Estimation de quantile par variable de contrˆole

On cherche `a ´evaluer le α-quantile de Y. Par rapport `a la section pr´ec´edente, on suppose ici que Y = f(X) est la variable de sortie d’un gros code num´erique prenant en entr´ee un vecteur al´eatoire X, et qu’on dispose d’un mod`ele r´eduit (appel´e aussi surface de r´eponse ou m´etamod`ele) Z = f_r(X) qu’on connaˆıt bien. On suppose ici que f et f_r sont toutes deux `a valeurs dansR. On est capable de faire un grand nombre de calculs avec le mod`ele r´eduit, et on connaˆıt lesα-quantiles z_α deZ pour toutα. On va utiliser la v.a.Z comme contrˆole pour r´eduire la variance de l’estimateur du quantile deY.

On va proposer deux estimateurs de la fonction de r´epartition, l’un bas´e sur un principe de maximum de vraisemblance, l’autre sur la m´ethode usuelle de r´eduction de variance pour des simulations de Monte Carlo avec variable de contrˆole. On va voir que ces deux estimateurs sont en fait identiques, on va ´evaluer leurs propri´et´es asymptotiques, puis on va les utiliser pour estimer leα-quantile deY.

5.3.1 Estimation de la fonction de r´epartition par maximum de vraisemblance On reprend dans cette section les id´ees de Hsu and Nelson [HN 87]. On note, pour tout y∈R,

p₀₀(y) =P(Z≤z_α, Y ≤y) p₀₁(y) =P(Z ≤z_α, Y > y) p₁₀(y) =P(Z > z_α, Y ≤y) p₁₁(y) =P(Z > z_α, Y > y) Ces quatre probabilit´es sont li´ees par les relations

p₀₀(y) +p₀₁(y) = P(Z≤z_α) =α (5.3.1) p₁₀(y) +p₁₁(y) = P(Z > z_α) = 1−α (5.3.2) Si on arrive `a estimer les p_jl(y), alors on aura un estimateur deF(y) =P(Y ≤y) car

F(y) =p₀₀(y) +p₁₀(y)

Consid´erons un ´echantillon ((Y₁, Z₁), ...,(Y_n, Z_n)) de v.a. i.i.d. de mˆeme loi que (Y, Z). Fixons y∈R et notons

N₀₀(y) = Card{i= 1, ..., n , Z_i ≤z_α, Y_i≤y} N₀₁(y) = Card{i= 1, ..., n , Z_i ≤z_α, Y_i> y} N₁₀(y) = Card{i= 1, ..., n , Z_i > z_α, Y_i≤y} N₁₁(y) = Card{i= 1, ..., n , Z_i > z_α, Y_i > y}

Les v.a. N₀ = Card{i= 1, ..., n , Z_i≤z_α} etN₁ = Card{i= 1, ..., n , Z_i> z_α} v´erifient N₀+ N₁ =net

N00+N01=N0, N10+N11=N1

La loi jointe de (N00, N01, N10, N11) est multinomiale : P(N_jl=n_jl, j, l= 0,1) = n!

Q1

j,l=0n_jl! Y1 j,l=0

[p_jl(y)]^njl

En tenant compte du fait que les p_jl(y) sont li´es par les relations (5.3.1-5.3.2), le membre de droite ne fait apparaˆıtre que les deux param`etresp00(y) etp10(y) :

P(N_jl=n_jl, j, l= 0,1) = n!

Q1

j,l=0n_jl![p₀₀(y)]ⁿ⁰⁰[α−p₀₀(y)]ⁿ⁰¹[p₁₀(y)]ⁿ¹⁰[1−α−p₁₀(y)]ⁿ¹¹ On trouve alors facilement que les estimateurs du maximum de vraisemblance pour p₀₀(y) et p₁₀(y) sont :

ˆ

p₀₀(y) = αN₀₀(y)

N₀ , pˆ₁₀(y) = (1−α)N₁₀(y)

N₁ , (5.3.3)

conditionnellement enN₀ >0 et N₁ >0. On en d´eduit les estimateurs dep₀₁(y) et p₁₁(y) : ˆ

p₀₁(y) = αN₀₁(y)

N₀ , pˆ₁₁(y) = (1−α)N₁₁(y)

N₁ . (5.3.4)

Un estimateur deF(y) est donc :

Fˆ(y) = ˆp₀₀(y) + ˆp₁₀(y) = αN₀₀(y)

N₀ +(1−α)N₁₀(y)

N₁ (5.3.5)

5.3.2 Estimation de la fonction de r´epartition avec contrˆole Un estimateur par variable de contrˆole Z deF(y) est de la forme

Fˆ(y) = 1 n

Xn j=1

1Yj≤y−βˆ



1 n

Xn j=1

g(Zj)−E[g(Z)]



 (5.3.6)

o`u la fonctiongest `a choisir par l’utilisateur [Nel 80]. L’esp´eranceE[g(Z)] est suppos´ee connue.

Le param`etreβ optimal est le coefficient de corr´elation deg(Z) et 1<sub>Y≤y</sub>, qui est inconnu. On utilise alors le param`etre ˆβ d´efini comme la pente obtenue par r´egression lin´eaire des1_Yj≤y sur les g(Z_i) (m´ethode des moindres carr´es) :

βˆ= Pn

j=1(1_Yj≤y−Fˆ_n(y))(g(Z_j)−gˆ_n) Pn

j=1(g(Z_j)−ˆg_n)² avec

Fˆ_n(y) = 1 n

Xn i=1

1_Yi≤y, ˆg_n= 1 n

Xn i=1

g(Z_i)

On trouve alors que l’estimateur ˆF(y) peut se r´e´ecrire comme une somme pond´er´ee F(y) =ˆ

Xn j=1

W_j1_Yj≤y avec

W_j = 1

n+(ˆgn−E[g(Z)])(ˆgn−g(Zj)) P_n

i=1(g(Z_i)−ˆg_n)² , gˆ_n= 1 n

Xn i=1

g(Z_i) Notez queP_n

j=1W_j = 1.

Si on choisit g(z) =1_z≤zα, alors E[g(Z)] =α, ˆg_n=N₀/n (avec les notations de la section pr´ec´edente) et on trouve

W_j = α

N₀1_Zj≤zα+1−α

N₁ 1_Zj>zα (5.3.7)

L’estimateur de la fonction de r´epartition deY est Fˆ(y) =

Xn j=1

W_j1_Yj≤y =N₀₀(y) α

N₀ +N₁₀(y)1−α

N₁ (5.3.8)

On retrouve exactement l’estimateur (5.3.5) propos´e dans la section pr´ec´edente.

En utilisant les r´esultats classiques sur la r´eduction de variance pour les simulations de Monte Carlo [Nel 80], on trouve que l’estimateur avec variable de contrˆole (VC)

√n( ˆF(y)−F(y))|VCⁿ−→ N^→∞ (0, σ²), σ² =F(y)(1−F(y))(1−ρ²_I) (5.3.9)

o`uρ_I est le coefficient de corr´elation entre1_Y≤y et1_Z≤zα :

ρI = P(Y ≤y, Z ≤yα)−P(Y ≤y)P(Z ≤zα)

p(1−P(Y ≤y))P(Y ≤y)(1−P(Z ≤z_α))P(Z ≤z_α) (5.3.10)

= P(Y ≤y, Z≤y_α)−αF(y) pF(y)(1−F(y))√

α−α²

Ce r´esultat est `a rapprocher du th´eor`eme ´equivalent en absence de contrˆole, qui stipule que l’estimateur empirique (EE)

Fˆ(y)|EE= 1 n

Xn j=1

1_Yj≤y = N00(y) +N10(y) n

est asymptotiquement normal

√n( ˆF(y)−F(y))|EEⁿ−→ N^→∞ (0, σ²), σ²=F(y)(1−F(y))

ce qui montre une r´eduction de variance apport´ee par la m´ethode VC par le facteur 1−ρ²_I.

5.3.3 Estimation de quantile

On souhaite estimer leα-quantile deY en utilisant les r´esultats pr´ec´edents sur l’estimation de la fonction de r´epartition deY avec variable de contrˆole. On consid`ere la statistique d’ordre (Y<sub>(1)</sub>, ..., Y<sub>(n)</sub>) et les poidsW<sub>(i)</sub> d´efinis par (5.3.7) associ´es `a Y_(i). Vue l’estimation (5.3.8) de la fonction de r´epartition, l’estimateur duα-quantile est

Yˆ_α,n =Y_(K), K = inf (

j , Xj

i=1

W_(i) > α )

En utilisant des r´esultats sur la r´eduction de variance pour les m´ethodes de Monte Carlo par variable de contrˆole, on trouve que cet estimateur est asymptotiquement normal avec la variance

√n( ˆY_α,n−y_α)|VC^n→∞−→ N(0, σ²), σ² = α(1−α)

p²(y_α) (1−ρ²_I) (5.3.11) On rappelle que p est la densit´e de Y et ρI est le coefficient de corr´elation entre 1Y≤yα et 1_Z≤zα.

ρ_I = P(Y ≤y_α, Z ≤y_α)−P(Y ≤y_α)P(Z ≤z_α)

p(1−P(Y ≤y_α))P(Y ≤y_α)(1−P(Z≤z_α))P(Z ≤z_α) (5.3.12)

= P(Y ≤yα, Z ≤yα)−α² α−α²

Ce r´esultat est `a rapprocher du th´eor`eme ´equivalent en absence de contrˆole

√n( ˆYα,n−yα)|EE^n→∞−→ N(0, σ²), σ² = α(1−α) p²(y_α)

ce qui montre une r´eduction de variance par le facteur 1−ρ²_I. Comme attendu, plus les v.a.Y et Z sont corr´el´ees, et meilleure est la r´eduction de variance. Il n’est pas facile de construire un estimateur de la variance asymptotique, car il faut pour cela estimer la densit´ep(y_α). Par contre, il est facile de construire un estimateur du coefficient de corr´elation ρI, ce qui permet d’avoir une id´ee de la r´eduction de la variance. Cet estimateur est simplement le coefficient de corr´elation empirique ˆρI :

ˆ ρ_I =

P_n

j=1(1_Yj≤y−Fˆ_n(y))(1_Zj≤zα−Gˆ_n(z_α)) qP_n

j=1(1_Zj≤zα−Gˆ_n(z_α))²qP_n

j=1(1_Zj≤zα −Gˆ_n(z_α))² |_{y= ˆYα,n} avec

Fˆn(y) = 1 n

Xn i=1

1Yi≤y, Gˆn(zα) = 1 n

Xn i=1

1Zi≤zα

5.3.4 L’estimateur avec contrˆole optimal

Dans les sections pr´ec´edentes nous avons arbitrairement choisi la fonction g(z) = 1z≤zα

pour d´efinir la variable de contrˆole. Ce choix est pertinent dans le sens o`u il permet une

impl´ementation ais´ee et une r´eduction de variance sustantielle, mais il n’est pas optimal. En g´en´eral, la r´eduction de variance obtenue avec un estimateur avec contrˆole de la forme (5.3.6) d´epend du coefficient de corr´elation entre 1_Y≤y et le contrˆole g(Z). Le contrˆole optimal, qui maximise le coefficient de corr´elation, est obtenu avec la fonction [Rao 73]

g^∗(z) =P(Y ≤y|Z =z) (5.3.13)

Cette fonction est (suppos´ee) inconnue, car sinon, on saurait calculer analytiquement la fonc-tion de r´epartifonc-tion F(y) en calculant directement l’esp´erance de g^∗(Z), et on saurait alors d´eterminer num´eriquement le α-quantile en r´esolvant l’´equation F(y) =α. Cependant, cette remarque donne l’id´ee de base pour la mise au point de m´ethodes par variable de contrˆole raf-fin´ees, utilisant des approximations de la fonction de contrˆole optimaleg^∗. Des approximations continues ont ´et´e propos´ees qui sont difficiles `a impl´ementer en pratique [HJ 90]. Des approxi-mations discr`etes ont aussi ´et´e pr´esent´ees, qui elles se sont r´ev´el´ees faciles `a impl´ementer et tr`es efficaces [HeN 98]. Nous d´ecrivons maintenant cette m´ethode. On commence par choisir m+ 1 niveaux 0 = α0 < α1 < ... < αm = 1, et on note −∞ = zα0 < zα1 < ... < zαm = ∞ les quantiles correspondants de Z. Les intervalles (z_αj−1, z_αj] vont servir de strates dans la construction d’une approximation constante par morceaux de la fonction de contrˆole optimale.

Cette construction est bas´ee sur le d´eveloppement suivant de la fonction de r´epartition deY, qui n’est rien d’autre que la formule des probabilit´es totales :

F(y) = Xm j=1

P(Y ≤y|Z ∈(z_αj−1, z_αj])(α_j −α_j−1) (5.3.14) Les quantiles deZ ´etant connus, on voit que l’estimation de F(y) se r´eduit `a l’estimation des probabilit´es conditionnelles :

p_j(y) =P(Y ≤y|Z ∈(z_αj−1, z_αj]) (5.3.15) L’estimateur dit ”Poststratified Sampling” (PS) deF(y) est

Fˆ(y) = Xm j=1

ˆ

p_j(y)(α_j −α_j−1) o`u

ˆ p_j(y) =

Pn

i=11_{Zi∈(zαj−1,zαj]}1_Yi≤y Pn

i=11_{Zi∈(zαj−1,zαj]}

L’estimateur PS peut aussi bien s’´ecrire comme une somme pond´er´ee des variables indicatrices 1Yj≤y. La variance de l’estimateur PS est

Var( ˆF(y))|PS= 1 n

Xm j=1

(αj−αj−1)[pj(y)−pj(y)²] +O( 1

n²) (5.3.16)

En utilisant des exemples explicites gaussiens, il a ´et´e montr´e dans [HeN 98] que la r´eduction de variance optimale (celle que l’on obtient avec la fonction de contrˆole g^∗) peut ˆetre prati-quement atteinte avec une approximation discr`ete `a deux ou trois strates. En se basant sur des simulations num´eriques, les auteurs donnent des recommandations sur le choix du niveau α₁ =α pour la strat´egie PS `a deux strates. Ils appliquent aussi la strat´egie `a trois strates sur quelques exemples particuliers. Dans les prochaines sections, nous allons montrer que l’on peut en fait aller au del`a de la r´eduction obtenue avec la fonction de contrˆole optimale g<sup>∗</sup>(Z) ou avec ses approximations si on prend soin d’utiliser le mod`ele r´eduit de mani`ere diff´erente.

Dans le document Universit´e Denis Diderot Paris VII Th`ese (Page 176-181)