4.6 Considérations finales
4.6.2 Gestion des particules secondaires créées
⎧⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎩ exp(− ∫𝑃𝑆 𝑃0 Σ(𝑠, 𝐸)𝑑𝑠)𝑓 (𝜇) (𝑄(1 − 𝜂𝑖) + 𝜂𝑖 − 𝜂0) si 𝜂 ∈ [𝜂0; 𝜂𝑖] exp(− ∫𝑃𝑆 𝑃0 Σ(𝑠, 𝐸)𝑑𝑠)𝑓 (𝜇)𝑄(1 − 𝜂𝑖) + 𝜂𝑖 − 𝜂0 𝑄 si𝜂 ∈[𝜂𝑖; 1] (136)
4.6.2 Gestion des particules secondaires créées Problème rencontré
La division du photon se fait lors du choix de l’angle de diffusion 𝜔. Or, l’énergie des particules secondaires créées (par exemple l’électron Compton, voir l’annexe A) dépend directement de cet angle de diffusion. Toutes les variables aléatoires associées à la suite du suivi de ces particules sont conditionnées par cet angle, de la même manière que pour le photon diffusé.
Jusqu’à présent, la direction de diffusion d’une particule et le pas parcouru par la suite étaient représentés respectivement par les variables aléatoiresΩ et 𝑋 . Le reste de son histoire, en dehors de la diffusion étudiée, correspond aux variables 𝑋0 et 𝑋𝑛. La variable aléatoire étudiée pouvait alors s’exprimer comme 𝑌𝐷𝑜𝑠𝑒 = 𝑔0(𝑋0) + 𝑔(Ω, 𝑋, 𝑋𝑛) = 𝑌0 + 𝑌 . Ensuite, 𝑌 a pu être séparée en une somme de deux variables distinctes (voir4.4.5), représentant un photon déterministe et un photon complémentaire à la suite d’une diffusion. Or, la fonction 𝑔 dépend du reste de l’histoire de la particule 𝑋𝑛 après la diffusion. Le reste de cette histoire inclut également les particules secondaires éventuellement créées par la diffusion pour chaque photon, déterministe et complémentaire. La fonction 𝑔 apparaissant dans chaque terme de la somme après la séparation de𝑌 , il serait donc a priori nécessaire de suivre deux ensembles de particules secondaires, chacun associé à l’un des deux photons créés (à cause de la présence de𝑋𝑛 et𝑋𝑛′ dans l’équation111, qui indiquent que l’échantillonnage de la suite
de l’histoire de chaque photon est nécessaire). Par exemple, l’électron Compton associé au photon déterministe porterait le même poids que ce dernier, tandis que l’électron associé au photon complémentaire devrait être tué si ce dernier entrait dans la sphère lors du pas suivant l’interaction. Il en est de même pour toutes les particules secondaires créées par l’interaction, en l’occurence issues de la réorganisation des couches électroniques suite à l’éjection de l’électron.
Cette démarche serait toutefois très problématique : elle nécessiterait non seulement de suivre deux copies de chaque particule secondaire, en particulier les électrons dont le temps de simulation est long, mais également d’annuler la contribution de la moitié d’entre elles si le photon complémentaire entre dans la sphère. En outre, nous verrons en5.4que le poids du photon déterministe n’est connu au cours de la simulation que lors de son arrivée à la sphère. Le poids des particules secondaires associées ne pourrait donc pas être donné lors de leur création.
Pour un calcul de dose cependant, il est possible de simplifier le suivi des particules secondaires. La dose déposée au cours d’une histoire, qui est ici la variable d’intérêt, se présente en effet comme la somme des contributions de la particule primaire et des particules secondaires. Dans un tel cas, il est possible de suivre, sans biaiser l’estimation, une seule copie de chaque particule secondaire (et notamment un seul électron dans le cas de la diffusion Compton). Ces particules secondaires doivent être créées et suivies de manière analogue.
Le choix a donc été fait de conserver uniquement les particules secondaires créées lors de l’émission du photon complémentaire, dont la direction est échantillonnée de manière analogue. La démarche suivie est illustrée sur la figure33dans un cas simplifié comportant une seule particule secondaire.
Figure 33 – Schéma des possibilités de gestion des particules secondaires. La figure de gauche représente la situation par défaut, dans laquelle chaque particule est associée à une particule secondaire. La méthode utilisée, illustrée à droite, consiste à suivre de manière analogue les particules secondaires créées par le photon complémentaire.
Justification de la méthode choisie pour la gestion des particules secondaires
L’ensemble des processus aléatoires rencontrés dans l’histoire d’une particule, du pas suivant l’interaction jusqu’à sa disparition, peut être représenté par les variables 𝑋𝑝1… 𝑋𝑝𝑛
pour le photon, et 𝑋𝑠1… 𝑋𝑠𝑛 pour n’importe quelle particule secondaire. Par souci de simplification, on se limitera ici à deux variables,𝑋𝑝 pour le photon et𝑋𝑠 pour une particule secondaire quelconque. Ce qui suit est cependant généralisable pour l’ensemble de l’histoire du photon et de chaque particule secondaire. Dans ce cas, la variable aléatoire échantillonnée peut s’écrire𝑌 = 𝑔(Ω, 𝑋𝑝, 𝑋𝑠). Son espérance est alors :
E(𝑔(Ω, 𝑋𝑝, 𝑋𝑠)) = ∫ 𝑔(𝜔, 𝑥𝑝, 𝑥𝑠)𝑓 (𝜔, 𝑥𝑝, 𝑥𝑠)𝑑𝜔𝑑𝑥𝑝𝑑𝑥𝑠 (137) Dans le cas d’un calcul de dose, la fonction𝑔 est une somme des contributions du photon et de la particule secondaire, c’est-à-dire qu’elle vérifie
𝑔(Ω, 𝑋𝑝, 𝑋𝑠) = ℎ(Ω, 𝑋𝑝) + ℎ′(Ω, 𝑋𝑠) (138) Alors l’espérance peut s’écrire comme :
E(𝑌 ) = ∫ [ℎ(𝜔, 𝑥𝑝) + ℎ′(𝜔, 𝑥𝑠)]𝑓 (𝜔, 𝑥𝑝, 𝑥𝑠)𝑑𝜔𝑑𝑥𝑝𝑑𝑥𝑠 (139) =∫ ℎ(𝜔, 𝑥𝑝)𝑓 (𝜔, 𝑥𝑝, 𝑥𝑠)𝑑𝜔𝑑𝑥𝑝𝑑𝑥𝑠+ ∫ ℎ′(𝜔, 𝑥𝑠)𝑓 (𝜔, 𝑥𝑝, 𝑥𝑠)𝑑𝜔𝑑𝑥𝑝𝑑𝑥𝑠 (140) Dans cette étape intermédiaire, les deux intégrales correspondraient au suivi de deux couples photon-particule secondaire. Seule une des deux particules contribuerait à l’estimation pour chaque couple (à cause, respectivement, de la présence des fonctions ℎ(𝜔, 𝑥𝑝) et ℎ′(𝜔, 𝑥𝑠)). Pour l’application du transport pseudo-déterministe, on souhaite maintenant partitionner l’échantillonnage de l’angle de diffusion du photon. L’espérance devient :
E(𝑌 ) = ∫ ℎ(𝜔, 𝑥𝑝)𝑓 (𝜔, 𝑥𝑝, 𝑥𝑠)[1𝑆(𝜔) + 1𝑆(𝜔)]𝑑𝜔𝑑𝑥𝑝𝑑𝑥𝑠+ ∫ ℎ′(𝜔, 𝑥𝑠)𝑓 (𝜔, 𝑥𝑝, 𝑥𝑠)𝑑𝜔𝑑𝑥𝑝𝑑𝑥𝑠 (141)
=∫ ℎ(𝜔, 𝑥𝑝)𝑓 (𝜔, 𝑥𝑝, 𝑥𝑠)1𝑆(𝜔)𝑑𝜔𝑑𝑥𝑝𝑑𝑥𝑠 + ∫ ℎ(𝜔, 𝑥𝑝)𝑓 (𝜔, 𝑥𝑝, 𝑥𝑠)1𝑆(𝜔)𝑑𝜔𝑑𝑥𝑝𝑑𝑥𝑠 + ∫ ℎ′(𝜔, 𝑥𝑠)𝑓 (𝜔, 𝑥𝑝, 𝑥𝑠)𝑑𝜔𝑑𝑥𝑝𝑑𝑥𝑠
(142)
Il est ensuite possible de regrouper dans une seule intégrale les contributions de la particule secondaire et du photon complémentaire :
E(𝑌 ) = ∫ [ℎ′(𝜔, 𝑥𝑠) + 1𝑆(𝜔)ℎ(𝜔, 𝑥𝑝)]𝑓 (𝜔, 𝑥𝑝, 𝑥𝑠)𝑑𝜔𝑑𝑥𝑝𝑑𝑥𝑠 + ∫ ℎ(𝜔, 𝑥𝑝)𝑓 (𝜔, 𝑥𝑝, 𝑥𝑠)1𝑆(𝜔)𝑑𝜔𝑑𝑥𝑝𝑑𝑥𝑠
(143)
=𝐸1+ 𝐸2 (144)
L’estimation de la première intégrale correspond à une interaction analogue puis au suivi de toutes les particules créées. L’indicatrice sur𝑆 rend cependant nulle la contribution du photon (et seulement du photon) si ce dernier est dirigé vers la sphère.
L’intégrale𝐸2peut être à nouveau séparée en deux selon la distance parcourue pour le pas de la particule primaire, et on peut ainsi écrire :
𝐸2=∫ ℎ(𝜔, 𝑥𝑝)𝑓 (𝜔, 𝑥𝑝, 𝑥𝑠)1𝑆(𝜔)1𝐴(𝑥𝑝)𝑑𝜔𝑑𝑥𝑝𝑑𝑥𝑠 + ∫ ℎ(𝜔, 𝑥𝑝)𝑓 (𝜔, 𝑥𝑝, 𝑥𝑠)1𝑆(𝜔)1𝐴(𝑥𝑝)𝑑𝜔𝑑𝑥𝑝𝑑𝑥𝑠
(145)
Le second terme de𝐸2peut être regroupé avec le premier terme de l’expression deE(𝑌 ) pour obtenir :
E(𝑌 ) = ∫ [ℎ′(𝜔, 𝑥𝑠) + [1𝑆(𝜔) + 1𝑆(𝜔)1𝐴(𝑥𝑝)] ℎ(𝜔, 𝑥𝑝)]𝑓 (𝜔, 𝑥𝑝, 𝑥𝑠)𝑑𝜔𝑑𝑥𝑝𝑑𝑥𝑠 + ∫ ℎ(𝜔, 𝑥𝑝)𝑓 (𝜔, 𝑥𝑝, 𝑥𝑠)1𝑆(𝜔)1𝐴(𝑥𝑝)𝑑𝜔𝑑𝑥𝑝𝑑𝑥𝑠
(146)
La première intégrale de cette expression peut être estimée en réalisant une interaction, puis en suivant les particules secondaires de manière analogue. Le photon primaire, quant à lui, contribue seulement s’il n’est pas dirigé vers la sphère ou s’il ne l’atteint pas lorsqu’il y est dirigé : il s’agit du photon complémentaire du transport pseudo-déterministe. De plus, on a :
∫ 𝑓 (𝜔, 𝑥𝑝, 𝑥𝑠)𝑑𝑥𝑠 =𝑓(𝜔, 𝑥𝑝) (147) Le second terme de l’équation146peut donc s’écrire :
∫ ℎ(𝜔, 𝑥𝑝)𝑓 (𝜔, 𝑥𝑝)1𝑆(𝜔)1𝐴(𝑥𝑝)𝑑𝜔𝑑𝑥𝑝 (148)
Cette seconde intégrale ne dépend ainsi plus de 𝑥𝑠. Elle est donc estimée par l’émission et le suivi d’un unique photon sans particules secondaires. Ce terme peut ensuite être réécrit pour faire apparaître l’échantillonnage conditionnel de la direction puis du pas tel que :
∫ ℎ(𝜔, 𝑥𝑝)𝑓 (𝜔, 𝑥𝑝∣Ω ∈ 𝑆, 𝑋𝑝 ∈𝐴)𝑃(Ω ∈ 𝑆)𝑃(𝑋𝑝 ∈𝐴∣Ω = 𝜔)𝑑𝜔𝑑𝑥𝑝 (149)
Enfin, il est possible d’appliquer l’échantillonnage préférentiel tel que décrit en4.4.6pour obtenir l’expression correspondant au photon déterministe du transport pseudo-déterministe. Cette manière d’écrire et, en définitive, d’estimer l’espérance, permet de réduire le temps nécessaire au suivi des particules secondaires qui ne sont alors créées et suivies que pour le photon complémentaire.