Estimation d’un quantile

On est int´eress´e par la d´etection d’unα-quantile deY, avec α proche de 1. Un estimateur duα-quantile deY est :

Yˆ_α,n|SC= infn

y,Fˆ(y)> αo

o`u ˆF(y) est l’estimateur de la fonction de r´epartition que l’on vient de d´ecrire. La d´efinition est correcte car ˆF(y) est une fonction croissante dey, qui est nulle poury assez petit et ´egale

`

a 1 pour y assez grand.

L’estimateur ˆY_α,n est asymptotiquement normal

√n( ˆY_α,n−y_α)|SCⁿ−→ N^→∞ (0, σ²), σ²= P_m

j=1

(αj−αj−1)² βj

p_j(y_α)−p_j(y_α)² p²(yα)

o`up est la densit´e deY.

Si Z et Y sont corr´el´ees positivement, on a alors int´erˆet `a mettre plus de points dans la queue de distribution de la v.a. de contrˆole Z, afin de renforcer le nombre de r´ealisations potentiellement int´eressantes. La stratification contrˆol´ee en quatre strates d´ecrite page 167 semble un bon compromis. Du moins, elle apparaˆıt performante sur les quelques exemples que nous avons ´etudi´es.

Nous donnons dans le prochain paragraphe les r´esultats pour quatre exemples qui nous ont sembl´e typiques de situations r´ealistes.

5.4.2.2 Simulations Exemple 1 : fonction 1D

On consid`ere la situation suivante.X est suppos´ee ˆetre une v.a. gaussienne centr´ee r´eduite, et les fonctionsf etfr sont donn´ees par

f_r(x) =x², f(x) = 0.95x²[1 + 0.5 cos(10x) + 0.5 cos(20x)] (5.4.5) et sont dessin´ees sur la figure 5.4.1a. Les quantiles de la v.a. de contrˆole Z = f_r(X) sont calculables analytiquement :

z_α =

Φ⁻¹

1 +α 2

2

Ceux de Y ne le sont pas, comme on peut le voir en tra¸cant la densit´e de probabilit´e de Y (figure 5.4.1b) obtenue par une simulation de Monte Carlo intensive (avec 5×10⁷ r´ealisations).

a) ^{−4 −2 0 2 4}

0 5 10 15 20 25 30

x

y

modele y=f(x) modele reduit z=f_r(x)

b) ^{0 1 2 3 4 5 6 7}

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰

y

pdf

pdf de Z pdf de Y

c) ^{2 3 4 5 6 7}

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

y

histogramme

quantile empirique quantile avec SC vrai quantile

Fig. 5.4.1 – Figure a : graphes des fonctions f et f_r donn´ees par (5.4.5). Figure b : pdf de Y = f(X) et Z = f_r(X) pour X ∼ N(0,1), obtenues avec 5×10⁷ tirages de Monte Carlo.

Figure c : Estimations du α-quantile pour la v.a. Y = f(X) avec α = 95% `a partir d’un

´echantillon de taille n = 200. Les histogrammes des estimateurs sont trac´es `a partir de 10⁴ exp´eriences.

On souhaite d´eterminer le α-quantile de Y. On dispose d’un nombre limit´e n d’appels `a la fonction f, mais d’un nombre quasi-illimit´e d’appels `a la fonction r´eduite f_r. On utilise la m´ethode de stratification contrˆol´ee avec les param`etres d´ecrits page 167, et on compare le quantile obtenu avec le quantile empirique (figure 5.4.1c). On peut voir d’une part que le quantile empirique a beaucoup de mal `a pr´edire la valeur du vrai quantile, tandis que l’estimateur avec stratification contrˆol´ee apparaˆıt plus performant. En utilisant des simulations intensives, nous avons d´etermin´e le 0.95-quantile deY :y0.95= 3.66, ainsi que le coefficient de corr´elation entreY etZ :ρ= 0.84. La r´eduction de variance de la m´ethode par stratification contrˆol´ee est li´e au coefficient ρI, qui peut aussi ˆetre ´evalu´e par les simulations et l’´equation (5.3.12) :ρ_I = 0.52.

Exemple 2 : fonction 2D

On effectue le mˆeme travail dans le cas o`u X = (X₁, X₂) est un couple de v.a. normales centr´ees r´eduites ind´ependantes et les fonctionsf etf_r sont donn´ees par :

f_r(x₁, x₂) = x²₁x₂, (5.4.6)

f(x₁, x₂) = 0.95x²₁[1 + 0.5 cos(10x₁) + 0.5 cos(20x₁)]

×x₂[1 + 0.4 cos(7x₂) + 0.3 cos(14x₂)] (5.4.7) Ces fonctions et leur densit´e de probabilit´e sont illustr´ees en figure 5.4.2 (a, b, c).

a)

−40 −2 0 2 4

10 20 30 40

x1

y

modele y=f(x 1,1) modele reduit z=f

r(x 1,1)

b)

−4 −2 0 2 4

−4

−2 0 2 4 6

x2

y

modele y=f(1,x 2) modele reduit z=f

r(1,x 2)

c) ^{0 1 2 3 4 5 6 7}

10⁻² 10⁻¹ 10⁰

y

pdf

pdf de Z pdf de Y

d) ^{1 2 3 4 5}

0 0.5 1 1.5 2 2.5

y

histogramme

quantile empirique quantile avec SC vrai quantile

Fig. 5.4.2 – Figures a,b : graphes en coupe des fonctions f(x₁, x₂) et f_r(x₁, x₂) donn´ees par (5.4.6-5.4.7). Figure c : pdf de Y = f(X₁, X₂) et Z = f_r(X₁, X₂) pour X₁, X₂ ∼ N(0,1), obtenues avec 5×10⁷ tirages de Monte Carlo. Figure d : Estimations du α-quantile pour la v.a.Y =f(X₁, X₂)avecα= 95%`a partir d’un ´echantillon de taillen= 200. Les histogrammes des estimateurs sont trac´es `a partir de 10⁴ exp´eriences.

Ici encore, la m´ethode par stratification contrˆol´ee r´eduit de mani`ere significative la variance de l’estimateur du quantile, par rapport `a l’estimateur empirique, comme on peut le voir sur la figure 5.4.2d.

Exemple 3 : fonction d’Ishigami

On effectue le mˆeme travail dans le cas o`u X = (X₁, X₂, X₃) est une famille de trois v.a.

uniformes sur [−π, π] et les fonctionsf etf_r sont donn´ees par :

f_r(x₁, x₂, x₃) = 1.908 + 1.727x₁+ 2.059x²₂−0.2756x³₁

−0.2663x⁴₂+ 0.2499x²₃x₁, (5.4.8) f(x₁, x₂, x₃) = sin(x₁) + 7 sin(x₂)²+ 0.1x⁴₃sin(x₁) (5.4.9)

Ici, la fonction f est la fonction d’Ishigami, bien connue en analyse de sensibilit´e [HS 96], et illustr´ee en figure 5.4.3 (a, b, c, d).f_r est une surface de r´eponse polynomiale `a cinq monˆomes (l’intercept ne jouant aucun rˆole dans le contrˆole). Elle a ´et´e ajust´ee par r´egression lin´eaire multiple `a partir d’une base de 10000 calculs def. Seuls les monˆomes dont les coefficients ont

´et´e jug´es significativement non nuls par le test de Student (t-values) ont ´et´e conserv´es. On constate que les termes de f_r correspondent `a ceux du d´eveloppement limit´e `a l’ordre 4 de la fonctionf, et ainsi que la surface de r´eponse ne reproduit pas toute la variabilit´e def (figure 5.4.3 a, b, c, d).

Les capacit´es d’approximation de la surface de r´eponse peuvent ˆetre mesur´ees `a l’aide du coefficient de d´etermination de la r´egression : R² = 0.75. Par validation crois´ee (la base des 10000 points est divis´ee en 100 intervalles), on v´erifie que le R² en pr´ediction est du mˆeme ordre de grandeur : R²_pred = 0.74. Dans la m´ethode de stratification contrˆol´ee, c’est la valeur du coefficient de corr´elation entre f(X) etf_r(X) qui est importante ; ici on aρ= 0.86, ce qui montre une corr´elation forte.

Leα-quantile de Z = f_r(X) estz_α ≃8.51, assez loin du α-quantile de Y =f(X) qui est y_α ≃9.30 (voir figure 5.4.3e). La surface de r´eponse ne peut pas ˆetre utilis´ee ici pour estimer directement le quantile, mais elle peut ˆetre efficacement utilis´ee avec la stratification contrˆol´ee : celle-ci r´eduit de mani`ere significative la variance de l’estimateur du quantile, par rapport `a l’estimateur empirique, comme on peut le voir sur la figure 5.4.3e.

Exemple 4 : fonction de Morris

On effectue le mˆeme travail dans le cas o`u X = (Xi)i=1,...,10 est une famille de dix v.a.

uniformes sur [0,1] et la fonctionf est une simplification de la fonction de Morris, bien connue

a) ^{−3 −2 −1 0 1 2 3}

0 5 10 15

x₁

y

modele y=f(x₁,1,1) modele reduit z=f_r(x₁,1,1)

b) ^{−3 −2 −1 0 1 2 3}

0 5 10 15

x₂

y

modele y=f(1,x₂,1) modele reduit z=f_r(1,x₂,1)

c) ^{−3 −2 −1 0 1 2 3}

0 5 10 15

x₃

y

modele y=f(1,1,x 3) modele reduit z=f_r(1,1,x₃)

d) ^{−10 −5 0 5 10 15}

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹

y

pdf

pdf de Z pdf de Y

e) ^{5 10 15}

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y

histogramme

quantile empirique quantile avec SC vrai quantile

Fig. 5.4.3 –Figures a,b,c : graphes en coupe des fonctions f(x₁, x₂, x₃) et f_r(x₁, x₂, x₃) don-n´ees par (5.4.8-5.4.9). Figure d : pdf de Y = f(X₁, X₂, X₃) et Z = f_r(X₁, X₂, X₃) pour X₁, X₂, X₃ ∼ U(−π, π), obtenues avec 5×10⁷ tirages de Monte Carlo. Figure e : Estimations duα-quantile pour la v.a.Y =f(X₁, X₂, X₃) avec α= 95% `a partir d’un ´echantillon de taille n= 200. Les histogrammes des estimateurs sont trac´es `a partir de10⁴ exp´eriences.

en analyse de sensibilit´e [Mor 91], donn´ee par : f(x) =

X10 i=1

w_i(x) + X

1≤i<j≤6

w_i(x)w_j(x) + X

1≤i<j<k≤5

w_i(x)w_j(x)w_k(x)

+ X

1≤i<j<k<l≤4

w_i(x)w_j(x)w_k(x)w_l(x) (5.4.10)

w_i(x) =





 2

1.1x_i

x_i+ 0.1−0.5

si i= 3,5,7 2(x_i−0.5) sinon

(5.4.11)

La fonction f_r est une surface de r´eponse polynomiale de degr´e deux, ajust´ee par r´egression lin´eaire multiple `a partir d’une base de 10000 calculs de f. Deux surfaces de r´eponse sont test´ees, une pas tr`es bien ajust´ee (avec R² = 0.7 etρ= 0.82), et l’autre de bonne qualit´e avec (R² = 0.9 et ρ = 0.95). Leur densit´e de probabilit´e est compar´ee `a celle def en figure 5.4.4 (a, b).

On compare sur la figure 5.4.4 (c, d) les r´esultats de la stratification contrˆol´ee avec ces deux surfaces de r´eponse. Une fois de plus, la stratification contrˆol´ee r´eduit de mani`ere significative la variance de l’estimateur du quantile. Cette r´eduction est d’autant plus importante que le coefficient de corr´elation ρ entref(X) et f_r(X) est ´elev´e.

a) ^{−100 −50 0 50 100}

10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻²

y

pdf

pdf de Z pdf de Y

b) ^{−100 −50 0 50 100}

10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻²

y

pdf

pdf de Z pdf de Y

c) ^{65 70 75 80 85 90 95}

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

y

histogramme

quantile empirique quantile avec SC vrai quantile

d) ^{65 70 75 80 85 90 95}

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

y

histogramme

quantile empirique quantile avec SC vrai quantile

Fig. 5.4.4 – En haut : pdf de Y =f(X) et Z =f_r(X) pour X= (X_i)_i=1,...,10 et X_i ∼ U(0,1), avec une surface de r´eponse de R² = 0.7 (a) et R² = 0.9 (b). En bas : Estimations du α-quantile pour la v.a. Y =f(X) avec α= 95% `a partir d’un ´echantillon de taillen= 200. Les histogrammes des estimateurs sont trac´es `a partir de 10⁴ exp´eriences. On utilise une surface de r´eponse avecR²= 0.7 (resp.R² = 0.9) comme variable de contrˆole sur la figure c (resp. d).

Dans le document Universit´e Denis Diderot Paris VII Th`ese (Page 184-189)