. Etainside suite.Ce pro essusestitéréjusqu'à e quel'ensemble des solutions dont la valeur de tness est à évaluer soit vide. Cette première valeur représente la qualité de la solution en termes de onvergen e. La deuxième valeur onsiste à estimer la densité de solutions autour d'unpoint parti ulier de l'espa e obje tif à l'aide de ladistan e de rowding, etreprésente la qualitéde lasolution en termesde diversité. La distan ede rowding est al ulée parmi les solutions appartenant à un même front ( 'est-à-dire ayant une valeur de tness identique).Ainsi,unesolutionest onsidérée ommeplusperformantequ'uneautresielle a une meilleure valeur de tness,ou en asd'égalité, si elle ala meilleuredistan e de rowding. À haque itération de l'algorithme évolutionnaire,

N

solutions Enfant sont générées, où

N

est la taille de la population. La stratégie de séle tion onsiste en un tournoi déterministe réalisé entredeuxsolutions hoisiesaléatoirement.Laphasederempla ementélitistefon tionne omme suit.Lapopulationdel'itération pré édenteetlapopulationEnfantsontfusionnées,etseulesles meilleuressolutionssurviventselonlapro édurehiérar hiqueénon ée i-dessus.Parailleurs,dans laversionoriginale de NSGA-II,au unete hnique d'ar hivage n'est onsidérée,l'approximation ourantedel'ensemble Pareto optimal étant ontenue au sein delapopulationprin ipale.

Exemple 2.2 (SPEA2) (Zitzleret al., 2001b)

SPEA2 est une extension de l'algorithme SPEA, où une stratégie d'ae tation des valeurs de tness amélioréeestproposée.SPEA2 gèreintrinsèquement une ar hive internedetaille xequi estutiliséeau ours del'étapede séle tionpour réer dessolutions Enfant. Lorsd'uneitération, à haquemembre delapopulation ourante etde l'ar hive

x

est attribuéeunevaleur

S(x)

égale au nombrede solutions qu'elledomine en termesde dominan ePareto ( omptede dominan e). Ensuite,lavaleurdetness

F (x)

delasolution

x

est al uléeenadditionnantlesvaleurs

S(x)

de toutes lessolutions dominéespar

x

.Enoutre,unestratégie depréservationdeladiversité, basée sur une te hnique du

k

ème plus pro he voisin, est in orporée. L'étape de séle tion est élitiste, etse omposed'untournoi binaireave rempla ement appliquésurl'ar hiveuniquement.Enn, étant donné que l'ar hive de SPEA2 a une apa ité de sto kage de taille xe, un mé anisme d'ar hive bornée, basé surles informations de tness et de diversité, est utilisé lorsque lataille del'ensemblenon-dominéesttropélevée.Àl'inverse,lorsquelatailledel'ar hiveesttropfaible, des solutions dominées sont in orporées. Par ailleurs, les solutions onstituant l'approximation ouranteétant ontenues dansl'ar hive, et l'étape de séle tion étant appliquée sur ette même ar hive uniquement, une simplestratégie de rempla ement générationnelest onsidérée.

Exemple 2.3 (IBEA) (Zitzler etKünzli, 2004)

L'idée prin ipale introduite par IBEA est d'instaurer un ordre total entre les solutions de la population ourante en généralisant la relation de dominan eau moyen d'un indi ateur binaire de qualité arbitraire

I : Ω× Ω → R

. Cet indi ateur représente le but de l'optimisation. La véritable questionestdon desavoir omment l'intégrer auseind'unestratégie d'ae tationdes valeurs de tness. En d'autres termes, la valeur de tness d'une solution

x

appartenant à la population ourante

P

doitreétersonutilitéàl'égarddubutdel'optimisation.Ainsi,à haque individuestattribuéeune valeurde tness

F (x)

mesurantlapertedequalitési

x

était retiré de la population ourante. Plusieurs te hniques sont dis utées par Zitzler et Künzli (2004), et ellequeretiennentlesauteursestuneappro headditive,baséesurune omparaisondeuxàdeux des solutions de la population ourante, et qui amplie l'inuen e des solutions non-dominées sur lessolutions dominées (2.2).

F (x) =

X

x′_{∈P \{x}}

−e−I(x′,x)/κ

(2.2)

où

κ > 0

estun fa teur d'é helle. Une des riptiondétailléede l'algorithmeIBEAest reproduite dansl'algorithme 2.Laséle tion pourlareprodu tionse omposed'untournoi binairedétermi- niste.Laséle tionpourlerempla ement onsisteàsupprimer,defaçonitérative,laplusmauvaise solution de la population ourante jusqu'à e que la taille requise soit atteinte; les valeurs de tness desindividus restants étant misesà haquesuppression.

Ainsi,n'importequelindi ateurbinairedequalitépeutêtreutilisédans(2.2).Àtitred'exemple, Zitzler etKünzli(2004) dénissent l'indi ateur

ǫ

-additif(

Iǫ+

) ommesuit :

Iǫ+(z, z′) =

max

i∈{1,...,n}{zi− z

′

i}

(2.5)

Ildonnelavaleurminimaleparlaquelleunve teurobje tif

z∈ Z

doitêtre,oupeutêtretranslaté dansl'espa e obje tif pour faiblement dominer uneautre solution

z

′

_{∈ Z}

Algorithme 2 Modèlede l'algorithmeIBEA

1. Initialisation. Démarrerave unepopulationinitiale

P

de taille

N

fournieen paramètre, ou lagénérer de façonaléatoire.

2. Ae tation d'une valeur de tness. Cal uler les valeursde tness pour haque solu- tion

x

de lapopulation

P

:

F (x)←

X

x′_{∈P \{x}}

−e−I(x′,x)/κ

(2.3)

3. Séle tion pour le rempla ement. Répéter les trois étapes suivantes tant que la taille de lapopulation ourante

P

dépasse

N

:

(a) Choisirune solution

x

⋆_{∈ P}

ave laplus petitevaleurde tness :

F (x

⋆_{)≤ F (x)}

pour tout

x∈ P

. (b) Supprimer

x

⋆

delapopulation

P

.

( ) Mettre à jourles valeursdetness dessolutionsrestantes. Pour tout

x∈ P

:

F (x)_{← F (x) + e}−I(x⋆,x)/κ

(2.4)

4. Condition d'arrêt. Si une ondition d'arrêt est satisfaite, retourner les solutions non- dominées de

P

.Stop.

5. Séle tion pour la reprodu tion. Ee tuer un tournoi déterministe binaire de séle - tion ave rempla ement sur

P

et ajouter les solutions séle tionnées dans une population temporaire

P

′

.

6. Variation. Appliquer les opérateurs de roisement et de mutation aux solutions de la population temporaire

P

′

et ajouter les solutions résultantes à la population temporaire

P

.Allerà l'étape

2

.

êtrenormalisées.Unautreexempledonné parZitzleretKünzli(2004)estl'indi ateur

IHD

,basé sur lanotiond'hypervolume (Zitzler etThiele,1999):

IHD(z, z′) =



IH(z′)− IH(z)

si

z

′

_{≻ z}

IH(z + z′)− IH(z)

sinon (2.6)

IH(z)

représente l'hypervolume de l'espa e obje tif dominé par un ve teur obje tif

z

∈ Z

.

IH(z, z′)

mesure l'hypervolume de l'espa e obje tif dominé par un ve teur obje tif

z

′

_{∈ Z}

mais paspar

z∈ Z

(Fig.2.14).Ande pouvoirêtreutilisésauseinde l'algorithmeIBEA,dans(2.2), es indi ateursdoivent être rapportés auniveau del'espa e dé isionnel.

I(x, x′) = I(f (x), f (x′))

(2.7)

D'autres indi ateursdequalité pourraient fa ilement êtreintégrésausein del'algorithmeIBEA, tels que eux dé ritspar Zitzler et al. (2003).

f f 2 1 z z' f f 2 1 z z' I(z,z')>0 I(z,z')>0 I(z',z)>0 I(z',z)<0

Fig.2.13Illustrationdel'indi ateur

Iǫ+

appliqué à deux ve teurs obje tif

z

et

z

′

_{∈ Z}

. À gau he, au une relation de dominan e n'existe entre

z

et

z′

;àdroite,

z

′

_{≻ z}

. f f 2 1 z z f f 2 1 z' z' I(z,z')>0 I(z,z') = - I(z',z)>0 I(z',z)>0

Fig. 2.14Illustrationdel'indi ateur

IHD

appli- quéàdeux ve teursobje tif

z

et

z

′_{∈ Z}

.Àgau he, au unerelationdedominan en'existeentre

z

et

z

′

; àdroite,

z

′_{≻ z}

.

fa ilement être trouvés dans la littérature. Par exemple, le seul omposant qui dière entre NSGA(SrinivasetDeb,1994)etNSGA-IIestlastratégiede préservationdeladiversité, quiest basée surlesharing dansNSGA etsurle rowding dansNSGA-II.Un autreexemple estl'algo- rithme

ǫ

-MOEAproposéparDebetal.(2005a).Celui- iestuneversionmodiéedeNSGA-IIoù larelationdedominan edePareto,utiliséelorsdel'ae tationdesvaleursdetness,estrempla- ée par une relation d'

ǫ

-dominan e.De même, larelation de

g

-dominan e proposée par Molina et al. (2009) estexpérimentéepar les auteurs surune te hnique pro he deNSGA-II, maisoù la relation de dominan ea étémodiéean de prendre en ompte lespréféren es du dé ideur par lebiaisd'un point de référen e.

2.1.4.4 Un nouvelalgorithme évolutionnaire pour l'optimisation multiobje tif

Dans le document Métaheuristiques pour l'optimisation multiobjectif: Approches coopératives, prise en compte de l'incertitude et application en logistique (Page 56-60)