4.3 Groupes d'homologie d'un maillage tetraedrique
4.3.5 Caracterisation de la simplicite d'un tetraedre
A partir de l'homologie, nous allons a present donner la reciproque du theoreme 4.15.
SoitT un tetraedre et soit O l'union d'un ensemble de tetraedres formant une composante connexe qui ne contient pas T (resp. qui contient T) et sup- posons que les ensemblesO[T et O (resp. O et O;fTg) soient homeotopes.
Que peut-on en deduire sur la frontiere partagee BdpT et le complement de
la frontiere partagee BdnpT de T ?
Dans le cadre des complexes simpliciaux, le fait que O[T et O soient
homeotopes induit des isomorphismes entre les groupes d'homologie Hr(O)
etHr(O[T) pour tout r = 0;1;2;:::. (cf. theoreme 4.30).
Il est alors possible d'utiliser les resultats concernant les groupes d'homo- logie (cf. sections 4.3.3 et 4.3.4) pour demontrer la reciproque du theoreme 4.15.
Theoreme 4.40
Soit T un tetraedre et soit O l'union d'un ensemble de tetraedres formant une composante connexe qui ne contient pasT (resp. qui contientT) tel que O[T est connexe.Si l'application d'inclusion i : O ! O[T (resp. O ! O ;fTg) est
une equivalence homotopique alors Bdp T et BdnpT sont non-vides et
connexes.
preuve:
D'apres le theoreme4.30,i induit un isomomorphismeirentre les groupes
d'homologieHr(O) et Hr(O[T) pour tout r = 0;1;2;:::
Etant donne que l'ensembleO[T est connexe, nous avons H 0(O
[T)
= ZZ (cf. theoreme 4.26).
D'autre part, nous savons que la sequence d'homologie de O[T et O est
4.3 Groupes d'homologie d'un maillage tetraedrique :::!ir Hr(O [T)!jr Hr(O [T=O) !@r Hr;1(O) !ir ;1 Hr;1(O [T)!jr ;1 ::: !i 0 H0(O [T) est exacte.
Etant donne que ir :Hr(O)
!Hr(O[T) sont des isomorphismes (cf.
theoreme 4.30), nous avons kerir = f0g.
Comme im@r = kerir;1(sequence d'homologie exacte), nous avons
Hr(O[T=O) =f0g pour tout r.
Appliquons maintenant le theoreme 4.39 en posant OK =O[T et OL=O.
Etant donne que O [ T est connexe, le complexe simplicial OK 1 = T
contient le complexe simplicialO[T ;O. On a alors OL
1 =BdpT. Ainsi,
en appliquant le theoreme d'excision 4.39, nous pouvons donc armer que les groupes Hr(O[T=O) et Hr(T=Bdp T) sont egalement isomorphes pour
tout r. Il s'ensuit que Hr(T=BdpT) =f0g pour tout r.
Considerons, a present, les homorphismes d'homologieir :Hr(BdpT) !
Hr(T) pour tout r = 0;1;2;::: induits par l'application d'inclusion i : BdpT !
T.
Etant donne que Bdp T T, la sequence d'homologie
:::!ir Hr(T) !jr Hr(T=BdpT) !@r Hr;1(BdpT) !ir ;1 Hr;1(T) !jr ;1 :::!i 0 H0(T) est exacte. Comme Hr(T=BdpT) = f0g, on a im@r = f0g et kerjr = Hr(T).
Comme la sequence est exacte, on a donc im@r = ker ir;1 =
f0g. Nous
pouvons donc en deduire que les homomorphismes ir sont egalement des
isomorphismes pour tout r. Etant donne que:
{ Hr(T) =f0g pour tout r 6= 0 (cf. tableau 4.1),
{ H0(T) est isomorphe a ZZ (cf. tableau 4.1),
{ ir est un isomorphisme pour tout r,
nous avons doncHr(BdpT) est isomorphe af0gpour toutr6= 0 etH
0(BdpT)
est isomorphe a ZZ. En conclusion:
Etant donne que H0(BdpT) est isomorphe a ZZ, BdpT est connexe (cf.
theoreme 4.26).
Etant donne que H2(BdpT) = Z2(BdpT) est isomorphe a
f0g, il n'existe
pas de combinaison lineraire de faces de BdpT telle que leur frontiere soit
nulle. En revanche, il est possible de construire, pour BdT (qui comprend toutes les faces du tetraedre T), une combinaison lineaire de ses faces telle que sa frontiere soit nulle puisque H2(BdT) = Z2(BdT) est isomorphe a ZZ
(cf. tableau 4.1). Or BdpT BdT et BdT comprend toutes les faces du
tetraedre T, il existe donc au moins une face de BdT dans BdnpT. Ainsi,
BdnpT est non-vide.
Etant donne que BdpT forme un polyedre dans BdT (car BdpT est
connexe) et que toute courbe fermee deBdpT borde un elementde dimension
2 dans BdpT (ie: H1(BdpT) =
f0g),BdnpT est connexe 9.
La demonstration dans le cas ou O contient T est similaire.
c.q.f.d.
Le theoreme 4.40 couple au theoreme 4.15 permet de decrire complete- ment la caracterisation necessaire et susante de la simplicited'un tetraedre.
Theoreme 4.41
Soit T un tetraedre et soit O l'union d'un ensemble de tetraedres formant une composante connexe qui ne contient pasT (resp. qui contientT) telle que O[T soit connexe.L'application d'inclusion i : O ! O [T(resp. i : O ;T ! O) est
une equivalence homotopique si et seulement si BdpT et BdnpT sont
non-vides et connexes.
4.4
Conclusion
Pour de nir les deformations homotopiques d'un maillage tetraedrique, nous avons introduit une nouvelle caracterisation locale des deformations preservant la topologie. Notre caracterisation permet d'identi er les elements simples de toute structure tetraedrique connexe veri ant certaines proprietes locales. Nous avons ainsi etendu la notion d'elements simples par rapport aux trames discretes classiques (pixels et voxels) des images numeriques en appliquant des resultats issus de la theorie de l'homologieau cas des maillages tetraedriques.
4.4 Conclusion
Il ne nous a pas ete possible de determiner des proprietes particulieres de simplicite dans le cadre d'une T:P:R: Nous avons determine une carac- terisation locale necessaire et susante de tetraedres simples dans le cas d'un objet connexe. Il serait egalement tres interessant de caracteriser les tetraedres simples dans le cas de plusieurs objets, a n de pouvoir reellement mailler des structures embo^tees telles que ceux des tissus de la t^ete.
La construction d'uneT:P:R: (cf. chapitre 3) et la simplicitedu critere de detection des deformations homotopiques rendent possible l'implantation in- formatique d'un algorithme de maillage homotopique tetraedrique des tissus de la t^ete adapte a laF:E:M: Cela fait partie de la section 6.3 du chapitre 6.
C H A P I T R E
5
Adaptation d'une
T:P:R :et
optimisation de maillages
L'objectif est ici d'introduire d'une part des methodes d'adaptation d'une T:P:R: (cf. chapitre 3) permettant d'obtenir des maillages obeissant a des prerequis de tailles et d'autre part des methodes d'optimisation a connexites xes d'un maillage (volumiques ou surfaciques).
La convergence, la precision et les theoremes d'erreurs pour des calculs par elements nis sont lies au parametreh representant la taille des elements du maillage servant de support spatial au calcul ([CIAR-91] et Annexe 4). A partir des travaux de Frey et al concernant le calcul par elements nis avec contr^ole d'erreur, nous presentons un estimateur d'erreur pour le calcul du potentiel electrique. Cet estimateur, lie au parametreh, permet de deter- miner, sur un maillage tetraedrique et de maniere homogene, l'erreur liee a une connaissance a priori de la solution du probleme direct en E.E.G. (cf. section 5.1). Lah;adaptation
1 d'uneT:P:R: (cf. section 5.2) repond bien au
probleme d'e ectuer un calcul aux elements nis avec un contr^ole d'erreur, bien qu'il n'y ait, a ce jour, aucune demonstration theorique [FREY-99].
En n, optimiser un maillage (surfacique ou volumique) par rapport a un certain critere est une operation frequemment pratiquee avec di erents ob- jectifs. L'optimisation en tant que telle est interessante car la qualite des solutions numeriques associees aux sommets d'un maillage depend, a l'evi- dence, de la qualite de celui-ci. Dans le cadre de l'optimisation de maillage, nous nous sommes plut^ot interesses a lisser des maillages surfaciques extraits d'une T:P:R: des tissus de la t^ete (cf. section 6.5). A ce titre, nous avons choisi d'etudier une methode d'optimisation a connexites xes (cf. section 5.3).
5.1
Calcul par elements nis avec contr^ole d'er-
reur
La construction d'un maillage est gouvernee par le parametre h repre- sentant le diametre des elements (Annexe 4). C'est pourquoi les longueurs, les distances et les autres relations de type metrique jouent un r^ole tres im- portant. La plupart des metriques sont liees aux proprietes intrinseques des surfaces, donc a leur geometrie. Toutefois, il est possible de determiner des estimateurs d'erreur qui sont lies aux proprietes physiques d'un probleme modelise par elements nis et qui in uent sur des proprietes geometriques d'un maillage.
Le but est donc de constuire un estimateur d'erreur qui permette de repar- tir sur un maillage tetraedrique de maniere homogene l'erreur en connaissant
a priori la solution du probleme direct. Pour cela, nous supposons qu'une solution du probleme direct en E.E.G. et M.E.G. a ete calculee a partir d'un modele spherique.
Dans ce modele, nous montrons qu'il est possible de trouver une solu- tion analytique du probleme direct pour l'E.E.G. en tout point de l'espace. En revanche, en M.E.G., la solution ne semble ^etre analytique qu'a l'ex- terieur de la t^ete (cf. section 5.1.1). Par ailleurs, les erreurs du calcul par elements nis sont plus importantes en E.E.G. car le champ et le poten- tiel electriques dependent fortement des valeurs des conductivites des tissus de la t^ete [MAR-97]. C'est pourquoi, nous construisons un estimateur d'er- reur2 pour l'E.E.G. en etudiant l'ecart entre le potentiel electrique u du
modele spherique et son potentiel electrique interpole Q
Tu au point X (i.e. j(u;
Q
Tu)(X)j) a l'interieur de chaque tetraedre T (cf. section 5.1.2). Cet
estimateur d'erreur nous permet de conna^tre approximativement la distri- bution electromagnetique d'une con guration de sources neuronales. Il est possible alors de savoir quels tetraedres d'un modele tetraedrique des tissus de la t^ete doivent ^etre anes ou adaptes (cf. section 5.1.2).