Chapitre 3 : Simulation multi-niveaux 97
3.5 Forme particuli`ere du domaine de d´efaillance
Ici, nous nous pla¸cons dans le cas particulier o`u les domaines interm´ediaires peuvent s’´ecrire sous la forme suivante (c’est le cas de l’application pr´esent´ee au chapitre 4) :
Di={(X1,· · · , Xd−1, S) = (X, S), S−g(X)< li}, i= 1,· · ·, m, (3.5.1) avec l1> l2>· · ·> lm = 0 etg : x∈Ω⊂Rd−1 7→g(x) ∈R.
3.5.1 Isolement d’une variable
Nous nous placerons dans le cas o`uX ∈Rd−1 etS∈Rsont ind´ependants ;X est distribu´e suivant la densit´e de probabilit´e multidimensionnellef etS suivant la densit´e de probabilit´e unidimensionnellew. Nous souhaitons exploiter au maximum l’information que nous avons sur la variable al´eatoire S.
Les estimateurs des probabilit´es pi = P(Di|Di−1), i = 1,· · · , m de l’expression (3.1.1) peuvent alors s’´ecrire :
ˆ pi = 1
n Xn k=1
Wi(xk)
Wi−1(xk), xk∼f(·, Di−1), (3.5.2) avec Wi(x) =
Z
1Di(x, s)w(s)ds etf(x, Di−1) = Wi−1(x) P(Di−1)f(x).
f(·, Di−1) s’exprime comme ci-dessus car nous avons P((X, S) ∈Di−1, X ∈A) =
Z
A
f(x, Di−1)P(Di−1)dx, or,
Wi−1(x) =P((x, S)∈Di−1) =P((X, S)∈Di−1|X=x), ainsi,
P((X, S)∈Di−1, X∈A) = Z
A
Wi−1(x)f(x)dx.
Pour simuler une chaˆıne de Markov de loi stationnaire f(·, Di−1), on utilise alors l’algo-rithme suivant :
Soitp∗ choisie telle que : p∗(x, y) =p∗(y, x).
Pourk= 0,1,2,· · · :
Etant donn´e un ´etat´ xk∈Di−1,
1. G´en´erer un ´etat «candidat» x˜k :
ξk avec la probabilit´e min
1,f(ξk) f(xk)
xk−1 avec la probabilit´e 1−min
1,f(ξk) f(xk)
2. Choix de l’´etat suivant : xk+1=
xk avec la probabilit´e min
V´erifions que cet algorithme cr´ee une chaˆıne de Markov admettant pour loi stationnaire f(·, Di−1). Soitp(·,·) la densit´e de transition entre deux ´etats d’une chaˆıne partant deDi. Pour
3.5.2 Propri´etes de l’estimateur
Le premier estimateur ˆp1 est un estimateur classique d’une m´ethode de Monte Carlo direct : il est sans biais et converge presque sˆurement vers P(D1) quandn→ +∞. Son coefficient de variation est donn´e par :δ12 = 1−P(D1)
P(D1)n1 .
Nous allons maintenant ´etudier les estimateurs ˆpi, i= 2,· · ·, m, la chaˆıne de Markov nous permet d’obtenir des r´ealisations de variables al´eatoires selon f(·, Di−1) mais non ind´epen-dantes. La d´ependance n’affecte pas la convergence presque sˆure de ˆpi versP(Di|Di−1) quand
Nous allons `a pr´esent ´etudier l’erreur quadratique moyenne de ˆpi : soit nci le nombre de chaˆınes de Markov simul´ees en parall`ele, les ´etats initiauxx(k)0 ∈Di−1, k= 1,· · ·nci ne sont pas n´ecessairement tous diff´erents. Chaque chaˆıne comporte ni/nci ´etats.
On note Ijk(i) = Wi(x(ijk−1))
Wi−1(x(ijk−1)), o`u x(i−1)jk d´esigne leki`eme ´etat de laji`eme chaˆıne de Markov partant du domaine Di−1. On suppose que E
Wi(x) Wi−1(x)
Wi(˜x) Wi−1(˜x)
−P(Di|Di−1)2 = 0 si x et ˜x proviennent de chaˆınes diff´erentes. En reprenant les r´esultats de l’article [AB 01] , nous obtenons :
E
(ˆpi−pi)2
= E
1 ni
nci
X
j=1 ni/nci
X
k=1
Wi(x(ijk−1)) Wi−1(x(ijk−1)) −pi
2
= Ri(0)
n (1 +γi), o`u :
γi = 2
n/nX(c)i −1 k=1
1−kn(c)i n
!Ri(k) Ri(0) Ri(k) =Eh
(Ijl(i)−pi)(Ij,k+l(i) −pi)i
=Eh
Ijl(i)Ij,k+l(i) i
−p2i est la covariance entreIjl(i)etIj,l+k(i) pour chaquel= 1,· · · , ni/n(c)i .
3.6 Simulations sur des cas tests
Nous allons faire des essais sur des fonctions d’´etat limites analytiques.
3.6.1 Exemple 1
Nous reprenons l’exemple 1 en dimension 1 pr´esent´e en 2.4.1,X est une variable al´eatoire de loi normale centr´ee r´eduite et la fonction d’´etat limite est d´efinie par :
G(x) =x−Φ−1(10−5) (3.6.1) Le graphique 3.6.1 illustre l’´evolution des diff´erentes chaˆınes de Markov de lois stationnaires f(·, Di−1), i = 1,· · ·,5. La loi instrumentale est une loi sym´etrique : une gaussienne centr´ee sur l’´etat courant.
Les r´esultats pr´esent´es ci-dessus ont ´et´e obtenus `a partir d’un nombre total d’´etats de 500.
Les histogrammes des estimateurs sont trac´es `a partir de 2000 exp´eriences.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2
0246
x
G(x)
ech. suivant f ech. suivant f(.|D4) ech. suivant f(.|D3) ech. suivant f(.|D2) ech. suivant f(.|D)
Fig. 3.6.1 – Evolution des chaˆınes de Markov, exemple 1d´
0.00000 0.00005 0.00010 0.00015
0100002000030000400005000060000
probabilité de rupture
histogramme
subset sim niveaux adaptatifs vraie valeur
−7 −6 −5 −4
0.00.20.40.60.8
log10(probabilité de rupture)
histogramme
subset sim niveaux adaptatifs vraie valeur
Fig. 3.6.2 – Histogramme de probabilit´es de rupture, exemple 1d
3.6.2 Exemple 2
Sur cet exemple, la fonction d’´etat limite est maintenant d´efinie par :
G(x) =−p
|x1|+ 8∗exp(x2) (3.6.2)
X1 est une variable al´eatoire de loi normale centr´ee r´eduite et X2 une variable al´eatoire de moyenne 2 et de variance 1.
La figure 3.6.3 illustre l’´evolution des ´echantillons de loi f(·, Di−1), i = 1,· · ·,5 vers le domaine de d´efaillance. La loi instrumentale est une loi sym´etrique : une gaussienne centr´ee sur l’´etat courant.
Les r´esultats pr´esent´es ci-dessus ont ´et´e obtenus `a partir d’un nombre total d’´etats de 800.
Les histogrammes des estimateurs sont trac´es `a partir de 2000 exp´eriences.
−4 −2 0 2 4
−4−2024
x1
x2
G(x)=0
Fig. 3.6.3 – Evolution des chaˆınes de Markov, exemple 2d´
0e+00 2e−05 4e−05 6e−05 8e−05 1e−04
0100002000030000
probabilité de rupture
histogramme
subset sim niveaux adaptatifs vraie valeur
−5.5 −5.0 −4.5 −4.0
0.00.51.01.5
log10(probabilité de rupture)
histogramme
subset sim niveaux adaptatifs vraie valeur
Fig. 3.6.4 –Histogramme de probabilit´es de rupture, exemple 2d
3.6.3 Exemple 3
On consid`ere maintenant un exemple en dimension 4, la fonction d’´etat limite est donn´ees par :
G(x) =x21−x2+x3x4+ 10, (3.6.3) etX= (X1, X2, X3, X4) est un vecteur de lois normales centr´ees r´eduites ind´ependantes.
Les r´esultats pr´esent´es ci-dessus ont ´et´e obtenus `a partir d’un nombre total d’´etats de 1000.
Les histogrammes des estimateurs sont trac´es `a partir de 2000 exp´eriences. La loi instrumentale est une loi sym´etrique : une gaussienne centr´ee sur l’´etat courant.
3.6.4 Exemple 4
Nous allons comparer sur cet exemple simple l’estimateur de la probabilit´e de d´efaillance obtenu avec les estimateurs des probabilit´es conditionnelles d´efinis dans l’´equation (3.5.2) et celui obtenu avec les estimateurs des probabilit´es conditionnelles d´efinis dans l’´equation (3.3.1).
0.00000 0.00002 0.00004 0.00006 0.00008 0.00010 0.00012
050000100000150000
probabilité de rupture
histogramme
subset sim niveaux a priori subset sim niveaux adaptatifs vraie valeur
−8 −7 −6 −5 −4
0.00.20.40.60.8
log10(probabilité de rupture)
histogramme
subset sim niveaux a priori subset sim niveaux adaptatifs vraie valeur
Fig. 3.6.5 – Histogramme de probabilit´es de rupture, exemple 4d
Le domaine de d´efaillance est d´efini par :
G(x, s) = 400−10x−s, (3.6.4)
X est une variable al´eatoire de loi gaussienne de moyenne 80 et de variance 10 et S est une variable al´eatoire de loi Weibull de module 5, de param`etre d’´echelle 200 et de param`etre de localisation 0.
Les r´esultats pr´esent´es ci-dessus ont ´et´e obtenus `a partir d’un nombre total d’´etats de 1000.
Les histogrammes des estimateurs sont trac´es `a partir de 200 exp´eriences. La loi instrumentale est une loi gaussienne centr´ee sur l’´etat courant.
0e+00 1e−07 2e−07 3e−07 4e−07 5e−07
0.0e+005.0e+061.0e+071.5e+072.0e+07
probabilité de rupture
histogramme
estimateur 1 estimateur 2 vraie valeur
−9.0 −8.5 −8.0 −7.5 −7.0 −6.5 −6.0
0.00.51.01.52.0
log10(probabilité de rupture)
histogramme
estimateur 2 estimateur 1 vraie valeur
Fig. 3.6.6 –Histogramme des estimateurs dans le cas o`uX et S sont ind´ependants
Sur cet exemple, il apparaˆıt clairement que l’estimateur 1 (3.5.2) donne de meilleurs r´esul-tats que l’estimateur 2 (3.3.1). Dans l’estimateur 1, c’est seulement x qui est explor´e par la chaˆıne de Markov car on exploite toute l’information que l’on a surs, et dans l’estimateur 2, c’est sur les variablesx etsque ce fait l’exploration de la chaˆıne de Markov.