Lorsque
N atomesidentiques
sont en interaction avec lechamp,
le hamiltonienH
(N)
décrivant ce nouveausystème généralise
celui écrit pour un seul atome[36][54].
Laposition
de l’atome i dans la cavité estnotée ri.
Avec les mêmes conventionsd’origine
del’énergie
et les mêmesapproximations qui
ont conduit àl’expression
de H(cf. § 1.2.2), H(N)
s’écrit :où l’on reconnaît le hamiltonien
atomique,
celui duchamp
et celui de l’interactionatomes-champ, qui prend l’expression :
03A9(r
i
)
=E0|deg.f(ri|
est lecouplage atome-champ
pour l’atomei, qui dépend
de sa
position
dans la cavité.L’interaction
Hrwadip.(N) échange
une excitation entre lechamp
etn’importe quel
atomei,
cetéchange prenant
d’autantd’importance
que lecouplage
de l’atomei au
champ
estgrand.
Cette situation est apriori complexe
àrésoudre,
et l’onse limite d’abord au cas
plus simple
où les atomes ont le mêmecouplage
avec lechamp.
1.3.1 Couplages individuels identiques
Les N atomes sont
couplés
de manièreidentique
auchamp
de la cavité : ils ontla même
pulsation
decouplage 03A9. Hrwadip.(N) prend
alors la formeplus simple,
très semblable au hamiltonien d’interaction du cas à un seul atome :les
opérateurs atomiques D±
étant définis par :Ces
opérateurs
sontsymétriques
parpermutation
des atomes -car les atomes sont indiscernables pour ce
qui
concerne leur interaction avec lechamp -
etvérifient les
règles
de commutation d’un momentangulaire N/2 [36].
L’état col-lectiffondamental |G> = |g,g,···,g>
des atomescorrespond
aux N atomes nonexcités. L’évolution du
système global atomes-champ
étant décrite par lehamil-tonien
symétrique H(N), |G>
n’estcouplé qu’à
des étatsatomiques symétriques,
qui
sont obtenus par actionsrépétées
del’opérateur
D+ sur l’état|G>.
Les étatsainsi construits sont les états de
Dzcke, analogues
des états propres d’un momentangulaire N/2 [63].
Ils sont utilisés avecprofit
pourcomprendre
lerayonnement
collectif de N atomes initialement
excités,
en fournissant uneimage approchée
du
phénomène lorsque
les atomes sont dansl’espace
illimité[64]
et enpermet-tant une
description
exactelorsqu’ils
sont en interaction avec un seul mode d’une cavité[36]. (Ces
effets desuperradiance
ne seront pas décritsici).
Le
premier
étatatomique
collectif excité est :dans
lequel
une excitationatomique
estéquitablement répartie
sur les N atomes.L’état
|G; 0),
où aucun atome n’est excité et la cavité estvide,
est clairement l’état fondamental dusystème global atomes-champ.
Sonénergie
est nulle.Les états à une excitation
couplés
par l’interactionHrwadip.(N)
sont|E1; 0>
et|G; 1).
L’élément de matrice decouplage correspondant
vaut :Le
couplage
collectif des atomes avec lechamp
est doncN
foisplus
fort que celui à unatome,
le hamiltonien totalH(N) prenant
sur la base(|E1; 0>, |G;1>)
la même forme que la matrice(1.22).
Lespremiers
états habillés à N atomes sontalors :
avec 0 <
03B81(N)
<03C0/2
ettg 203B81(N) =- 203A9N/03B4.
Les
énergies
de cespremiers
états habillés sont :À
résonance,
la structure des niveaux habillés lesplus
bas s’avère donciden-tique
à celle du cas à un seulatome,
laséparation
203A9 étant devenue203A9N (cf.
Figure
1.8 : Premiers états habillés issus ducouplage
collectif de N atomes avecle
champ.
Laséparation
des états propres à une excitation estN1/2
foisplus
grâce
aucouplage
collectif deplusieurs atomes,
nepeut
que rendreplus
facile sonobservation.
Les états habillés d’ordre
supérieur
se recherchent de la mêmefaçon qu’au
§
1.2.6.Néanmoins,
leproblème
secomplique mathématiquement
car les matricesà
diagonaliser
ne sontplus
2 x2 ,
les étatsatomiques
collectifspouvant porter plus
d’une excitation. Par
exemple,
sontcouplés
par le hamiltonienatomes-champ
H
(N)
les états|E2; 0>, |E1; 1>
et|G; 2>,
où> = [2N(N - |E2 1)]-1/2(D+)2|G>
estl’état
atomique
collectifqui porte
deux excitationsréparties symétriquement
surles N atomes. On ne s’intéressera pas à cette
question
desmultiplicités
habilléesd’ordre
supérieur
pour des atomescouplés
collectivement auchamp.
1.3.2 Couplages individuels différents
De manière
générale,
les N atomes ont descouplages
différents auchamp
de la cavité. Le hamiltonien(1.44)
n’étant passymétrique
parpermutation
des atomes-
car ils sont en fait discernables par leur interaction avec le
champ - ,
il n’estpas
possible
de construire des états collectifsatomiques analogues
aux états de Dicke. Mais les conclusions essentielles ducouplage symétrique
segénéralisent
si l’on se limite auxpremiers
états habillés dusystème atomes-champ [54].
Aupremier ordre,
le hamiltonienHrwadip(N) exprimé
par(1.44)
necouple |G; 1) qu’à
l’état|E’
1
>
est l’état collectifatomique qui porte
une excitationrépartie
sur les N atomesproportionnellement
à leurscouplages respectifs
auchamp.
L’élément de matrice decouplage
vaut :Dans ce cas, la
pulsation
decouplage
devient03A9(rNi=1(03A3i)2)1/2
et est fonction de laposition
des N atomes dans la cavité. Larépartition
des atomes dans lastructure du mode moyenne en
quelque
sorte lecouplage
de l’échantillonatomique
avec le
champ. À résonance,
lespremiers
niveaux habillés serépartissent toujours
symétriquement
autour del’énergie 03C90,
en étantséparés
de03A9(r2(03A3i=1Ni)2)1/2.
1.3.3 Analyse classique du couplage collectif
Comme il se
doit,
lecouplage
collectif des N atomes auchamp peut
se traiterclassiquement
et donne des résultats semblables à ceux du traitementquantique
en ce
qui
concerne les excitations lesplus
faibles.L’équation
d’évolutionclassique
desamplitudes Ai(t)
de chacun des oscillateursatomiques s’écrit,
en suivantl’équation (1.5) (on
noteû,
un vecteur unitaire suivant la direction d’oscillationde l’oscillateur
i) :
L’évolution,
décrite parl’équation (1.4)
dans le cas à unatome,
del’amplitude
E(t)
duchamp électrique
du mode doitprendre
encompte
la contribution des Natomes.
L’équation (1.4) prend
alors la forme :L’utilisation de
l’amplitude
collective0398(t) = 03A3Ni=1i)] i.f((r[û Ai(t),
oùchaque
oscillateur contribue
proportionnellement
à soncouplage
avec lechamp,
per-met de réduire ces N + 1équations couplées
en deuxseulement, qui
décrivent l’interaction collective des N atomes avec lechamp :
La recherche des modes propres de ces deux oscillateurs
couplés
se fait de la même manièrequ’au §
1.1.3. Lespulsations
propres sont trouvéeségales
à :03A9
Cl(N)
étant lapulsation
decouplage
collective à N atomes :et
Cl(ri) = 03A9 )|modemV0 4~2i.f(ri|û2(q)1/2
lapulsation
decouplage
de l’atome i seul dans la cavité.Les résultats obtenus
correspondent
donc exactement à ceux que donne la
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Electrodynamique en cavité : expériences résonnantes en régime de couplage fort
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