1.2 Indices de fiabilit´e et m´ethodes d’approximation
1.2.3 Couplage m´ecano-fiabiliste
Pour une pr´esentation d´etaill´ee des probl`emes de couplages, on peut se reporter au livre de M. Lemaire [Lem 05]. Deux approches sont envisag´ees :
Le couplage direct
Le calcul de fiabilit´e fait directement appel au code m´ecanique (souvent un mod`ele utilisant les ´el´ements finis) `a chaque calcul de la fonction d’´etat limite. Pour une m´ethode fiabiliste choisie, chaque fois que l’algorithme requiert une ´evaluation m´ecanique, le logiciel fiabiliste envoie un jeu de param`etres au logiciel m´ecanique qui renvoie `a son tour la r´eponse m´ecanique associ´ee, qui servira `a l’´evaluation de la fonction d’´etat limite. La figure (1.2.4) illuste le couplage direct.
fiabiliste code
mécanique code
coordonnées, temps, ...
valeur de G
gradient (si possible)
variables aléatoires
fonction d’état limite G
Fig. 1.2.4 – Principe du couplage direct (illustration issue de [CDP 05])
Le couplage par surface de r´eponse
On utilise un mod`ele reduit explicite soit pour approcher le code m´ecanique, soir pour approcher la surface d’´etat limite.
Approximation du mod`ele m´ecanique
On parle alors de strat´egie de surface de r´eponse globale. La principale question concerne l’erreur associ´ee `a l’utilisation de cette surface de r´eponse, qui est une approximation du mod`ele m´ecanique, lui mˆeme approximation de la r´ealit´e ; de plus, le nombre de simulations n´ecessaires
`
a la construction d’un mod`ele valide globalement peut ˆetre ´elev´e.
Toutes les familles de surfaces de r´eponse peuvent ˆetre utilis´ees dans cette approche, on peut citer les splines, les mod`eles lin´eaires g´en´eralis´es, les mod`eles PLS (Partial Least Square) , les machines `a vecteurs support, ... Pour obtenir des informations compl`etes, on peut se r´ef´erer `a [HTF 02].
Approximation de la surface d’´etat limite
On parle ici de strat´egie locale. Le probl`eme d’optimisation (P) doit alors ˆetre r´esolu sous la contrainte ˜H(u) = 0 o`u ˜H est la surface de r´eponse approchant H. Pour une description d´etaill´ee, on peut consulter [Dev 96] ou [ML 99]. Les avantages de l’utilisation des surfaces de r´eponse r´esultent principalement de la simplification des calculs et en particulier dans le cas o`u le calcul du gradient par diff´erences finis n’est pas possible ou trop coˆuteux. Les principales variantes viennent des diff´erents choix possibles de familles de fonctions d’approximations et des diff´erents mani`eres de construire cette fonction. Elles doivent aussi r´epondre `a des besoins essentiels en fiabilit´e :
1. avoir une expression analytique qui ´evite de d´eformer les r´eponses dans les queues de distribution ;
2. avoir des formes facilement diff´erentiables pour faciliter la recherche des points de concep-tion.
Pour r´epondre `a ces attentes, les fonctions polynomiales sont fr´equement utilis´ees, elles pos-s`edent en effet des propri´et´es int´eressantes (simplicit´e de calculs, diff´erentiabilit´e, ...). La construction de ces fonctions peut ˆetre r´ealis´ee par interpolation, r´egression ou encore ajuste-ments successifs de polynˆomes `a une seule variable.
Des applications des m´ethodes de surface de r´eponse dans les probl`emes de fiabilit´e ont d´ej`a ´et´e test´ees par de nombreux auteurs [Far 89], [BB 90], [MLET 92], [MLBL 93], [RE 93], [EFS 94], [KN 97].
Bucher [BB 90] propose une m´ethode it´erative de construction de surfaces de r´eponse dans le mod`ele physique `a partir d’un plan d’exp´eriences tirant profit du mod`ele probabiliste. Le centre du premier plan d’exp´erience ¯x(0) est le point moyen, et les autres points sont choisis autour du point moyen et dans la direction des variablesxi `a une distancekiσxi o`u ki est une valeur arbitraire et σxi l’´ecart-type de la variable xi. A chaque it´eration, fi est r´eduit et le nouveau point central ¯x(k+1) est obtenu par :
¯
x(k+1)= ¯x(k)+
x(k)∗−x¯(k) G(¯x(k))
G(¯x(k))−G(x(k)∗) (1.2.16) o`u x(k)∗ est le point de conception calcul´e `a l’it´eration k. Cette approche a ´et´e reprise et am´elior´ee dans [RE 93] et [KN 97].
Des auteurs [MLET 92], [MLBL 93] et [EFS 94] proposent respectivement les m´ethodes SQR (Surface de R´eponse Quadratique) et ARERSA ; ces m´ethodes sont bas´ees sur le principe que l’on peut toujours construire une boule au voisinage du point de conception dans laquelle un polynˆomes de degr´e au plus deux est un bonne approximation.
Dans sa th`ese, N. Devictor [Dev 96] propose un algorithme adaptatif de construction de surface de r´eponse nomm´e RSAED (Response Surface with Adaptive Experimental Design).
Cet algorithme consiste `a adapter les plans d’exp´erience successifs pour les centrer dans les r´egions les plus int´eressantes `a partir des r´esultats obtenus aux ´etapes pr´ec´edentes. De plus il permet de r´eutiliser des points pr´ec´edemment calcul´es, il permet aussi de perturber des points trop proches afin que chaque calcul apporte de l’information suppl´ementaire, et enfin d’utiliser de nombreux indicateurs pour tester la qualit´e du plan d’exp´erience et de la surface de r´eponse.
On peut trouver une autre proc´edure adaptative dans [HH 99].
Dans sa th`ese, M. Pendola [Pen 00] propose deux m´ethodes permettant d’obtenir des r´esul-tats d’un mod`ele m´ecanique complexe en utilisant un mod`ele simplifi´e (surface de r´eponse) et
´etudie l’impact d’un mod`ele simplifi´e sur la fiabilit´e. La premi`ere nomm´ee Facteur de Correc-tion de Mod`ele suppose que dans un voisinage du point de concepCorrec-tion, le rapport des soluCorrec-tions des deux fonctions d’´etat limite peut ˆetre localement remplac´e par une constante (en consi-d´erant que les deux mod`eles se comportent de la mˆeme mani`ere). Cette m´ethode n’est pas applicable lorsque le mod`ele complexe fait appel aux ´el´ements finis. La deuxi`eme m´ethode, nomm´ee Approximation Fonctionnelle de l’´Ecart repose sur la quantification de l’´ecart de la r´eponse fournie par les deux mod`eles, c’est-`a-dire que l’´ecart de la r´eponse entre les deux mo-d`eles est suppos´e ˆetre une fonction d´eterministe des param`etres des momo-d`eles. En fait, plutˆot que d’approcher toute la surface d’´etat limite, on approche seulement l’´ecart.
Des m´ethodes de surface de r´eponse par r´eseaux de neurones ont aussi ´et´e utilis´es dans [PLT 98] et [DM 00], un r´eseau de neurones est substitu´e `a la r´eponse du mod`ele.
Une m´ethode de surface de r´eponse stochastique est propos´ee dans [IRG 98] et [Ber 05], les polynˆomes de chaos sont utilis´ees comme approximation de la fonction d’´etat limite dans les analyses de fiabilit´e.
R´ecemment, les m´ethodes de krigeage ont aussi ´et´e propos´ees en tant que surface de r´eponse de la surface d’´etat limite ; cette approche reprend le principe de Bucher d´ecrit par la formule (1.2.16) [Kay 05].