Experience 2: introduction du parametre  V

Dans cette experience, nous avons introduit le parametre V dans notre

modele tout en conservant le critere d'arr^et deni precedemment et en xant le seuil T a 0;8 et a 0;6. Nous rappelons que le parametre V permet

d'etiqueter un tetraedreT simple si au moins la moitie des tetraedres voisins par face de T ont une proportion de tissu V.

Dans un premier temps, nous avons donne a ce seuil une valeur tres faible (V = 0;1) an de faciliter au maximum la procedure d'etiquetage. Dans ce

cas, l'algorithme d'etiquetage a toujours du mal a suivre la segmentation des tissus de la t^ete (cf. gure 6.14). Certes, nous observons l'apparition d'une frontiere pour le tissu du cr^ane mais celle-ci n'entoure pas completement le cerveau (cf. gure 6.14 (b)). Avec notre critere de simplicite d'un tetraedre, l'union du cerveau avec l'os forme une composante connexe mais il existe des pseudo-tunnels qui ne sont pas de veritables tunnels au sens topologique, mais qu'il serait souhaitable de remplir pour favoriser la regularite de l'eti- quetage. Ce phenomeme s'apparente a la graine qui se transforme en arbre:

a b

c d

Fig. 6.12 { Convergence de l'etiquetage homotopique des tissus de la t^ete. Rapport (en ordonnees) entre le nombre de tetraedres etiquetes par iteration (en abscisses) et le nombre de tetraedres ayant un seuil T. Chaque courbe

represente un tissu etiquete ( - pour le cerveau, o pour le cr^ane et + pour le scalp).

(a) T = 0;2 (b) T = 0;4 (c) T = 0;6 (d) T = 0;8.

sa geometrie change considerablement mais sa topologie est preservee. En conclusion, l'utilisation uniquement des deux seuils V et T est

insusante pour l'etiquetage. Il est necessaire d'introduire le booleen V

correspondant au tissu le plus present dans un tetraedre an de suivre les contraintes anatomiques imposees par la segmentation des tissus.

6.3 Maillage volumique des tissus de la t^ete

(b) (a)

Fig.6.13 {Experience 1: Etude du parametreT dans le modele homotopique

d'etiquetage pour la resolution de la T:P:R: n = 4.

(a) T = 0;8 sans V et sans max (b) T = 0;6 sans V et sans max. 6.3.5.3

Experience 3: introduction du booleen

L'introduction du booleen max de tissu dans un tetraedre couplee aux

parametres T etV permet d'adapter le modele d'etiquetage homotopique

sur les contraintes de frontieres imposees par la segmentation des tissus de la t^ete. Le critere d'arr^et a, d'autre part, change car nous comptons, pour chaque tissu le nombre aa priori de tetraedres ayant une proportion de tissu T ou ayant une composition maximalede tissu considere. Cette modication

du critere d'arr^et augmente le nombre de tetraedres candidats a l'etiquetage. Nous observons une legere amelioration de l'etiquetage homotopique (cf. gure 6.15). En eet, l'etiquetage du cr^ane est ameliore et suit le pourtour du cerveau mais cela reste toutefois insusant par rapport a la segmentation des tissus. C'est pourquoi, dans une derniere experience, nous envisagons de supprimer le critere d'arr^et.

(a)

(b)

Fig. 6.14 {Experience 2: introduction du parametre V dans le modele ho-

motopique d'etiquetage.

(a) T = 0;8 et V = 0;1 (b) T = 0;6 et V = 0;1.

(a)

(b)

Fig. 6.15 { Experience 3: introduction de la proportion maximale de tissu dans un tetraedre.

6.3 Maillage volumique des tissus de la t^ete

6.3.5.4

Experience 4: elimination du critere d'arr^et

L'elimination du critere d'arr^et permet d'etiqueter de facon convenable et de suivre la segmentation des tissus de la t^ete (cf. gure 6.16). L'algo- rithme s'arr^ete donc lorsqu'il n'existe plus de tetraedres simples satisfaisant les criteres de proportionT, V et max pour le tissu considere.

Fig. 6.16 { Elimination du critere d'arr^et (T = 0;8,V = 0;1 et max).

Dans ce cas de gure, l'in uence du parametre V est relativement im-

portante. En eet, si V est faible, l'epaisseur de la couche tetraedrique est

assez importante (cf. gure 6.16), ce qui entra^ne d'une part un deplacement des frontieres par rapport a la vraie segmentation du cr^ane (cf . gure 6.17 (a)) et d'autre part surevalue fortement le nombre de tetraedres satisfaisant les criteres T, V et max par rapport au nombre de tetraedres calcule a

partir du critere d'arr^et (cf. gure 6.19 (a)). En ce qui concerne l'etiquetage homotopique de la t^ete, celui-ci est egalement sensible au parametreV (cf.

gure 6.18). Neanmoins, cet etiquetage n'est pas trop surevalue par rapport au nombre de tetraedres calcule a partir du critere d'arr^et (cf. gure 6.19 (b)).

En conclusion, lorsque nous xons V = 0;6 lorsque T = 0;8, l'eti-

quetage est tout a fait convenable (cf. gure 6.20) et se rapproche de la segmentation des tissus. Nous representons, dans la gure 6.21, les coupes obliques superposant les T:P:R: homotopiques du cerveau et de l'os sur la segmentation des tissus. La gure 6.22 est une representation 3D des T:P:R: homotopiques des tissus de la t^ete obtenus pour l'etiquetage optimal.

6.3.6

Conclusion

Nous avons decrit une methode de generation de maillages tetraedriques a partir d'un volume I.R.M. segmente. En appliquant un etiquetage et des deformations homotopiques, nous avons pu generer de facon robuste et ra- pide des maillages des tissus de la t^ete. Notre approche ne necessite pas la formation de la frontiere surfacique des objets contrairement aux approches

(d) (a)

(b)

(c)

Fig. 6.17 { Etude du parametreV pour T = 0;8. Superposition des tetra-

edres simples du cr^ane (en noir) avec la segmentation. (a) V = 0;8 (b) V = 0;6 (c) V = 0;4 (d) V = 0;2.

6.3 Maillage volumique des tissus de la t^ete

(d) (c) (b) (a)

Fig. 6.18 { Etude du parametre V pour T = 0;8. Superposition des tetra-

edres simples de la t^ete (en noir) avec la segmentation. (a) V = 0;8 (b) V = 0;6 (c) V = 0;4 (d) V = 0;2.

(a) (b)

Fig. 6.19 { Etude de la proportion des tissus cr^ane et t^ete pour dierentes valeurs de V avecT = 0;8. Rapport entre le nombre de tetraedres etiquetes

par iteration (en abscisses) et le nombre de tetraedres satisfaisant la compo- sition de tissu maximal max (en ordonnees) . (a) Proportion du cr^ane (b)

Proportion de la t^ete.

Fig. 6.20 { Etiquetage optimal (T = 0;8, V = 0;6 et max).

actuelles [FREY-99] et evite de recalculer systematiquementla structure geo- metriquede laT:P:R: puisque celle-ci est identique a un facteur d'echellepres pour chaque I.R.M. segmentee.

Nous avons mis au point un algorithme de maillage volumique des tissus de la t^ete s'appuyant sur la deformation d'un objet a l'interieur du cerveau. Notre modelisation permet d'une part de preserver la topologie spherique du modele initial et ainsi d'^etre en accord avec la topologie du cerveau et, d'autre part, assure une qualite geometrique des elements tetraedriques. Les maillages correspondants aux autres tissus de la t^ete s'appuient topologi- quement sur le modele homotopique du cerveau. C'est pourquoi notre mo- delisation ne permet pas d'exprimer completement la topologie de spheres imbriquees des tissus de la t^ete qui est celle qui est utile pour la F.E.M. Il serait donc interessant de pouvoir etablir des criteres topologiques dans le