Chapitre 4 : Application au combustible HTR 113
4.4 Fiabilit´e du combustible
4.4.2 PBMR
4.4.2.2 Conditions en r´eacteur
Compte tenu de la puissance du r´eacteur et de la quantit´e d’uranium dans le coeur, la moyenne de vitesse de fission doit ˆetre de 1.21 10−9s−1 et nous prenons une fluence rapide moyenne ´egale `a 6 1017neutrons.m−2.s−1. Ces param`etres d’irradiation d´ependent eux aussi de la position dans le cylindre, nous leur affectons un facteur correctif en fonction de leur place dans le cylindre (cf. figure 4.4.5).
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8
0.60.81.01.21.4
rayon(m)
facteur de correction
vitesse de fission fluence rapide
0 2 4 6 8 10
0.00.51.01.52.0
hauteur(m)
facteur de correction
vitesse de fission fluence rapide
Fig. 4.4.5 –Facteur correctif de la vitesse de fission et de la fluence rapide en fonction de la place du boulet dans le cylindre, `a gauche le rayon, `a droite la hauteur
Nous affectons aussi un facteur correctif `a la vitesse de fission qui d´epend du nombre de passages des boulets : 1.5−0.65i o`u iest le nombre de passages. Apr`es 6 passages, le boulet est enlev´e du coeur.
La temp´erature moyenne du caloporteur en entr´ee (haut du cylindre) est de 500◦ C et la temp´erature moyenne du caloporteur en sortie (bas du cylindre) est de 950◦C. La temp´erature d’irradiation d´epend aussi de la position de la particule et l’expression de la temp´erature d’irradiation d’une particule est exprim´ee en fonction de sa position, du nombre de passages du boulet, et de la temp´erature du caloporteur :
Tpart=THe+ Q 4λpπ⌊ 1
rint − 1 rext
+ 1
2rint3 (rint2 −r2)⌋+ 2Qrext
AνλHe
, (4.4.1)
o`u :
THe la temp´erature du caloporteur : THe =
38.65
Z
CorV1dz−500
CorV2(1−z/13.75) +z/13.75 + 500,
o`u CorV1et CorV2 sont les facteurs correctifs de la vitesse de fission respectivement en fonction du rayon et de la hauteur ;
r la position radiale de la particule dans le boulet ;
rint= 2.5cm rayon de l’int´erieur du boulet, rempli avec les particules ; rint= 3cm rayon total du boulet ;
A la surface d’un boulet ; λp la conductivit´e du boulet ;
λHe = 0.3 la conductivit´e du caloporteur h´elium ; ν = 353 ;
Qla puissance totale du boulet.
Apr`es le sixi`eme passage, nous ´elevons la temp´erature `a 1873 K pour repr´esenter une situation accidentelle, c’est `a ce moment l`a que nous ´evaluons la fiabilit´e. Le taux de combustion final n’est qu’en moyenne 8.33% FIMA.
4.4.2.3 R´esultats
Le tableau 4.4.3 r´ecapitule les param`etres al´eatoires en entr´ee du code ATLAS.
La figure 4.4.6 illustre l’´evolution des contraintes orthoradiales dans les couches d’IPyC, de SiC et d’OPyc au cours du temps ; ces r´esultats ont ´et´e obtenu avec ATLAS.
Pour estimer la probabilit´e de rupture nous avons utilis´e le tirage d’importance adaptatif pr´esent´e dans le chapitre 2. Nous avons choisi une strat´egie `a trois ´etapes :n1 = 200,n2 = 200 etn3 = 400. Les r´esultats sont d´ecrits dans le tableau 4.4.4 et illustr´es sur la figure 4.4.7.
L’estimation de la probabilit´e de rupture n’est pas assez pr´ecise (coefficient de variation de
Param`etres al´eatoires Lois
Diam`etre du noyau N(251 10−6,5.4 10−6)
Epaisseur du buffer´ N(94.9 10−6,14.3 10−6) tronqu´e `a [5.10−6,200.10−6]
Epaisseur de IPyC´ N(41.0 10−6,3.4 10−6)
Epaisseur du SiC´ N(35.4 10−6,1.9 10−6)
Epaisseur de OPyC´ N(40.0 10−6,3.8 10−6) Carr´e de la position radiale du boulet U(1,3.4225) Cube de la position radiale de la particule dans le boulet U(0,1.5625 10−5)
Tab. 4.4.3 – PBMR : Param`etres al´eatoires (pour les gaussiennes, c’est l’´ecart-type qui est indiqu´e et non la variance)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
−300−200−1000100200
temps adimensionné
contraintes orthoradiales (MPa)
SiC IPyC OPyC
Fig. 4.4.6 – Evolution des contraintes orthoradiales moyennes dans les couches d’IPyC, SiC´ et OPyC en fonction du temps
probabilit´e ´ecart-type estim´e ´ecart-typ estim´e
de rupture par bootstrap
estimateur sans recyclage (2.3.1.1) 1.0116 10−7 4.17756 10−8 4.1812 10−8 estimateur avec recyclage (2.3.1.2) 5.4925 10−7 3.49 10−7 3.492 10−7 estimateur mixte (§ 2.4.3.4) 4.063 10−7 1.0491 10−7
Tab.4.4.4 –PBMR - Probabilit´e de rupture , premier essai (n1= 200, n2= 200et n3 = 400)
l’ordre de 40% pour l’estimateur sans recyclage), il serait int´eressant d’utiliser un nombre de simulations plus importants.
Nous optons encore pour une strat´egie `a trois ´etapes : n1 = 200, n2 = 200 et n3 = 1000.
Les r´esultats sont d´ecrits dans le tableau 4.4.5 et illustr´es sur la figure 4.4.8. L’estimation de la probabilit´e de rupture gagne un peu en pr´ecision (coefficient de variation de l’ordre de 30%).
a)
probabilité de rupture
histogramme
0.0e+00 5.0e−08 1.0e−07 1.5e−07 2.0e−07 2.5e−07 3.0e−07 3.5e−07
0e+002e+064e+066e+068e+06
log10(probabilité de rupture)
histogramme
−8.5 −8.0 −7.5 −7.0 −6.5
0.00.51.01.52.0
b)
probabilité de rupture
histogramme
0.0e+00 5.0e−07 1.0e−06 1.5e−06 2.0e−06 2.5e−06 3.0e−06 3.5e−06
05e+0510e+0515e+05
log10(probabilité de rupture)
histogramme
−7.0 −6.5 −6.0 −5.5
0.00.51.01.52.02.5
c)
probabilité de rupture
histogramme
2e−07 4e−07 6e−07 8e−07
0e+001e+062e+063e+06
probabilité de rupture
histogramme
−7.0 −6.8 −6.6 −6.4 −6.2 −6.0
0.00.51.01.52.02.53.03.5
Fig.4.4.7 –Histogramme de la probabilit´e de rupture estim´ee obtenu par bootstrap sur 5OOOO r´e-echantillonnages - PBMR, premier essai (n1 = 200, n2 = 200 et n3 = 400). a) estimateur sans recyclage (2.3.1.1), b) estimateur avec recyclage (2.3.1.2), c) estimateur mixte (§ 2.4.3.4)
probabilit´e ´ecart-type estim´e ´ecart-typ estim´e
de rupture par bootstrap
estimateur sans recyclage (2.3.1.1) 1.17485 10−7 3.6971 10−8 3.6922 10−8
Tab.4.4.5 –PBMR - Probabilit´e de rupture, deuxi`eme essai (n1= 200,n2= 200etn3 = 1000)
4.4.3 GT-MHR
Les conditions d’irradiation d’un r´eacteur de type GT-MHR (ou ANTARES pour ce qui concerne le reacteur de AREVA-NP), n’´etant pas publi´ees, nous allons beaucoup utiliser la description du r´eacteur PBMR vue au paragraphe pr´ec´edent. Les performances du combustible
probabilité de rupture
histogramme
0.0e+00 5.0e−08 1.0e−07 1.5e−07 2.0e−07 2.5e−07 3.0e−07 3.5e−07
0e+002e+064e+066e+068e+061e+07
probabilité de rupture
histogramme
−7.8 −7.6 −7.4 −7.2 −7.0 −6.8 −6.6 −6.4
0.00.51.01.52.02.5
Fig.4.4.8 –Histogramme de la probabilit´e de rupture estim´ee obtenu par bootstrap sur 5OOOO r´e-echantillonnages - PBMR, deuxi`eme essai (n1 = 200, n2 = 200 et n3 = 1000). Estimateur sans recyclage (2.3.1.1)
ne seront donc pas forc´ement repr´esentatives.
4.4.3.1 Gestion du combustible
Dans ce type de r´eacteur, l’´el´ement combustible est un compact et a une place fixe durant un cycle d’irradiation. Parmi les gestions possibles un combustible, nous consid´erons que le combustible sera irradi´e en deux cycles avant d’ˆetre mis au rebut. Entre ses deux passages, le combustible vera sa position verticale modifi´ee et sa position radiale conserv´ee.
Comme la vitesse de combustion varie n´egativement beaucoup en fonction de la tempera-ture, nous utilisons la gestion suivante : le combustible est plac´e en partie basse chaude lorsqu’il est neuf, puis en position haute plus froide pour son deuxi`eme cycle. Sur les sch´emas indus-triels, les combustibles vont plutˆot, neuf, aux extr´emit´es puis, usag´es, au centre, mais ce que nous consid´erons convient mieux pour les conditions simples que nous prenons. La diff´erence vient peut ˆetre de l’influence des barres de contrˆole.
la premi`ere position verticale (distance au sommet) est al´eatoire et suit une loi uniforme U(5.5,11). Lors du second passage, les ´el´ements sont rapproch´es du haut d’une mi-hauteur.
Bien que le cœur soit form´e d’assemblages hexagonaux, nous l’approchons par un cylindre trou´e. La position de l’´el´ement combustible est prise al´eatoirement dans le r´eacteur avec un rayon au carr´e de densit´e uniformeU(1,3.4225).
4.4.3.2 Conditions en r´eacteur
Nous supposons que le r´eacteur a une puissance totale, une vitesse de fission moyenne et une g´eom´etrie similaire `a celle du r´eacteur PBMR. De par la g´eom´etrie et la disposition, tr`es diff´erentes, la densit´e en combustible est diff´erente dans le coeur et donc tous ces paramˆetres ne
peuvent ˆetre conserv´es. Cependant, nous supposerons que pour une puissance totale identique, c’est la taille du coeur qui sera differente, mais que les param`etres concernant les particules restent corrects moyennant un changement de variable sur les param`etres de position.
Dans un r´eacteur de type GT-MHR, il est possible de disposer le combustible avec un enrichissement variable en fonction de la position et la quantit´e de graphite dans le coeur est plus importante. Cela permet d’obtenir une vitesse de fission `a peu pr`es identique pour tout rayon. La position de certains objets dans le coeur (barres de contrˆole par exemple), et le nombre r´eduit d’enrichissements diff´erents utilis´es font qu’il reste une variation, mais celle ci est plus faible et suppos´ee d´ecoupl´ee des autres param`etres. Pour le facteur correctif de la vitesse de fission en fonction du rayon, nous prendrons alors une gaussienneN(1,0.1) tronqu´ee
`
a [0.5,1.5].
Nous n´egligeons l’effet de la gestion du combustible sur l’´evolution verticale de la fluence rapide et de la vitesse de fission et nous conservons les mˆemes profils que pour le reacteur PBMR (les mˆemes facteurs correctifs). En absence de donn´ees sur ce sujet, nous gardons aussi le mˆeme profil radial de la fluence rapide. Nous modifions le facteur correctif de la vitesse de fission en fonction du nombre de nombre de passages pour ne prendre en compte que deux
´etats : 1.6−0.4io`u iest le nombre de passages. Enfin, nous supposerons que le caloporteur a une temp´erature identique au PBMR en entr´ee et en sortie, ceci n’´etant pas fix´e par le coeur.
Comme nous avons le mˆeme profil vertical de densit´e de fission, nous conservons la mˆeme
´evolution verticale moyenne de la temp´erature du caloporteur que pour le r´eacteur PBMR.
Comme les ´el´ements sont souvent verticaux et traversant le r´eacteur, la fluctuation radiale de la densit´e de fission sera prise en compte pour la temp´erature du caloporteur, celui-ci ne subissant aucun «rem´elange». La particule est positionn´ee al´eatoirement dans le compact dont la temp´erature a une forme parabolique. Il y a ensuite des gradients entre le bord du compact et le bloc en graphite dˆu `a un jeu gazeux et `a un gradient dans le bloc graphite.
Finalement, nous consid´erons la temp´erature d’une particule suivante :
Tpart=THe+Q
(rext2 −r2)
4.V.λcompact + lgas
S.λgas + lgraphite S.λgraphite
, (4.4.2)
o`u :
THe la temp´erature du caloporteur : THe = 34.3587
−0.000686
5 Z+0.023688 4
Z−0.274258 3
Z + 1.026548
2
Z+ 0.600642
ZcorF1+ 773,
o`u CorV1 facteur correctifs de la vitesse de fission en fonction du rayon ;
S= 1.92 10−3 (m2) surface lat´erale du compact ; V = 6.01 10−6 (m3) le volume du compact ; rext= 6.25 10−3 (m) le rayon du compact ; r la position de la particule dans le compact ; λgraphite=λcompact= 20 (W/m/K) ;
lgas = 25.10−6 (m) ;
lgraphite = 2.2 10−3 (m), c’est un chemin ´equivalent ; Qla puissance totale du compact.
Apr`es les deux cycles, nous ´elevons la temp´erature `a 1873 K pour repr´esenter une situation accidentelle, c’est `a ce moment l`a que nous ´evaluons la fiabilit´e. Le taux de combustion final est en moyenne 9.56% FIMA.
4.4.3.3 R´esultats
Le tableau 4.4.6 r´ecapitule les param`etres al´eatoires en entr´ee du code ATLAS.
Param`etres al´eatoires Lois
Diam`etre du noyau N(251 10−6,5.4 10−6)
Epaisseur du buffer´ N(94.9 10−6,14.3 10−6) tronqu´e `a [5.10−6,200.10−6] Epaisseur de IPyC´ N(41.0 10−6,3.4 10−6)
Epaisseur du SiC´ N(35.4 10−6,1.9 10−6) Epaisseur de OPyC´ N(40.0 10−6,3.8 10−6)
Position radiale du compact U(1,3.4225)
Position verticale du compact en d´ebut de vie U(5.5,11) Carr´e de la position radiale de la particule dans le compact U(1,3.4225
facteur correctif vitesse de fission N(1,0.1) tronqu´ee [0.5,1.5]
Tab.4.4.6 –GT-MHR : Param`etres al´eatoires (pour les gaussiennes, c’est l’´ecart-type qui est indiqu´e et non la variance)
La figure 4.4.9 illustre l’´evolution des contraintes orthoradiales dans les couches d’IPyC, de SiC et d’OPyc au cours du temps ; ces r´esultats ont ´et´e obtenu avec ATLAS.
Pour estimer la probabilit´e de rupture nous avons utilis´e le tirage d’importance adaptatif pr´esent´e dans le chapitre 2. Nous avons choisi une strat´egie `a trois ´etapes :n1= 200, n2= 200 etn3= 200. Les r´esultats sont d´ecrits dans le tableau 4.4.7)
L’estimation de la probabilit´e de rupture est pr´ecise (coefficient de variation de l’ordre de 7% pour l’estimateur sans recyclage).
Remarque :Bien que la probabilit´e de rupture soit plus ´elev´ee ici que sur la concept pr´ec´edent,
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
−300−200−1000100200
temps adimensionné
contraintes orthoradiales (MPa)
SiC IPyC OPyC
Fig.4.4.9 –Evolution des contraintes orthoradiales dans les couches d’IPyC, SiC et OPyC en´ fonction du temps. Les pics sont obtenus lors de l’inter-cycle.
probabilit´e ´ecart-type estim´e ´ecart-typ estim´e
de rupture par bootstrap
estimateur sans recyclage (2.3.1.1) 1.11558 10−5 7.7893 10−7 7.8214 10−7 estimateur avec recyclage (2.3.1.2) 1.28455 10−5 3.1464 10−6 3.11887 10−6 estimateur mixte (§ 2.4.3.4) 1.159 10−5 1.0491 9.2−7
Tab.4.4.7 – GT-MHR - Probabilit´e de rupture
nous ne pouvons en d´eduire la comparaison entre les deux concepts, les conditions n’´etant pas encore repr´esentative et le taux de combustion final moyen sensiblement diff´erent (8.33% FIMA pour PBMR et 9.56% FIMA pour GT-MHR).
a)
probabilité de rupture
histogramme
8.0e−06 9.0e−06 1.0e−05 1.1e−05 1.2e−05 1.3e−05 1.4e−05 1.5e−05
0e+001e+052e+053e+054e+055e+05
log10(probabilité de rupture)
histogramme
−5.10 −5.05 −5.00 −4.95 −4.90 −4.85
024681012
b)
probabilité de rupture
histogramme
5.0e−06 1.0e−05 1.5e−05 2.0e−05 2.5e−05 3.0e−05
03e+046e+049e+0412e+04
log10(probabilité de rupture)
histogramme
−5.2 −5.0 −4.8 −4.6
0123
c)
probabilité de rupture
histogramme
8.0e−06 1.0e−05 1.2e−05 1.4e−05 1.6e−05
0e+001e+052e+053e+054e+05
probabilité de rupture
histogramme
−5.10 −5.05 −5.00 −4.95 −4.90 −4.85 −4.80
0246810
Fig.4.4.10 –Histogramme de la probabilit´e de rupture estim´ee obtenu par bootstrap sur 5OOOO r´e-echantillonnages - GT-MHR. a) estimateur sans recyclage (2.3.1.1), b) estimateur avec recyclage (2.3.1.2), c) estimateur mixte (§ 2.4.3.4)
Chapitre 5
ESTIMATION DE QUANTILES ET APPLICATION