Generation de maillages non structures

deduite de celle du maillage source de facon evidente.

2.3

Generation de maillages non structures

Une solution dierente a la generation de maillages structures consiste a utiliser des maillages composes de simplexes (i.e. des tetraedres). Cette possibilite donne plus de souplesse lors de la construction du maillage. Elle permet ainsi de traiter toutes les geometries et donne une grande souplesse au processus de creation des points et des elements, rendant ainsi possible un contr^ole de la distribution de ces points. Comme indique, les maillages non structures sont principalement de nature simpliciale et les principales methodes automatiques sont concues a partir de tels elements. Toutefois, il existe egalement des methodes produisant des maillages non structures for- mes d'hexaedres. Neanmoins, de telles methodes sont beaucoup plus delicates tant a concevoir qu'a mettre en oeuvre.

Trois approches rentrent principalement dans le cadre de ces methodes automatiques: les techniques de decomposition spatiale (paragraphe 2.3.1), les methodes par avancee de front (paragraphe 2.3.2), et les methodes de type Delaunay (paragraphe 2.3.3).

2.3.1

Methodes de decomposition spatiale

Les methodes de decomposition spatiale ont ete introduites dans le do- maine de la generation de maillages il y a une quinzaine d'annees [THA-80], [SHEP-88]. Dans ces approches, l'objet a mailler est d'abord approche sous la forme de l'union de bo^tes ou cellules ayant une structure hierarchique d'arbre (un octree en 3 dimensions) qui sert a la fois d'espace de voisinage (pour localiser un point) et d'espace de contr^ole (pour trouver des informa- tions metriques). Cet arbre est ensuite utilise pour construire les elements dont les tailles souhaitees sont liees aux tailles de ses cases.

Principe genera

l. On construit en premierun recouvrementenglobant le domaine. Ce recouvrementest formede l'union de bo^tes (cellulesou cases) de tailles variables qui sont disjointes et qui constituent une partition d'une bo^te englobant le domaine. Les cellules sont recursivement subdivisees jusqu'a ce que la taille de chaque cellule terminale corresponde localement a la taille d'element souhaitee. On obtient alors un recouvrementde la bo^te englobante du domaine forme de cases dont la taille est liee aux tailles voulues. Les cellules terminales sont ensuite decomposees en elements, generalement des simplexes (tetraedres) de maniere a obtenir un maillage conforme de type elements nis. Le critere d'arr^et de la subdivision peut ^etre soit fonde sur

la courbure des entites geometriques presentes dans les cases intersectant la frontiere du domaine, soit fourni par un estimateur d'erreurs dans le cas d'un processus d'adaptation de maillages.

Caracteristiques principales.

La technique de decomposition spatiale genere un ensemble de cellules de tailles compatibles avec la geometrie de la frontiere et la fonction de distribution de tailles (si l'on dispose de cette information). De cette facon, comme la taille des cellules de l'arbre est direc- tement liee a la taille locale voulue, on obtiendra pour les elements une taille voisine de celle souhaitee. A la dierence d'autres methodes de generation de maillages, il n'y a pas de probleme particulier lors de la creation de points internes. En eet, les points internes sont choisis comme le coin des octants. De la sorte, la creation des points internes est simple et permet d'eviter cer- tains traitements (tel que le ltrage pour ecarter des points trop proches). En revanche, ce choix de positionnement donne une certaine rigidite au maillage cree. En d'autres termes, la distribution des points peut ^etre conforme par rapport aux contraintes de tailles des elements, mais la position de ces points n'est pas necessairement optimale. Par suite, le niveau d'optimisation requis apres la creation du maillage est generalement assez important.

2.3.2

Methodes frontales

Introduite par [GEO-71] en deux dimensions, cette methode a connu des developpements signicatifs depuis, proposes notamment dans [LO-85], plus recemment dans [RAS-95], [LOH-96] et [PER-97]. L'idee de base de cette methode consiste a construire le maillage element par element, a partir d'un front initial (i.e. une discretisation de la frontiere du domaine sous forme d'une liste d'ar^etes et de faces). Cette technique procede par creation et in- sertion de points (ou en s'appuyant sur des points deja crees) et par connexion de ces points a des entites du front pour former des elements. La partie du domaine encore non maillee est donc progressivement reduite et le front se deplace dans le domaine. Le front peut ^etre simplement deni comme la fron- tiere, c'est-a-dire l'ensemble des entites du maillage (de dimensiond;1 si d

est la dimension de l'espace), separant la partie du domaine deja maillee de la partie encore non maillee. L'algorithme procede iterativement. A chaque etape, une entitedu front est choisie et un nouveau point (adequat) est calcule et, eventuellement, insere dans le maillage courant s'il permet de construire un nouveau tetraedre de bonne qualite. A chaque creation d'un tetraedre, le front est mis a jour et evolue donc dynamiquement. Ce procede iteratif se termine lorsque le front est vide, le domaine etant alors entierement maille.

Points delicats.

Parmi les problemes recurrents de la methode frontale, on peut citer la selection d'une entite du front, l'identication des points (op-

2.3 Generation de maillages non structures

timaux) candidats et la validation des elements a partir de ces points. Toutes ces t^aches doivent ^etre assurees par des algorithmes robustes et ecaces, la convergence de la methode dependant etroitement de ceux-ci. En deux di- mensions, un resultat theorique relatif a la triangulation de polygones simples sans points internes permet de garantir la convergence de la methode fron- tale. Ce resultat ne s'etend pas a trois dimensions et le polyedre de Schonhart constitue le contre-exemple de reference (voir gure 2.8).

PAS DE SOLUTION

Fig. 2.8 { Le polyedre de Schonhart : triangulation contrainte d'un prisme regulier conduisant a une decomposition valide sans ajout de point interne (en haut) ou donnant une conguration impossible a decomposer (en bas).

2.3.3

Methodes de Delaunay

Les proprietes geometriques des triangulations de Delaunay ont ete etu- diees de longue date [DELA-34]. En 1850, Dirichlet a propose une methode de decomposition d'un domaine en un ensemblede polyedres convexes [DIRI-1850]. Neanmoins, l'application de ces approches a la generation de maillages n'a

ete exploree que beaucoup plus recemment dans [GREE-78], [HERME-80], [BOW-81], [WAT-81], [CEND-85] et egalement dans [CAV-85], [WEA-85]. Les strategies ont eu pour but, dans un premier temps, de relier un ensemble de points predeterminespar un maillage conforme sans pour autant optimiser la position de ces points. En outre, la triangulation de Delaunay d'un domaine ne preserve par l'integrite de sa frontiere, ce qui est l'un des prerequis des methodes de generation de maillages et necessite une attention particuliere. La plupart des techniques actuelles d'insertion des points internes est fondee sur l' algorithme de Bowyer-Watson [BOW-81] ou sur celui de Green-Sibson [GREE-78].

La triangulation de Delaunay peut ^etre introduite de dierentes manieres (en fontion du contexte d'application). Parmi celles-ci, il est commode d'uti- liser son dual, le diagramme de Vorono.

Denition 2.14

Soit S = fPkg, k = 1;:::N un ensemble ni de points. Le

diagramme de Vorono9 deS est l'ensemble des cellules V

i denies par:

Vi =fP : d(P;Pi)d(P;Pj);8j 6=ig

ou d( ; ) est la distance euclidienne entre deux points. Une cellule Vi

est donc le lieu des points les plus proches geometriquement dePi que

de tout autre point deS. Les cellules de Vorono ainsi construites sont des polyedres convexes.

La Triangulation de Delaunay est construite en joignant toutes les paires de points PiPj appartenant a deux regions de Vorono adjacentes et est pre-

cisement le dual du diagramme de Vorono associe a S. On obtient alors la triangulation ou tetraedrisation (en 3 dimensions) de l'enveloppe convexe des points Pi deS telle que les sommets des simplexes sont ces points.

L'ensemble des elements de cette triangulation ou tetraedrisation (en 3 dimensions) satisfait la propriete ou critere de Delaunay suivante:

Propriete 2.15

[DELA-34]

Soit le domaine =Conv(S), l'enveloppe convexe du nuage de points S.

Une triangulationTr est la triangulation de Delaunay de si les boules

circonscrites aux elements deTr ne contiennent aucun sommet de S.

La propriete 2.15, aussi appele critere de Delaunay, signie que les boules ouvertes associees aux elements de Tr ne contiennent aucun sommet (tandis

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