que les boules fermees contiennent uniquement les sommets de l'element en question). On a la une autre caracterisation de la triangulation de Delaunay. D'un point de vue synthetique, la technique de Delaunay classique est une procedure iterative qui, a partir de la discretisation de la frontiere de l'objet a mailler, construit la triangulation contrainte de la bo^te englobante du domaine puis s'assure de l'integrite de la frontiere avant d'inserer des points internes au moyen du critere de Delaunay. Notons que la triangulation et les maillages de type Delaunay appliques aux methodes d'elements nis sont l'objet d'un livre entierement consacre a ce sujet [BOR-97].
2.4
Conclusion
Une t^ache dicile consiste a identi er clairement la methode capable de fournir un maillage adapte aux besoins, en fonction du type d'application envisagee. Generalement, la geometrie du domaine et le probleme physique a resoudre conditionnent le choix de la methode de generation de maillages. Dans notre cas, nous cherchons a mailler les di erents tissus de la t^ete a n de resoudre les equations de propagation des champs electromagnetiques engen- dres par les courants neuronaux par une methode aux elements nis (F.E.M.). Les maillages structures pour des geometries complexes telles que celles des tissus de la t^ete sont diciles a obtenir de maniere automatique. Des lors, une generation de maillages non-structures o re plus de souplesse pour notre problematique lors de la construction de maillage. Elle permet ainsi de trai- ter toute geometrie et donne une grande souplesse de creation des points des elements, rendant ainsi possible un certain contr^ole de la distribution de ces points. La modelisation aux elements nis pour le calcul du probleme di- rect que nous utilisons est egalement de nature simpliciale; cela nous a donc conduit a etudier une methode automatique concue a partir de tels elements [MAR-98]. La plupart des methodes actuelles de generation de maillages non- structures (octree, frontale et Delaunay) necessitent d'avoir une description surfacique (triangulation) des objets.
Des descriptions surfaciques d'objets anatomiques cerebraux pour ces types d'approches sont tres diciles a generer. En fait, l'utilisation de ces generateurs de maillages pose un certain nombre de problemes:
{ Les approches surfaciques necessitent une representation polyedrique d'un objet. Etant donne que nous trouvons plusieurs composantes connexes dans le cas des tissus de la t^ete, la procedure de maillage devient beau- coup plus complexe car elle doit satisfaire des contraintes surfaciques importantes entre les interfaces.
{ Etant donne la complexite geometrique des structures de la t^ete (no- tammentle cerveau), les representations surfaciques des objets a mailler presentent un nombre important de sommets (entre 104 et 105) et sont
non convexes. Cela complique alors les algorithmes fondes sur la geo- metrie et genere un nombre trop important d'elements.
De telles contraintes ont donc oriente notre choix vers une approche volu- mique de maillage permettant d'avoir un seul maillage des tissus de la t^ete pour la resolution du probleme direct et cela pour toutes les con gurations de sources neuronales possibles. Notre approche, que nous allons decrire dans les chapitres suivants, est fondee sur une decomposition spatiale du domaine d'inter^et (voir chapitre 3) suivie de transformations preservant la topologie du maillage (voir chapitre 4).
C H A P I T R E
3
Tetraedrisation presque reguliere
(
T:P:R :) de
IR3
Les tetraedres ayant un mauvais rapport de forme provoquent des in- stabilites numeriques dans les methodes aux elements nis. Idealement, un maillagetetraedriquedevrait ^etre constitued'elementsayant une formeproche du tetraedre regulier (toutes les faces sont des triangles equilateraux). D'autre part, le nombre de tetraedres doit ^etre compatible en termes de co^ut de calcul avec la resolution du problemedirect en E.E.G. et M.E.G. Ainsi,la generation de maillage que nous proposons est fondee sur une decomposition recursive de l'espace en des tetraedres ayant des ar^etes presque egales, appelee tetrae- drisation presque reguliere de IR3 (T:P:R:) dans laquelle la resolution (donc
le nombre d'elements) et la qualite des elements sont contr^olees.
Apres avoir de ni mathematiquement une T:P:R: (cf. section 3.1) de IR3,
nous demontrons les proprietes de connexite (cf. section 3.2) et de qualite geometrique (cf. section 3.3) d'une telle tetraedrisation.
3.1
Tetraedrisation Presque Reguliere de
IR3:
De nition
Contrairement a la dimension deux, il n'existe pas de partition reguliere tetraedrique deIR3. A n d'obtenir une partition aussi reguliere que possible
deIR3, nous introduisons la notion d'invariance en subdivision d'un tetraedre
et la notion de tetraedrisation presque reguliere.
De nition 3.1
Une tetraedrisation de IR3 est
presque reguliere
s'il est possible depaver IR3 avec des tetraedres dont la connexite est xe pour tout te-
De nition 3.2
Une transformation M telle que pour tout x de IR3
,
M(x) = B:x + bavec B 2 IR 3
IR 3 et b
2IR
3 s'appelle un
mouvement euclidien
siet seulement si BBt=Id et M est une bijection de IR
3 vers IR3.
De nition 3.3
Deux tetraedresT1 etT2 sont
congruents
(T1 T2) si et seulement si
il existe un mouvement euclidienM(x) tel que:
fqjq Sommet de T 1
g=fM(p)jp Sommet de T 2
g
La congruence n'impose aucune hypothese sur la preservation d'orienta- tion entre deux tetraedres. Nous verrons d'ailleurs (demonstration du theo- reme 3.6) que l'orientation change lors de la subivision d'un tetraedre in- variant par subdivision. Ainsi la conservation de l'orientation constitue un traitement distinct de la construction geometrique du maillage.
P1 P2 P4 P3 Q5 Q4 Q1 Q3 Q2 Q6
Fig. 3.1 { Un tetraedre T invariant par subdivision.
Propriete 3.4
[PES-01] Si T1 T 2 et T2 T 3 alors T1 T3. La relation de congruence etant