(a)
(b)
Fig. 6.21 { Etiquetage optimal avec segmentation en coupe oblique. (a) cerveau (b) cr^ane
cas de plusieurs objets. Ces criteres multi-objets permettrait d'eviter tous paradoxes topologiques et d'exprimer totalement la topologie des tissus de la t^ete.
6.4 T:P:R :
adaptees des tissus de la t^ete
Les di erentes contraintes qui interviennentdans la realisation d'un maillage tetraedrique adapte aux calcul des elements nis sont de prendre d'une part en compte les epaisseurs des di erentes interfaces delimitant les structures anatomiques et d'autre part d'avoir des tetraedres assez reguliers pour assu- rer la convergence des methodes de resolution. Les T:P:R: homotopiques des tissus de la t^ete decrites precedemment repondent a ces contraintes.
Neanmoins, d'autres contraintes interviennent dans la resolution du pro- bleme direct en M.E.G. et E.E.G. Premierement nous pouvons envisager d'avoir un pas de maillage adapte en volume aux gradients du potentiel elec- trique ou du champ magnetique. Pour cette contrainte, il est necessaire de
Fig.6.22 {Une representation en 3D d'un etiquetage homotopique (V = 0;6
et T = 0;8) d'une T.P.R. des tissus de la t^ete a la resolution NTh = 98304. conna^tre la position du dip^ole a priori et d'utiliser par exemple un estima- teur d'erreur lie a l'ar^ete d'un tetraedre (cf. section 5.1.2) a n de determiner les tetraedres ou l'adaptation est necessaire. En pratique, il n'est pas envisa- geable d'e ectuer cette adaptation de maillage pour toutes les positions de dip^oles tant leur nombre est important (de l'ordre de 40000 sommets pour une representation precise du cortex cerebral). En fait, ce genre d'adaptation peut ^etre envisage apres une premiere passe de la resolution du probleme inverse, ce qui permet d'avoir une premiere estimation de la position des dip^oles actifs.
Dans notre travail, nous nous sommesplut^ot interesses a creer un maillage globalement de bonne qualite pour toutes les positions de dip^oles possibles. Aussi, dans ce cadre, il existe une contrainte qui peut s'inserer dans notre de- marche. Cette contrainte se traduit par la necessite de disposer d'un maillage
6.4 T:P:R: adaptees des tissus de la t^ete
susamment n au niveau des interfaces a n de permettre une discretisation correcte des contraintes physiques surfaciques du potentiel electrique (cf. An- nexe 4). Pour cela, nous avons mis en uvre notre methode de h-adaptation par modi cations locales d'une T:P:R: decrite dans la section 5.2.
Dans ce type d'adaptation, la requ^ete d'anement est formulee aux som- mets des elements. Nous avons donc construit une requ^ete d'anement aux sommets en calculant la proportion de tissu d'un tetraedre de laT:P:R: et en le comparant a la proportion de tissu du tetraedre construit avec le sommet et le milieu des ar^etes du tetraedre de laT:P:R: consideree. Si la proportion maximale de tissu est di erente entre les deux tetraedres, le sommet doit su- bir un anement. A partir de cette requ^ete, nous avons etudie l'adaptation des T:P:R: en prenant d'une part les tissus separement puis ensuite regrou- pes. La gure 6.23 represente lesT:P:R adaptes pour les tissus de la t^ete pris separement. En comparant les T:P:R: adaptes a la T:P:R homotopique des tissus de la t^ete (cf. gure 6.16), nous remarquons que les maillages adap- tes suivent, plus precisement, les frontieres de la segmentation des tissus (cf. gure 6.6).
Le tableau 6.7 montre que le nombre de tetraedres crees reste raisonnable (environ 180000 tetraedres engendres). En e et, le nombre de tetraedre crees est a comparer a celui obtenu lors du passage de la resolution n = 4 (ie. environ 100000 tetraedres) a la resolution n = 5 d'une T:P:R: (ie. environ 700000 tetraedres). objet NTetra NA cerveau 151993 309330 cr^ane 149174 305984 scalp 173785 333996 tissus de la t^ete 213179 372734
Tab. 6.7 { Nombre de tetraedres NTetraet d'ar^etes NA des T:P:R: adaptees
pour les di erents objets mailles.
Etant donne qu'une h-adaptation par modi cations locales d'une T:P:R: in ue directement sur la distribution des longeurs d'ar^etes (cf. Annexe 4), nous avons mis au point un algorithme d'enumeration des ar^etes (cf. algo- rithme 6.5) d'un maillage tetraedrique. Cet algorithme correspond, a l'exten- sion en 3D, de celui propose par Frey [FREY-99].
Algorithme 6.5 pseudo-code de l'enumerationdes ar^etes d'un maillage
tetraedrique
SoitTh =fT;Vgun maillage tetraedrique avecT l'ensemble des tetra-
os fond fond fond cerveau (a) (b) (c) scalp
Fig. 6.23 { T:P:R (n = 4) adaptes d'un seul tissu. L'echelle de couleurs correspond a la proportion d'un seul tissu dans chaque tetraedre.
6.4 T:P:R: adaptees des tissus de la t^ete
Soit NTh le nombre de tetraedres de Th Soit Edges la liste des ar^etes de Th.
SoitEdges:Communs[j]la liste des tetraedres partageant l'ar^ete j dans Th
Soit Nj le nombre de tetraedres partageant l'ar^ete j dans Th
SoitEdges:Processed[i][6] un tableau de booleen indiquant si l'une des six ar^etes du tetraedre i de Th a deja ete traitee
initialisation:
Tous les elements de Edges:Processed[NTh][6] sont initialises a
faux
pour
K = 1 a NTpour
j = 1 a 6si
Edge:Processed[K][j] est fauxalors
inserer
l'ar^etej du tetraedre K dans la liste des ar^etes Edgeajouter
les tetraedres partageant l'ar^etej dans Edge:Communs[j]pour
n = 0 a Njpour
l = 1 a 6 Edge:Processed[Edge:Communs[j][n]][l]=vrai
n pour
ln pour
nn si
n pour
jn pour
KNous pouvons remarquer que la longueure des ar^etes d'une T:P:R adaptee tend, en moyenne, vers la dizaine de millimetres (cf. tableau 6.8 ainsi que les gures 6.24 et 6.25). Etant donne que l'ordre de grandeur des erreurs de localisation des sources neuronales du probleme inverse en E.E.G. et M.E.G. se situe egalement autour du centimetre, nous pouvons donc en conclure que le niveau de resolution d'uneT:P:R adaptee est susant.
Nous noterons egalement que la h-adaptation par modi cations locales d'une T:P:R: ne modi e pas excessivement la qualite globale du maillage puisque celle-ci reste de l'ordre de 0;8 0:2 pour la qualite Q
;1
(cf. ta-
bleau 6.9) et 1;3 0:5 pour la qualite Q (cf. tableau 6.10). Nous obser-
enmm (e) (e) min(e) max(e) cerveau 9;42 2;24 5;00 11;54
cr^ane 10;66 2;49 5;62 12;99 scalp 10;18 2;72 5;62 12;99 tissus de la t^ete 9;53 2;92 5;62 12;99
Tab.6.8 {Longueur e d'ar^ete d'une T:P:R:adaptee pour les di erents tissus mailles.
que la proportion d'elements de mauvaises qualites (min(Q;1
) = 0;40 et
max(Q ) = 2;59) reste relativement faible par rapport aux elements de
bonnes qualites (max(Q;1
) = 0;86 et min(Q ) = 1;07). (Q;1 ) (Q;1 ) max(Q;1 ) min(Q;1 ) cerveau 0;77 0;17 0;86 0;40 cr^ane 0;78 0;16 0;86 0;40 scalp 0;76 0;19 0;86 0;40 tissus de la t^ete 0;78 0;17 0;86 0;40 Tab. 6.9 { Qualite Q;1
d'une T:P:R: adaptee pour les di erents tissus
mailles. (Q ) (Q ) max(Q ) min(Q ) cerveau 1;31 0;47 2;59 1;07 cr^ane 1;29 0;45 2;59 1;07 scalp 1;35 0;49 2;59 1;07 tissus de la t^ete 1;31 0;47 2;59 1;07
Tab. 6.10 { Qualite Q d'une T:P:R: adaptee pour les di erents tissus
mailles.
Nous pensons que l'etiquetage homotopique d'une T:P:R: adaptee doit permettre de creer un maillage de qualite globale satisfaisante pour la reso- lution du probleme direct par elements nis. C'est pourquoi nous avons choisi d'evoquer cette approche possible de maillage adaptatif que nous n'avons fait que survoler pour l'instant, mais qui nous semble prometteuse. Il reste en- core beaucoup de travail a accomplir pour etudier les di erentes manieres de fusionner les contraintes topologiques d'etiquetage avec les contraintes ana- tomiques. En e et, dans uneT:P:R: adaptee, la dimension locale variable des tetraedres entra^ne une complexite dans la procedure d'etiquetage homoto- pique.