Groupes de cha^ne, de cycle et de frontiere

Nous presentons, dans cette section, les outils topologiques (cha^nes, fron- tieres et cycles) permettant de formaliser la notion d'homologie. Nous consi- derons l'operation de groupe par le signe + et tous les groupes sont abeliens (commutatifs). L'element neutre est note par 0.

Pour tout elementsi d'un groupeO, nous notons nsi (8n2ZZ) la somme

si+si+:::+ si

| {z }

n si n > 0 et nous notons ;nsi l'inverse densi par la loi +.

Sin = 0, nous avons 0si = 0:

Les groupes d'homologie se construisent a partir des groupes abeliens libres nis. C'est pourquoi, nous denissons et donnons, a present, les pro- prietes de ce type de structure.

Denition 4.18

[NAK-90]

SoientI elements s1;s2;:::sI d'un groupe O. Les elements de O qui ont

pour expression:

c1s1+:::+ cIsI (ci

2ZZ;1 i I)

forment un sous-groupe deO, que nous notons C(O).

C(O) est un sous-groupe de O

engendre

par les

generateurs

s1;:::sI

.

Si C(O) est engendre par un ensemble ni d'elements s1;:::sI qui sont

lineairementindependants (i.e:c1s1+:::+cIsI = 0 ssic1 =::: = cI = 0)

alors C(O) est un

groupe libre abelien de rang

I.

4: La dimension d'un complexe simplicial O correspond a la dimension du simplexe de plus grande dimension de O.

4.3 Groupes d'homologie d'un maillage tetraedrique

Par exemple, le groupe des entiersZZ est un groupe libre abelien de rang 1. Quant a l'ensembleZZ2 des paires

f(i;j)ji;j;2ZZg, c'est un groupe libre

abelien de rang 2 engendre par les generateurs (1;0) et (0;1).

Plus generalement,on aZZI _{est un groupe abelien librede rangI [NAK-90].}

Denition 4.19

Soit O un complexe simplicial de dimension k .

Soit GIr l'ensemble des simplexes orientes sr;i de dimension r de O dans lequel un simplexe n'appara^t qu'avec une seule orientation (sr;i 2

GIr );sr;i 2= GIr).

On poseIr =card(GIr).

Nous construisons un groupe Cr(O) engendre par GIr en denissant simultanement la loi du groupe + et un ismorphisme5c

r deCr(O) vers ZZIr, par: 8 > > > < > > > : cr(sr;i) = (0


1i





0) cr(;sr;i) =;ci(sr;i) cr(sr;i+sr;j) = cr(sr;i) +cr(sr;j) cr(0) = (0


0





0)

ou le 1i correspond au 1 a la position i.

Sir > k, nous posons Cr(O) = f0g.

Cette construction est possible puisque les cr(sr;i) forment une famille

libre et generatrice deZZIr.

Tout elementdeCr(O), qui s'ecritcommela sommeformellePI

r

i=1nisr;i; ni 2

ZZ, est associe de maniere bijective a un element de ZZIr parc_r(PI

r

i=1nisr;i) =

(n1

nIr).

La loi + sur Cr(O), induite par la loi + de ZZIr via cr, est bien une loi de

groupe.

Cr(O) s'appelle le groupe des r-cha^nes et tout element cr de Cr(O) est

appele une r-cha^ne.

Par exemple, le complexe simplicial Bd T = 8 > < > : p0;p1;p2;p3; (p0p1);(p0p2);(p0p3);(p1p2);(p1p3);(p2;p3) (p0p1p2);(p0p1p3);(p0p2p3);(p1p2p3) 9 > = > ;

5: Soient G1 et G2 deux groupes abeliens. Une application f : G1 !G

2 est unhomo-

morphismesi f(x + y) = f(x) + f(y)8(x;y) 2 G 2

1. L'operateur + est l'addition dans

G1 pour le terme de gauche (resp. l'addition dans G2 pour le terme de droite). Si f est

egalement une application bijective, f est unisomorphismeet G1est isomorphea G2

de la surface d'un tetraedre T a les groupes de r-cha^nes suivants: C0(Bd T) = fn 0p0+n1p1 +n2p2 +n3p3 j8ni;ni 2ZZg C1(Bd T) = fn 0(p0p1)+n1(p0p2)+n2(p0p3)+n3(p1p2)+n4(p1p3)+n5(p2p3) j8ni;ni 2ZZg C2(BdT) = fn 0(p0p1p2)+n1(p0p1p3)+n2(p0p2p3)+n3(p1p2p3) j8ni;ni 2ZZg Cr(Bd T) =f0gsi r3

A partir d'une r-cha^ne, nous allons denir la notion de frontiere @rsr

d'un simplexesr.

Denition 4.20

[NAK-90]

Soit sr un r-simplexe oriente. La

frontiere

@rsr de sr est une (r;1)

cha^ne denie par:

@rsr=Xr i=0 (;1) i_(p 0;p1;:::: b pi:::pr)

oupbi signie que le pointpi est omis et@rsrs'appelle l'operateur

fron-

tiere

desr.

Sir = 0, nous denissons @0s0 = 0.

L'operateur @r agit lineairement vis-a-vis d'un element c =PIr

i=1cisr;i de Cr(O) et on denit: @r XIr i=1 cisr;i ! =XIr i=1 @r(cisr;i) =XIr i=1 ci@r(sr;i)

L'operateur @r de frontiere denit un homomorphisme de Cr(O) vers

Cr;1(O) [NAK-90].

Pour un 1-simplexes1 = (p0p1); nous avons @1s1 =p1 ;p

0. Nous pouvons

se poser la question du choix d'un signe moins devant p0 pour exprimer la

frontiere de ce simplexe. Cela est d^u a l'orientation d'un r-simplexe.

En eet, prenons le 1-simplexe (p0p2) de la gure 4.7 (a). Ce simplexe se

compose des deux simplexes (p0p1) et (p1p2).

Intuitivement, la frontiere de (p0p2) regroupe les sommets p0 et p2 et

c'est egalement la frontiere de p0p1+p1p2. Si@1(p0p2) etait deni par p0+p2,

nous aurions @1(p0p1) +@1(p1p2) =p0 +p1 +p1 +p2. Cette denition n'est

pas souhaitable etant donne que p1 est une frontiere ctive. En revanche,

si nous prenons la denition 4.20 pour la frontiere, nous avons @1(p0p2) =

4.3 Groupes d'homologie d'un maillage tetraedrique p 1 p2 p 1 p 0 p2 p 0 (a) (b)

Fig.4.7 { (a) Un 1-simplexe avec une frontiere ctive p1 et (b) un complexe

simplicial O ou l'element c = (p0p1)+(p1p2)+(p2p0) 2C

1(O) est un1-cycle.

Dans le cas d'un tetraedre T = (p0;p1;p2;p3), nous pouvons remarquer

que: @3T = (p1p2p3) ;(p 0p2p3) + (p0p1p3) ;(p 0p1p2)

Le noyau ker@r d'un homomorphisme @r forme un groupe sur lequel

repose la notion d'homologie.

Denition 4.21

[NAK-90]

Soit O un complexe simplicial de dimension k et soit c2Cr(O).

Si@rc = 0 alors c est un r-

cycle

.

L'ensembleZr(O) des r-

cycles

est un sous-groupe deCr(O) et s'appelle

le groupe des r-

cycles

(Zr(O) = ker@r).

Dans cette denition, nous pouvons remarquer que @0c = 0 pour tout

c2CO(O). Et donc, nous avons Z

0(O) = C0(O).

Considerons le complexe simplicialO = fp

0;p1;p2;(p0p1);(p1p2);(p2p0) g

(cf. gure 4.7 (b)).

L'elementc = (p0p1) + (p1p2) + (p2p0) de C1(O) est un 1-cycle car:

@1c = @1(p0p1) +@1(p1p2) +@1(p2p0) =p1 ;p 0+p2 ;p 1 +p0 ;p 2 = 0

Un autre groupe sur lequel repose la notion d'homologie est le groupe Br(O) des r;frontieres d'un complexe simplicialO. Ce groupe correspond a

l'image de l'operateur@r+1 , c'est-a-direBr(O) = im@r+1.

Soit O un complexe simplicial de dimension k et soit c2Cr(O) .

S'il existe un element d 2 Cr

+1(O) tel que c = @r+1d alors c est une

r-

frontiere

.

L'ensemble des r-

frontieres

Br(O) est un sous-groupe de Cr(O) et

s'appelle le groupe des r-

frontieres

(Br(O) = im@r+1).

Lemme 4.23

Soit O un complexe simplicial. Soit l'application @r:@r+1 :Cr+1(O)

!Cr ;1(O). 8c2Cr

+1(O); @r:@r+1= 0

preuve:

Etant donne que l'operateur @r agit lineairement vis-a-vis d'un element

de Cr(O), il sut de demontrer l'identite pour les generateurs de Cr+1(O).

Sir = 0, @0:@1 = 0 car@0 est un operateur nul.

Soit r > 0 et soit un r + 1 simplexe s =fp

0:::pr;pr+1 g2Cr +1(O). Nous avons: @r(@r+1s) = @r r+1 X i=0 (;1)i(p 0;p1;:::: b pi:::pr+1) ! =Pr +1 i=0( ;1)i@r(p 0;p1;::: b pi:::pr+1) =Pr +1 i=0( ;1)i( Pi ;1 j=0( ;1)j(p 0;p1;::: c pj:::pbi:::pr +1) + Pr +1 j=i+1( ;1)j ;1(p 0;p1;::: b pi:::cpj:::pr +1)) = P j<i(;1)i +j(p 0;p1;::: c pj:::pbi:::pr +1) ; P j>i(;1)j +i(p 0;p1;::: b pi:::pcj:::pr +1)  = 0

c.q.f.d

Il existe une relation fondamentale entre les groupes Cr(O), Zr(O) et

Br(O). Il est possible de montrer [NAK-90] que:

Theoreme 4.24

Br(O)Zr(O)Cr(O)

preuve:

A tout element c 2 Br(O) est associe un element d 2 Cr(O) tel que

c = @r+1d. Or d'apres le lemme 4.23, @rc = @r(@r+1d) = 0

) c 2 Zr(O) )

Br(O)Zr(O). Par construction Zr(O) est un sous-groupe de Cr(O). Donc

4.3 Groupes d'homologie d'un maillage tetraedrique

c.q.f.d.

Nous allons voir, dans la section suivante, que gr^ace a cette relation d'in- clusion entreBr(O), Zr(O) et Cr(O), il est possible denir les groupes d'ho-

mologie.

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