Quelques uns des codes internationaux

Il est observ´e exp´erimentalement que les particules ne cassent pas toutes en mˆeme temps, ce qui am`ene `a une mod´elisation probabiliste du ph´enom`ene, `a la fois `a travers une loi probabi-liste de rupture, mais aussi en s’int´eressant `a la variabilit´e des conditions. Les codes cherchant

`

a repr´esenter la r´ealit´e, il leur est donc demand´e d’arriver `a repr´esenter et `a terme pr´edire le nombre de ruptures observ´ees exp´erimentalement, ind´ependamment du contenu de la mod´e-lisation. Comme le nombre de ruptures dans des conditions exp´erimentales bien document´ees est faible, la marge de variation des mod`eles est grande. Il est ainsi possible d’observer des mod´elisations assez diff´erentes en ce qui concerne la physique et surtout la statistique de la rupture des particules. Ceci est aussi dˆu `a la grande fiabilit´e des particules sur des petites

ex-p´eriences, la difficult´e `a compter le nombre de particule d´efaillante sur les exp´eriences `a grande

´echelle, les difficult´es `a caract´eriser les particules et la forte variabilit´e de leurs performances si la fabrication a quelque peu chang´e.

4.2.2.1 Mod´elisations bas´ees sur une seule particule

Dans le pass´e, les allemands ont d´evelopp´e compl`etement un r´eacteurs prototype HTR, c’est `a dire qu’ils ont construit et fait accepter le d´emarrage du r´eacteur. Pour arriver `a ces fins, ils ont d´evelopp´e le code PANAMA [VN 90] qui repose sur le calcul de la contrainte dans la couche SiC due `a la pression des gaz de fission, en approximation couche fine. La densification du pyrocarbone n’est pas prise en compte, ce qui constitue une diff´erence majeure avec les autres codes pr´esent´es ici. Avec cette hypoth`ese, la pression SiC est toujours positive. En associant une probabilit´e de rupture `a cette contrainte, on obtient une probabilit´e toujours croissante. La probabilit´e de rupture est celle de la particule moyenne. Un exemple est donn´e figure 4.2.4. Cette mod´elisation est certes tr`es simple, mais comme elle a ´et´e valid´ee et utilis´ee pour un prototype licenci´e, elle a une grande long´evit´e.

contraintes (MPa)

60 120

0 20 40 80 100

500 700

100

0 200 300 400 600 t(jours)

10^−6 10^−5 10^−4

10^−9 10^−8 10^−7 10^−3 10^−2 10^−1 10^−0

0 5 10 15 20 25% FIMA

failure fraction

T=950°C

Fig. 4.2.4 – Evolution de la contrainte dans le SiC (`´ a gauche) et de la probabilit´e de rupture (`a droite) en fonction du temps par une formulation type PANAMA.

La plupart des codes plus r´ecents prennent en compte plus pr´ecis´ement les principaux ph´enom`enes, dont la densification sous irradiation du pyrocarbone. Cette densification cr´ee des contraintes importantes sur le SiC, qui sont relax´ees par le fluage (cf § 4.1.2.2). Ils sont g´en´eralement bas´es sur une r´esolution analytique de la m´ecanique (de l’´elasticit´e) dans la g´eom´etrie sph´erique des particules. Le fluage ´etant d´ependant du temps, celui-ci est trait´e sous forme d’incr´ements [Wal 72] ou bien en ´ecrivant tous les param`etres ´evolutifs sous forme de s´erie enti`ere [MB 93]. Les ´equations sont souvent utilis´ees de fa¸con approch´ee en supposant le SiC rigide [Mar 73].

JAERI, par exemple, utilise un mod`ele analytique simple [SS 96]. La probabilit´e de rupture

est obtenue en utilisant l’´evolution de la contrainte de la particule moyenne avec une contrainte

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a rupture dans le SiC al´eatoire et de moyenne d´ecroissante. L’´evolution de la probabilit´e de rupture d’une particule est estim´ee en fonction de la temp´erature et de l’´epaisseur du buffer.

Aucune m´ethode statistique n’est utilis´ee (les param`etres de la particules sont fix´es). Notons qu’il est suppos´e que le PyC ne rompt pas avant que le SiC ne soit lui-mˆeme rompu. Sur la base du design du HTTR, les r´esultats de JAERI sont compar´es avec ceux de Verfondern (PANAMA) [Sa 01]. Dans des conditions normales, il est bien observ´e que le SiC ne se retrouve pas en tension pour une particule intacte et cela ne peut donc conduire `a l’´evolution observ´ee des ruptures. Il est donc admis que certaines particules d´emarrent avec un SiC cass´e, la couche OPyC retient les produits de fission jusqu’`a sa rupture. Celle-ci est en tension et peut casser

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a tout moment au cours de l’irradiation.

Pour le code GOLT [Ga 02], la probabilit´e de rupture d’une particule est calcul´ee de fa¸con analytique mais le code ne travaille pas sur une population. Les param`etres dont l’influence est pr´esent´ee sont le diam`etre du noyau, l’´epaisseur du Buffer et des couches IPyC et SiC. Comme les probabilit´es de ruptures ne sont pas encore r´ealistes, l’analyse statistique est pr´esent´ee comme l’´evolution prochaine du code.

Avec les lois prises commun´ement, le pyrocarbonne obtient son maximum de contrainte assez tˆot dans l’irradiation et le SiC reste sous contrainte n´egative pendant longtemps. Ces mod`eles ont du mal `a retrouver le comportement en irradiation o`u les ruptures sont tr`es r´eparties.

4.2.2.2 Mod`eles analytiques utilisant des m´ethodes statistiques

Martin [Mar 79] est dans les premiers `a consid´erer des dispersions sur les donn´ees d’entr´ee.

Il insiste clairement sur l’importance de la variabilit´e des donn´ees des particules. Il d´eveloppe le code STRESS3 `a partir de la formulation math´ematique de Walther. Il propose ensuite :

1. d’utiliser une m´ethode de Monte Carlo directe sur un mod`ele simpliste, qui vient de Williamson et Horner [WH 71] et qui repose sur la formule :

P = 2 r

t₅σ₅− t₄g˙₄

K₄(1−ν₄) − t₆g˙₆ K₆(1−ν₆)

(4.2.4) o`u – 4,5 et 6 correspondent `a IPyC, SiC et OPyC respectivement ;

– σ : contraintes ;

– K : coefficient de fluage ;

– ν : coefficient de poisson pour le fluage ; – tl’´epaisseur ;

– P la pression, elle-mˆeme donn´ee par un mod`ele simple.

La contrainte `a rupture est tir´ee al´eatoirement suivant une loi de Weibull et le moment de la rupture en est d´eduit.

2. de remplacer le code par son d´eveloppement `a l’ordre 1 autour de la particule moyenne.

Le code ´etant alors lin´eaire, et les param`etres d’entr´ee gaussien, la r´eponse est gaussienne.

On utilise alors l’´equation de propagation d’erreur autour de la particule moyenne. Une relation lin´eaire est aussi prise en compte entre le burn-up et la contrainte. La densit´e de probabilit´e de rupture `a un burn-upb s’´ecrit (en adimensionn´e) :

p(b) = Z _∞

0

w(σ)g(σ−b)dσ (4.2.5)

Le taux de rupture s’´ecrit alors :

P_f(b) = Z b

−1

p(x)dx (4.2.6)

Dans [Mar 02], Martin pr´ecise que pour l’exp´erience HRB22 ou pour l’exp´erience 91F-1A, les ruptures ne peuvent pas ˆetre expliqu´ees par le comportement de la particule moyenne mais uniquement en consid´erant la dispersion des caract´eristiques.

Bongartz [Bon 80] au KFA `a Julich utilise aussi le mod`ele de Walther, dans l’approximation du SiC rigide. Il pr´esente 2 mod`eles statistiques :

1. Le mod`ele direct : 3 param`etres sont extraits dont l’´epaisseur du buffer qui est le plus important. Pour une contrainte donn´ee σ_i, et avec les deux autres param`etres fix´es, l’´epaisseur du buffer qui y correspondZ<sub>i</sub>(x, y) est d´etermin´ee par interpolation lin´eaire . La probabilit´e d’avoir une contrainte sup´erieure `a la valeur consid´er´e s’´ecrit :

Gi(σi) = Z _∞

0

Hx

Z _∞

0

Hy

Z Zi(x,y) 0

Hzdz dy dx (4.2.7) avec H_x la densit´e de r´epartition du param`etrex. Avec plusieurs contraintes, on extrait le polynˆome G(σ) qui passe par les diff´erents points obtenus. Finalement, la probabilit´e moyenne de rupture s’´ecrit :

P_f = Z _∞

0

w(σ)G(σ)dσ (4.2.8)

avec w la densit´e de la loi de Weibull correspondant `a la contrainte `a rupture du SiC.

2. Propagation d’erreur : la distribution de la contrainte est consid´er´ee comme gaussienne et la probabilit´e moyenne de rupture est directement d´eduite. La moyenne de la gaussienne des contraintes est suppos´ee ˆetre la contrainte de la particule moyenne et l’´ecart typeµ est suppos´e ˆetre :

µ= vu utX^N

1

(∂σ

∂x_iµ_i)² (4.2.9)

ou µ_i est l’´ecart-type de la distribution du param`etre i.N est le nombre de param`etres.

La probabilit´e moyenne de rupture P_f s’´ecrit : P_f =

Z _∞

0

w(σ)ϕ(σ)dσ (4.2.10)

o`u w est la densit´e de probabilit´e de la contrainte `a rupture (suivant une loi de weibull et Φ est la fonction de r´epartition de la gaussienne consid´er´ee.

Avec l’am´elioration des temps de calculs due aux progr`es des ordinateurs, ce sont des m´ethodes de Monte Carlo sur les mod`eles analytiques qui vont ˆetre en g´en´eral utilis´es par la suite, g´en´eralement un Monte Carlo direct. Par exemple, TIMCOAT [WBM 04] utilise une formulation analytique `a partir d’un d´eveloppement en s´erie infinie des termes en fonction du temps puis une m´ethode de Monte Carlo direct. Pour chaque particule, les caract´eristiques, dont sa contrainte `a rupture, puis ses conditions d’historique pour chacun de ses passages dans le r´eacteur (type PBMR) sont d´etermin´ees al´eatoirement. L’effet de la rupture de l’IPyC sur la probabilit´e de rupture du SiC est prise en compte analytiquement `a partir d’un mod`ele de rupture et de la variable K₁C. Lors d’un calcul sur des conditions de r´eacteur type PBMR [WBD 04], avec 1000000 de simulations, le r´esultat garde un ´ecart type sur l’erreur de 5.10⁻⁵ pour la probabilit´e moyenne de 3.4.10⁻5. Le code GOLT utilise pour le moment une m´ethode de Monte Carlo conditionnel, mais l’int´egration du tirage d’importance est envisag´e.

4.2.2.3 Utilisation des ´el´ements finis dans la mod´elisation

Bien que les formulations analytiques soient assez pr´ecises. Les simulations par ´el´ements finis restent la solution de r´ef´erence pour traiter les d´efauts localis´es ou l’effet des d´efauts de sym´etrie sph´erique. Dans [Ben 91], il est d’ailleurs montr´e que la mod´elisation par EF est plus pr´ecise, mˆeme dans le cas sph´erique. Dans le cas de simulation de d´efauts, les contraintes obtenues sont fortement inhomog`enes. La probabilit´e de rupture peut ˆetre calcul´ee `a partir des contraintes obtenues par EF en consid´erant la rupture comme un processus de Poisson. C’est

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a dire que l’on fait sur le maillage une int´egration volumique du terme (σ/σ₀)^m. Quelques d´eveloppements peuvent ˆetre faits pour traiter analytiquement quelques cas de d´efauts ou d’asph´ericit´e et ´eviter l’utilisation des ´el´ements finis. Wang [WB 03] d´etaille grˆace `a la th´eorie de propagation des rupture la probabilit´e de rupture SiC associ´ee `a une rupture du PyC, par des formules analytiques, qui est int´egr´ee `a TIMCOAT. Martin [Mar 02] trait´e analytiquement l’ovalisation des particules, et propose la simulation des couches cass´ees en mettant `a z´ero la rigidit´e de la couche concern´ee, ceci pouvant ˆetre fait en cours de calcul.

Miller [MW 94] traite des particules asph´eriques grˆace `a une simulation par EF. Pour re-tomber sur le calcul statistique que l’on peut avoir avec les formules analytiques, une particule

avec d´efaut sera repr´esent´ee par une particule sph´erique dont la contrainte (ou la containte `a rupture) sera corrig´ee pour retomber sur la mˆeme probabilit´e. on veut trouver une transfor-mation ou un σ₀^′ tel que

Z σ_a σ₀

m

dV =

Z σ_s σ^′₀

m

dV, (4.2.11)

o`u σ_a est le champ de contrainte de la particule asph´erique,σ_s la contrainte dans la particule sph´erique etσ₀ une caract´eristique mat´eriau.

en supposant que l’on peut ´ecrire : Z

(σ_a)^mdV = Z

(σ_an)^mdV

(f(t))^met Z

(σ_s)^mdV = Z

(σ_sn)^mdV

(g(t))^m, o`u l’indice nsignifie nominal (par exemple en fin d’irradiation).

la rupture dans une particule asph´erique pourra ˆetre d´etermin´ee en comparant la contrainte

`

a rupture `a une contrainte ´equivalenteσ ´ecrite de la forme :

σ=σ_nsf(t)E(ε) (4.2.12)

ou t est l’´ecart `a la particule moyenneεest l’asph´ericit´ef etE sont des fonctions d´etermin´ees par des calculs EF. Finalement, une m´ethode de Monte Carlo directe est appliqu´e en tirant al´eatoirementt,ǫet la contrainte `a rupture.

Le code PARFUME [MPM 02] peut utiliser les EF pour simuler des particules non sph´e-riques. Dans les cas usuels, la statistique est r´ealis´ee par Monte-Carlo direct `a partir d’un mod`ele analytique simplifi´e prenant en compte la distribution des param`etres g´eom´etriques des particules. Il prend en compte de fa¸con diff´erentielle n’importe quel historique de temp´e-rature et fluence [MPVM 03].

Comme la mod´elisation des particules par EF est tr`es longue et les probabilit´es recherch´ees tr`es faibles, les r´esultats des simulations par EF seront toujours rattach´ees `a des formules analytiques, sur lesquelles un calcul statistique sera r´ealis´e.

4.3 Analyse de sensibilit´e du code ATLAS

Cette ´etude de sensibilit´e a fait l’objet d’une note technique [PC 05], nous en reprenons le contenu. Cette ´etude a pour objectif de mettre, tout d’abord, en ´evidence les sources d’incer-titude en entr´ee et de d´ecrire le comportement g´en´eral du code soumis `a cette incertitude, et aussi de classer les diff´erentes sources d’incertitudes en deux cat´egories : param`etres influents ou non influents.

4.3.1 Incertitude en entr´ee

Les sources d’incertitude peuvent ˆetre class´ees en trois grandes cat´egories : les param`etres

Dans le document Universit´e Denis Diderot Paris VII Th`ese (Page 140-146)