L'idee de base commune a toutes les methodes de generation de maillages structures consiste a maillerun domaine canonique (i.eune geometriesimple), et a reporter ensuite ce maillage dans l'espace physique de ni a partir d'une discretisation de sa frontiere. Les principales methodes de generation de maillagesstructures reposent sur les methodes d'interpolation algebrique (pa- ragraphe 2.2.1), les methodes fondees sur des E.D.P. (paragraphe 2.2.2), les methodes multi-blocs(paragraphe 2.2.3) et les methodes produit (paragraphe 2.2.4).
2.2.1
Methodes d'interpolation algebrique
Une methode algebrique pour la construction d'un maillage consiste a construire le maillage d'un domaine reel en utilisant une fonction donnee de- nie explicitement. Les references principales sur les methodes algebriques, plus particulierement pour des geometries de type quadrangle ou hexaedre, sont [GORD-73] et [COOK-74] et, pour les methodes de type interpola- tion trans nie, applicables a des formes simples, on trouvera une synthese dans [PERR-98]. La fonction donnee est utilisee pour projeter (reporter) un maillage facile a construire dans un domaine logique z}|{
ayant une forme simple (carre unite, triangle unite, ...) sur le domaine reel (voir gure 2.5). Par essence, le maillage logique ainsi cree est structure. En general, la fonc- tion de projection est polynomiale, les polyn^omes etant de nis de maniere a satisfaire certaines proprietes (sur les coordonnees des points et certaines derivees).
2.2 Generation de maillages structures
3 1
2
Fig. 2.5 { Principe general d'une methode algebrique (d'apres [FREY-99]) dans le cas ou le domaine (a droite) est assimile a un quadrangle. Trois etapes interviennent, le report des donnees sur le bord, le maillage du carre de reference (z}|{
) et le report de ce maillage sur le domaine reel (etapes 1,2 et 3 sur la gure)(d'apres [FREY-99]).
2.2.2
Methodes fondees sur des E.D.P.
Les methodes de generation de maillage par resolution d'equation aux de- rivees partielles (E.D.P.) representent une alternative elegante aux methodes algebriques utilisables quand le domaine peut ^etre identi e a un cube en trois dimensions. La reference de base pour les methodes par E.D.P. est [THOM-85]. Contrairement aux methodes algebriques, on doit trouver une transformation du domaine vers ce cube, le domaine logique. Un systeme de generation est associe a une telle transformation, qui permet de construire le maillage voulu.
Dans ce qui suit, les variables x, y et z decrivent le domaine (voir - gure 2.6) tandis que la region logique est decrite via les variables ;;. Le probleme est maintenant de trouver les fonctions
x = x(;;) y = y(;;) z = z(;;)
selon la dimensionde l'espace, en assurant que cette transformation envoie de facon bijective la region logique sur le domaine et que les frontieres soient preservees.
Fig. 2.6 { Exemple en 2D (d'apres [FREY-99]).
Domaine logique (carre unite): coordonnees (;) a gauche. Domaine reel coordonnees (x;y) a droite.
2.2.3
Methodes multi-blocs
Les methodes algebriques ou par resolution d'E.D.P. sont peu adaptees aux geometries complexes.Par suite, d'autres methodes sont a envisager si on veut pouvoir traiter de telles geometries. Les methodes de type multi-blocs donnent une premiere reponse a ce probleme. Dans cette approche, le do- maine est decompose en sous-domaines plus simples (i.e. les blocs). Chaque bloc est ensuite recouvert automatiquement avec un maillage structure, re- sultant par exemple d'une technique algebrique ou d'une methode fondee sur des E.D.P. Cette caracteristique rend l'approche multi-blocs adaptee aux calculs paralleles [FREY-99].
Plusieurs implantations de la methode multiblocs sont possibles, en fonc- tion des contraintes requises entre les blocs: les implantations avec recouvre- ment, par carreaux ou composites.
Dans le cas d'une implantation avec
recouvrement
(voir gure 2.7 en haut), aucune attention n'est portee sur les interfaces entre les blocs. Chaque bloc peut ^etre maille separement pour chaque composante du domaine. Le maillage resultant est alors un systeme de sous-maillages se recouvrant par- tiellement.Bien que ces maillages soient faciles a generer, l'inconvenientprin- cipal de cette technique est lie au transfert de l'information entre maillages voisins (probleme de conformite!) ainsi qu'a la precision de l'interpolation qui peut alterer la stabilite de la methode.2.2 Generation de maillages structures 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 000000 000000 000000 000000 000000 111111 111111 111111 111111 111111 000000 000000 000000 000000 000000 111111 111111 111111 111111 111111
Fig. 2.7 { Plusieurs implantations de la methode multi-blocs. Les frontieres sont en trait epais (d'apres [FREY-99]).
En haut, avec recouvrement.
Au centre par carreaux (les frontieres ont des surfaces conformes mais des lignes de maillages sont discontinues).
En bas, composite (les lignes du maillage sont continues de part et d'autre de la frontiere).
L'implantationpar
carreaux
(voir gure 2.7 au centre) ajoute une contrainte supplementaire a la methode multi-blocs par recouvrement pour contraindre les maillages a ^etre conformes aux surfaces de leurs frontieres communes, les lignes du maillage pouvant ^etre discontinues. Dans cette approche, la proce- dure d'interpolation est plus simple que celle par recouvrement et le rane- ment du maillage peut varier dans certaines regions, sans toutefois a ecter l'ensemble du maillage.En n l'implantation
composite
(voir gure 2.7 en bas) impose que les lignes du maillage soient continues de part et d'autre des frontieres, ce qui a pour e et de propager tout ranement du maillage a l'ensemble du domaine. Cette technique requiert en outre une numerotation globale des sommets du maillage. Son principal avantage est d'ameliorer la precision numerique qui en resulte.2.2.4
Methodes produit
Certaines geometries se pr^etent a des traitements particuliers. Ainsi, le maillage d'un domaine de topologie cylindrique en dimensiond peut s'obtenir facilementa partir du maillage d'une section en dimensiond;1. Cette section
est appelee labase ou la source (par exemple,en trois dimensions,un cylindre a base circulaire peut ^etre de ni au moyen d'un cercle et d'une direction). Plus precisement, un point conduit a une serie de segments et un segment produit un ensemble de quadrangles. L'ecacite de la methode est liee a la capacite de l'utilisateur a de nir le maillage de reference.
En trois dimensions, le maillage bidimensionnel de base sert a fournir un motif a partir duquel le maillage nal va ^etre extrude en suivant la di- rection donnee. Le nombre de couches (coupes) et leurs positions (i.e. les positions des noeuds le long de la ligne d'extrusion) peuvent ^etre speci es implicitement (la discretisation de la ligne est donnee) ou explicitement (au moyen d'une fonction d'etirement par exemple). Le maillage de reference est alors extrude dans la direction voulue pour creer le nombre souhaite de couches d'elements tridimensionnels entre une borne inferieure (la source) et une borne superieure (la cible). En fonction du type d'element bidimension- nel (triangle ou quadrangle) de la source, le maillage resultant quasi-regulier sera compose respectivement d'elements prismatiques ou hexaedriques sauf dans des con gurations particulieres induisant des degenerescences, ce qui constitue le defaut majeur de cette approche.
En general, commele maillagede reference n'est pas necessairementstruc- ture, le maillage nal n'est pas globalement structure. Il ne l'est que dans la direction d'extrusion. En revanche, la connexite du maillage resultant est