D'un volume segmente vers une T.P.R des tissus de la

de la t^ete

L'implantation informatique d'un maillage des tissus de la t^ete a partir d'uneT:P:R: ne pose pas de problemes fondamentaux mais necessite la prise

en consideration d'un volume important de donnees. La structure de donnees que nous utiliserons doit donc representer un maillage volumique de facon compacte et non redondante et aussi permettre une utilisation ecace des donnees en termes de temps de calcul.

Un maillage volumiqueTh = (T;V;M) peut ^etre separe en au moins deux

parties distinctes. La premiere partie represente la structure geometrique du maillage Th. Elle est constituee de l'ensemble des tetraedres T et de leurs

relations d'adjacence V . La seconde partie contient la proportion de chaque objet ol dans chaque tetraedre T (vecteur M) d'un maillage Th d'une scene

comprenantv objets. Ainsi, nous obtenons une decomposition comparable a celle des images discretes.

La generation d'une T:P:R: a partir d'une segmentation des tissus de la t^ete (cf. section 6.2) se fait donc en deux etapes:

1. Nous choisissons le centreC du domaine segmente et nous construisons le polyedre forme de 24 tetraedres invariants par subdivision partageant C , a partir du tetraedre invariant par subdivision

T = 8 > < > : 0 B @ 0 0 0 1 C A; 0 B @ 1 0 0 1 C A; 0 B @ 1 3 2 p 2 3 0 1 C A; 0 B @ 2 3 p 2 3 2 3 1 C A 9 > = > ;

en le mettant a l'echelle an qu'il englobe tous les tissus de la t^ete (cf. gure 6.7). Ensuite nous subdivisons tous les tetraedres de facon recursive jusqu'a obtenir un nombre de tetraedres susant pour avoir une bonne representation tout en satisfaisant la contrainte de co^ut de calcul imposee par la methode aux elements nis (cf. algorithme 6.3). Nous pouvons remarquer que le nombreNTh de tetraedres d'uneT:P:R: evolue suivant la loi NTh = 248n ou n correspond a la resolution (cf.

tableau 6.3). La resolution n = 4 (NTh = 98304) est un bon com- n NTh %e1 %e2 0 24 74 26 1 192 60 40 2 1536 59 41 3 12888 58 42 4 98304 57 43 5 786432 57 43

Tab.6.3 {NombreNTh de tetraedres et le pourcentage des longueurs d'ar^etes e et e pour chaque resolution n.

6.3 Maillage volumique des tissus de la t^ete

promis entre la nesse de la representation et le co^ut de calcul de la methode (cf. section 6.3.4). D'autre part une T:P:R: possede des te- traedres dont les ar^etes ont deux longueurs presque identiques (elles ne peuvent prendre que les valeurs e1 = 1 et e2 =

p 10

3 pour T ). A

partir den = 1, les pourcentages des deux types d'ar^etes ont d'ailleurs tendance a devenir identiques d'une resolution a l'autre (cf. tableau 6.3). Cette regularite en longueur d'ar^ete est egalement synonyme de stabilitenumeriquedans la methode aux elementsnis. Nous remarque- rons que ces deux ar^etes e1 ete2 sont de l'ordre du centimetre lorsque

le polyedre forme des 24 tetraedres invariant par subdivision englobe completement la segmentation et que la resolution de la T:P:R: vaut n = 4. La construction d'une T:P:R: (cf. algorithme 6.3) s'eectue en deux parties. Une premiereboucle permetde creer les tetraedres enfants a partir d'une tedraedrisation parent. Dans notre algorithme, chaque enfant possede la connaissance du tetraedre pere et vice versa. C'est pourquoi, la construction du voisinage total, qui constitue la deuxieme boucle de notre algorithme, ne necessite pas de parcourir pour chaque tetraedre toute la tetraedrisation. En eet, pour un tetraedre enfant E ayant un pere P, il sut de parcourir les tetraedres enfants dans le voisinage du tetraedre P pour conna^tre le voisinage de l'enfant E. Cette facon de calculer le voisinage reduit considerablement le temps de calcul.

2. Ensuite, nous calculons la proportion de chaque tissu de la t^ete (vecteur M) dans chaque tetraedre de la T:P:R: generee a l'etape precedente en s'appuyant sur l'I.R.M. segmentee (cf. algorithme 6.4). La construction de cet ensembleM est calculable si la T:P:R: est a une resolution plus grossiere que la resolution de la scene segmentee. Dans ce cas, nous sommess^urs qu'un tetraedre intersecte plusieurs voxels.Cette condition est toujours remplie car le maillage des tissus de la t^ete est toujours a des resolutions inferieures (NTh = 98304) a la resolution voxelique.

Algorithme 6.3 pseudo-code de la construction d'une T.P.R.

initialisation:

Soit Th le polyedre forme par 24 tetraedres invariants par subdivision

etant tous voisins entre eux par le m^eme sommet avec: Th:Sommets le tableau des sommets de Th

Th:Facettes le tableau des tetraedres de Th

pour

resolution = 1

a

n Thancien Th

pour

tetraedre i = 1

a

NTh nombre total de tetraedres deTh 1.

subdiviser

i en huit tetraedres invariants par subdivision. 2.

inserer

Enfant:Sommets le tableau des dix sommets crees a par-

tir du tetraedre i dans Th:Sommets.

3.

inserer

Enfant:Facettele tableau des facettes des huit tetraedres dei crees. Les tetraedres enfants ont leurs faces orientees de telle facon que les normales pointent a l'exterieur du tetraedre.

4.

inserer

Enfant:V oisinage les relations d'adjacence locale entre les huit tetraedres enfants du tetraedrei

n pour

resolution

etape de construction du voisinage total

pour

tetraedre i = 1 de T

a

NTh nombre total de tetraedres de Th

pour

voisin v = 1

a

nombre total de voisins du pere dans Thancien du tetraedre i

pour

ch = 1

a

nombre de voisins de v

si

v est adjacent a i

alors

i:V oisinage v

n si

n pour

ch

n pour

v

n pour

i

Algorithme 6.4 pseudo-code de la construction de l'ensemble

M Cet algorithme est fonde sur la propriete qu'un pointXiest a l'interieur

d'un tetraedreT =fp 1;p2;p3;p4 g si: Xi =iTp1p 1+iTp 2p 2+iTp 3p 3+iTp 4p 4 avec 0i Tpj 1 pour j = 1;:::4 et iTp 1 +iTp2 +iTp3 +iTp4 = 1.

Soit I(o1;:::ov) une image classique segmentee comprenant v objets.

Soit NTh le nombre total de tetraedres de Th Soit ol l'objet segmentel de fo

1;:::;ov g.

SoitMTh(T) le vecteur de taille v representant la proportion de chaque objet dans un tetraedreT de Th. On note MTh(T)(ol) lal ieme compo- sante de MTh(T) (proportion de ol dans T).

6.3 Maillage volumique des tissus de la t^ete

initialisation:

pour

k = 1

a

NTh 8lMTh(ol) = 0

n pour

k

pour

k = 1

a

NT

Soit nT le nombre total de Xi dans T.

pour

i = 1 to nT

si

I(Xi) =I(ol)

alors

MT(T)(ol) =MTh(T)(ol) + (1=nT)

n si

n pour

i

n pour

k

La gure 6.7 represente les dierents niveaux de subdivision d'uneT:P:R: (Th =fT;V;Mg) des tissus de la t^ete a partir d'une segmentation des tissus

de la t^ete. La table de couleur correspond au type de tissus presents dans un tetraedre. Ainsi, nous observons qu'a partir de la resolutionn = 3, le nombre de tetraedres ayant un melange des tissus scalp, os et cerveau diminue.

Notre procedure de maillage doit aecter un seul tissu par tetraedre an de repondre aux contraintes requises par la methode aux elements nis. Pour cela, nous allons a present construire un modele topologique permettant d'at- tribuer a chaque tetraedre un seul tissu sans changer la topologie des objets mailles (cf. section 6.3.2).

Dans le document Maillages Homotopiques tétraèdriques des tissus de la tête pour le calcul du probleme direct en magnéto/electro-encephalographie (Page 148-152)