Forme de la gaine

La forme de la gaine est ici plutˆot plus simple que dans le cas d’un jet libre. En effet, la pr´esence d’un cœur solide rend tr`es difficile toute d´eformation du jet, et donc de la gaine qui l’entoure, aux ´echelles de temps relativement courtes des exp´eriences. Le tube d’air n’a donc d’autre possibilit´e que de suivre le jet. L’´evasement n’existe plus et, comme on le voit sur la figure 8.13, la gaine d’air est parfaitement cylindrique, sauf `a son extr´emit´e.

Fig.8.13: Entraˆınement d’air par une fibre enduite d’huile silicone de viscosit´e 500 mPa.s. Le diam`etre de la fibre vaut ici 1 mm. La gaine d’air qui entoure ce ”jet solide” reste droite et proche de la fibre. Sa longueur est plus ´elev´ee que celle obtenue avec un jet simple de rayon identique.

8.7. LES FIBRES ENDUITES 153 0 10 20 30 40 0 200 400 600 800 1000 R (µm) lma x (mm)

Fig.8.14: Longueur maximale de la gaine d’air entraˆın´ee par un jet d’huile silicone 500 fois plus visqueuse que l’eau. Les carr´es ´evid´es donnent la longueur de la gaine dans le cas d’un jet simple. Les ronds noirs repr´esentent la longueur maximale de la gaine observ´ee dans des exp´eriences de fibres solides enduites d’huile.

ment. Par cons´equent, la gaine d’air est ici tr`es stable, et elle peut atteindre une longueur beaucoup plus grande que dans le cas des jets libres. Sur la figure 8.14 nous avons report´e la longueur maxi- male de la gaine d’air en fonction du rayon du jet entraˆınant. Les donn´ees correspondant `a des fibres solides gain´ees d’huile sont nettement au-dessus de celles qui se rapportent aux jets simples. Pour les fibres, les longueurs report´ees ne sont en fait qu’une borne inf´erieure. Le r´esultat est limit´e par la taille de l’exp´erience r´ealis´ee. A priori, il devrait ˆetre possible d’observer des gaines encore plus longues dans une exp´erience de dimensions sup´erieures.

L’existence de ces gaines d’air longues pourrait apporter une simplification suppl´ementaire au probl`eme de l’entraˆınement d’air par un jet. Le couplage hydrodynamique entre le jet et la surface du bain qui l’entoure est r´eduit, du fait de la plus grande profondeur du point de rencontre du jet et du bain. Ainsi, la d´eformation observ´ee autour de la fibre enduite `a son point d’entr´ee dans le bain se rapproche d’autant plus d’un m´enisque statique. Il est donc possible que dans ce syt`eme, l’´epaisseur du film d’air entraˆın´e soit mieux d´ecrite par le mod`ele de Landau (chapitre 7).

8.7.2 La r´etraction de la gaine

Lorsque la fibre est arrˆet´ee, on observe que la gaine d’air se r´etracte, en longeant le fil. Nous pouvons mesurer la vitesse de r´etraction. Dans les exp´eriences r´ealis´ees, cette vitesse est quasiment constante. Elle ne semble d´ependre que tr`es peu de la vitesse `a laquelle la trompette a ´et´e tir´ee, ainsi que du rayon de la fibre utilis´ee (figure 8.15).

Pour cette vitesse de r´etraction, nous pouvons proposer un mod`ele du type de celui d´ecrivant l’´eclatement de films dans des environnements visqueux. Ici, la proximit´e d’une paroi solide fait que nous choisirons un mod`ele de la forme propos´ee par Martin et al. dans [68]. Comme nous l’avons

154 CHAPITRE 8. LA TROMPETTE 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0 0,5 1 1,5 V _(m/s) Vr (m/s)

Fig.8.15: Vitesse de r´etraction d’une gaine d’air autour d’une fibre solide enduite d’huile silicone en fonction de la vitesse V `a laquelle elle a ´et´e form´ee. L’huile utilis´ee est 100 (N), 500 (2) ou 1000 (•) fois plus visqueuse que l’eau.

vu au chapitre 4, la vitesse de r´etraction s’exprime alors de la mani`ere suivante :

Vr= K

2γ η ln

L

e (8.8)

K est une constante g´eom´etrique, prise ´egale `a 0,19 dans [68]. γ/η est la vitesse visco-capillaire commune `a beaucoup de probl`emes de d´emouillage ou d’´eclatement de films. L est une longueur de coupure hydrodynamique, la plus petite longueur du probl`eme. Ici, il s’agit de l’´epaisseur de la gaine d’huile qui couvre la fibre. Enfin, e est l’´epaisseur du film en r´etraction, typiquement 10 µm dans le cas pr´esent. Pour une huile de viscosit´e η = 450 mPa.s, une ´epaisseur d’huile L = 150 µm, et une tension superficielle γ = 21 mN.m−1

, la vitesse pr´edite par l’expression 8.8 est d’environ 5 cm.s−₁

, proche de la vitesse de r´etraction observ´ee exp´erimentalement.

Nous pouvons proposer plusieurs explications aux petites variations de Vr observ´ees :

• L’´epaisseur L de la couche d’huile qui recouvre les fibres est assez variable et non contrˆol´ee. Elle est comprise entre 100 et 350 µm environ, induisant des variations de Vr de l’ordre de

30 % autour de sa valeur moyenne.

• L’´epaisseur e des gaines d’air produites augmente avec la vitesse d’entraˆınement de l’air, comme le pr´edit la loi de Landau. La vitesse de r´etraction de la gaine d´epend quant `a elle logarithmiquement de l’´epaisseur du film. On attend donc une faible d´ecroissance de Vr en

fonction de V . Cet effet n’est pas observ´e dans nos exp´eriences.

8.7.3 Dynamique de croissance

Nous avons vu que la r´etraction de la gaine d’air se fait `a vitesse mod´er´ee du fait de la proximit´e d’une paroi solide proche constitu´ee par la fibre. De plus, le jet n’a pas le loisir de ralentir, car l’´evasement n’est plus possible. Le tube d’air tend donc `a croˆıtre rapidement, entraˆın´e par la fibre.

8.7. LES FIBRES ENDUITES 155

Nous avons pu mesurer la vitesse de croissance et de r´etraction de la gaine d’air pour diff´erents couples de liquides. Nous avons d’abord remarqu´e que la vitesse de croissance d’une gaine d’air est nettement plus ´elev´ee que dans le cas d’un jet simple. Pour une fibre enduite d’huile silicone de viscosit´e 500 mPa.s plongeant `a vitesse V = 0, 5 m.s−1

dans un bain de la mˆeme huile, la gaine d’air entraˆın´ee progresse `a une vitesse de l’ordre de 25 cm.s−₁

, contre 5 cm.s−₁

environ pour un jet enti`erement liquide. Cette vitesse ne varie pas tellement avec le rayon de la fibre enduite, au contraire des observations sur les jets libres (figure 8.8). La figure 8.16 pr´esente, en fonction de la vitesse V de la fibre, la vitesse V∗

de croissance des gaines d’air fabriqu´ees. V∗

augmente avec V , avec une pente de 0,56. Il existe une ordonn´ee `a l’origine, de l’ordre de -0,07 m.s−1

. Les donn´ees sont un peu dipers´ees autour de cet ajustement.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 0 0,5 1 1,5 V (m/s) V * (m /s )

Fig.8.16: V∗_{en fonction de la vitesse V de la fibre enduite pour diff´erents couples de fluides : air entraˆın´e par du}

glyc´erol (×), une solution de glyc´erol `a 10% d’eau (-), des huiles silicones de viscosit´e 100 (N), 500 (2) et 1000 (•) mPa.s, et huile silicone de viscosit´e 0,49 mPa.s entraˆın´ee par du glyc´erol (△) et par une solution de glyc´erol `a 10 % d’eau (◦). La droite d’´equation V∗_{= 0, 56V − 0, 07 est repr´esent´ee en trait plein.}

On attend que la vitesse de l’air dans la gaine, situ´ee entre deux parois `a vitesse V et 0, soit ´egale `a V /2. Par ailleurs, le film d’air se r´etracte `a une vitesse Vr. La vitesse V∗ de croissance du

film est donc V /2 − Vr. On attend donc :

V∗

+ Vr=

V

2 (8.9)

Cette expression est en bon accord avec les mesures de V , V∗

et Vr que nous avons faites, comme

l’indique la figure 8.17. Les r´esultats de l’exp´erience sont syst´ematiquement un peu au-dessus de la pr´ediction de l’´equation 8.9. La vitesse de r´etraction du film entraˆın´e est mesur´ee lorsque la fibre est immobile. Elle pourrait ˆetre diff´erente lorsque la gaine est dans un environnement en ´ecoulement. Nous pouvons aussi attendre un rˆole de la gravit´e, qui favorise la r´etraction de la gaine d’air vers le haut. Dans un petit nombre d’exp´eriences, la rupture de la gaine dans le bain a montr´e que la r´etraction est plus rapide vers le haut que vers le bas. Les valeurs de Vr utilis´ees dans la figure 8.17

156 CHAPITRE 8. LA TROMPETTE 0 0,2 0,4 0,6 0,8 0 0,5 1 1,5 V (m/s) V *+ Vr (m/s) Fig.8.17: V∗_{+ V}

r en fonction de la vitesse V de la fibre enduite pour diff´erents couples de fluides : air entraˆın´e par

du glyc´erol (×), une solution de glyc´erol `a 10% d’eau (-), des huiles silicones de viscosit´e 100 (N), 500 (2) et 1000 (•) mPa.s, et huile silicone de viscosit´e 0,49 mPa.s entraˆın´ee par du glyc´erol (△) et par une solution de glyc´erol `a 10 % d’eau (◦). Les donn´ees sont ajust´ees par la droite d’´equation V∗_{+ V}

r = 0, 65V .

surestim´ees. Enfin, nous avons suppos´e que la vitesse moyenne de l’air dans la gaine valait V /2. Ceci correspond `a un profil de vitesse de Couette (cisaillement pur) dans la gaine. Il est possible que le profil soit en r´ealit´e diff´erent. En particulier, l’existence d’un glissement sur la paroi interne conduirait `a favoriser la p´en´etration de l’air dans le bain.

8.8

Conclusion

Nous nous sommes int´eress´es dans ce chapitre `a la forme des interfaces liquide-air dans une situation o`u un jet entraˆıne de l’air dans un liquide. Nous avons observ´e diverses formes pour la gaine d’air entourant le jet. Les forces en jeu sont nombreuses et d’intensit´es proches, ce qui rend complexe la production d’un mod`ele simple d´ecrivant la longueur de la gaine d’air. La dynamique de croissance des trompettes est ´egalement difficile `a d´ecrire.

Nous avons montr´e que les m´enisques qui se forment autour des jets ne peuvent pas ˆetre d´ecrits comme des formes statiques. Aux petites ´echelles, les d´eformations de la surface sont nettement plus importantes que celles attendues dans le cas statique.

Nous avons r´ealis´e deux s´eries d’exp´eriences o`u les ´ecoulements sont contraints par l’introduc- tion de parois solides. Outre l’importance pratique d’un tel ph´enom`ene, cette situation simplifie notablement la ph´enom´enologie de l’entraˆınement. Dans le cas de l’impact sur un bain peu profond, la trompette d’air est stabilis´ee. On fabrique une structure permanente. Elle occupe la place dis- ponible, c’est-`a-dire que sa longueur est de l’ordre de la profondeur du bain. L’exp´erience de fibres enduites permet elle aussi de stabiliser la gaine d’air en l’accrochant `a un cœur solide, lui permettant du mˆeme coup d’atteindre des longueurs bien plus grandes. Le couplage hydrodynamique entre le jet et le bain qui l’entoure s’en trouve alors minimis´e, ce qui pourrait permettre de d´ecrire la per-

8.8. CONCLUSION 157

turbation de la surface du bain comme un m´enisque statique. Cette simplification suppl´ementaire laisse esp´erer un meilleur accord d’´eventuelles mesures de l’´epaisseur du film d’air avec le mod`ele de Landau. Enfin, cette gaine croˆıt beaucoup plus vite que dans le cas du jet, `a peu pr`es `a V /2 o`u V est la vitesse de la fibre, montrant `a nouveau que le cœur solide impose sa vitesse. L’exp´erience des fibres enduites permet ainsi de s’approcher un peu plus du cas de l’entraˆınement d’air par des solides, d’une importance cruciale pour de nombreuses applications industrielles comme l’enduction de fibres `a vitesse ´elev´ee.

Coda

Nous avons d´ecrit dans cette partie des exp´erience d’entraˆınement d’air par des jets liquides impactant sur des bains du mˆeme liquide.

Nous avons montr´e que l’entraˆınement d’air par des liquides visqueux est rendu difficile par un ralentissement du jet avant l’impact sur le bain. Ce ralentissement induit une augmentation apparente de la vitesse critique d’entraˆınement d’air. Ce ph´enom`ene est particuli`erement sensible pour les liquides les plus visqueux. Il ne nous a par exemple pas ´et´e possible, par impact de jets, d’entraˆıner de l’air dans une huile silicone de viscosit´e 10000 fois sup´erieure `a celle de l’eau. Ceci ex- plique peut-ˆetre l’augmentation anormale de la vitesse seuil observ´ee dans les exp´eriences ant´erieures [60, 61].

L’´epaisseur du film d’air entraˆın´e est nettement d´ependante du rayon du jet. La pression de Laplace ´ecrase les gaines de petit rayon. Aux grandes tailles, la courbure des jets n’a plus d’influence et on observe une saturation de l’´epaisseur des films. Un ´ecart syst´ematique au mod`ele de Landau persiste cependant, et m´erite d’ˆetre explor´e. Le couplage hydrodynamique entre la surface du bain et le point de m´elange du jet dans le bain pourrait ˆetre responsable de cette d´eviation.

Enfin, les diff´erentes formes prises par le tube d’air qui gaine le jet restent mal comprises. La multiplicit´e des forces en jeu et des formes observ´ees rend l’analyse difficile.

L’exp´erience des fibres enduites impose certaines contraintes aux ´ecoulements en jeu. Ces sim- plifications permettent une meilleure compr´ehension des r´esultats. Le seuil d’entraˆınement est alors bien d´etermin´e et ind´ependant du rayon de la fibre. La croissance de la gaine d’air est ´egalement comprise simplement : la trompette croˆıt `a la vitesse moyenne de la fibre et du bain qui l’entoure.

Conclusion

Au cours de cette th`ese, nous avons ´etudi´e plusieurs situations o`u des ´ecoulements sont coupl´es `

a des d´eformations tr`es importantes d’interfaces de liquides.

Nous avons d´ecrit dans la premi`ere partie les principales formes adopt´ees par un globule liquide soumis `a l’´ecoulement de l’air dans sa chute. Les petites gouttes d’eau, domin´ees par les forces de surface, restent sph´erique. Les objets plus gros que la longueur capillaire du liquide sont aplatis par le vent apparent dans la direction perpendiculaire `a la chute. Nous montrons, `a l’aide de lois d’´echelle, que l’´epaisseur et la vitesse de chute de ces objets sont ind´ependants de leur volume. Ce type de d´eformation contraire `a l’image traditionnelle de goutte ”pointue” est suivi, dans le cas des grosses gouttes, par une d´eformation en ”m´eduse” : l’air s’engouffre dans le globule pour le gonfler. L’´equilibre entre d´epression de Bernoulli et inertie du liquide nous permet de donner un m´ecanisme d´ecrivant le gonflement de ces parachutes. Ces exp´eriences trouveraient un prolongement naturel dans l’´etude de la formation des bulles de savon. Nous avons en effet observ´e que la chute de globules savonneux conduisait `a la formation de bulles. Est-ce `a dire que les m´ecanismes formant ces objets sont les mˆemes ? Le cas de solutions de polym`eres, connues pour affecter fortement l’hydrodynamique des interfaces, pourra aussi ˆetre investigu´e.

La deuxi`eme partie de ce travail est consacr´ee `a la dynamique de films fluides entour´es par des atmosph`eres denses ou visqueuses. La vie des antibulles semble ˆetre limit´ee par le drainage du film d’air sous gravit´e. Nous nous int´eressons ensuite `a l’´eclatement de films d’air ou d’eau savonneuse immerg´es dans des environnements de viscosit´e ´elev´ee. La friction dans ces atmosph`eres conduit `a une forte r´eduction de la vitesse d’ouverture d’un trou par rapport au cas plus classique des bulles de savon dans l’air. L’observation en bordure de trou d’un bourrelet collectant le liquide nous conduit `a penser que les ´ecoulement sont localis´es autour du bourrelet et `a proposer un m´ecanisme pour l’´eclatement des films : la force de tension interfaciale, moteur de l’ouverture, ´equilibre le frottement visqueux sur le cylindre constitu´e par le bourrelet. Les conditions de l’existence du bourrelet ne sont pas compl`etement d´etermin´ees. Les instabilit´es engendr´ees par l’existence de cette sur´epaisseur conduisent au probl`eme de la r´etraction d’un filament visqueux, non encore r´esolu. Enfin, dans l’analyse que nous avons faite de ce probl`eme, nous avons omis de prendre en compte le rˆole des tensioactifs. Or ceux-ci sont en g´en´eral pr´esents dans les liquides que nous manipulons au quotidien,

162

et il est probable que, dans certaines limites, la dynamique d’ouverture des films d´epende de la nature et de la concentration des savons utilis´es.

L’entraˆınement d’air dans un bain liquide par un jet du mˆeme liquide est abord´e dans la derni`ere partie. Nous soulignons l’existence jusqu’alors d’un artefact exp´erimental majeur dans la d´etermination du seuil d’entraˆınement d’air par un jet, en particulier lorsque ce dernier est petit et visqueux : la pr´esence du bain induit un ralentissement pr´ematur´e du liquide, et l’´elargissement du jet qui en r´esulte provoque une hausse apparente de la vitesse critique. Au-del`a du seuil d’en- traˆınement d’air, nous montrons que l’´epaisseur du film d’air entraˆın´e d´epend du rayon du jet, du fait de la surpression de Laplace r´egnant dans la gaine. Le dernier chapitre explore les formes et la dynamique de la gaine d’air entraˆın´ee. Ces exp´eriences ont ´et´e r´ealis´ees, pour la plupart, avec des liquides newtoniens. Cette rh´eologie id´eale n’est cependant pas courante au quotidien. La viscosit´e des polym`eres fondus, manipul´es pour la fabrication d’objets en plastique, varie avec la sollicitation m´ecanique qu’ils subissent. Le domaine de vitesse d’impact permettant d’´eviter l’incorporation de bulles d’air peut donc ˆetre affect´e. Par ailleurs, certaines solutions de tensioactifs sont connues pour ˆetre rh´eofluidifiantes. Le probl`eme de l’entraˆınement d’air dans de tels liquides a ´et´e r´ecemment abord´e par Marie Le Merrer et Chris Pipe [71], qui ont montr´e qu’il devenait tr`es difficile, voire impossible, d’entraˆıner de l’air dans ces solutions. Les trois probl`emes abord´es dans cette th`ese m´eritent donc probablement d’ˆetre prolong´es par des ´etudes avec des fluides complexes mod`eles.

Quatri`eme partie

Annexe A

Le bateau pop-pop

Sommaire

A.1 Introduction . . . 165 A.2 Le moteur le plus simple . . . 166 A.3 Ont-ils des jambes ? . . . 167 A.4 Force d´evelopp´ee par le moteur . . . 168 A.4.1 Ordres de grandeur . . . 168 A.4.2 M´ethodes de mesure . . . 169 A.4.3 Force-vitesse . . . 170 A.5 Fr´equence d’oscillation . . . 170 A.6 Amplitude d’oscillation . . . 172 A.7 Optimisation . . . 173 A.7.1 Rendement . . . 173 A.7.2 La taille du tuyau . . . 173 A.7.3 Forme du tuyau . . . 174 A.7.4 Pertes thermiques . . . 174 A.7.5 Grande ´echelle . . . 174 A.8 Conclusion . . . 175

A.1

Introduction

”Le bateau pop-pop est un jouet qui a ´et´e en vogue au d´ebut du si`ecle dernier” [90]. L’int´erˆet de ce jouet r´eside dans son mode de propulsion. Un petit r´eservoir est fix´e dans le bateau. Sur ce r´eservoir sont branch´es deux tubes dont l’extr´emit´e est plong´ee dans l’eau, `a l’arri`ere du bateau (figure A.1). Les tubes et le r´eservoir sont initialement pleins d’eau. Une petite bougie situ´ee sous le r´eservoir permet de chauffer l’eau. Apr`es quelques instants, le bateau se met `a avancer, et ce jusqu’`a ce que la

166 ANNEXE A. LE BATEAU POP-POP

Fig.A.1: Syst`eme de propulsion du bateau pop-pop. Le bateau mesure une dizaine de centim`etres de long. On voit les deux tuyaux reli´es par un r´eservoir plat. Ce dernier est recouvert d’une membrane m´etallique flexible.

bougie s’´epuise. La face sup´erieure du r´eservoir est parfois constitu´ee d’une lame m´etallique flexible. Lors du fonctionnement du bateau, cette membrane vibre et produit le cr´epitement caract´eristique qui a donn´e son nom au bateau.

Plusieurs auteurs ont d´ecrit ce bateau [72, 65, 35], mais le principe de son syst`eme de propulsion est mal compris. Nous avons voulu comprendre, au cours des stages de Jacopo Seiwert [90] et de Guillaume Lagubeau [52], le mode de fonctionnement du moteur, la fr´equence du bruit engendr´e, et la force d´evelopp´ee par le moteur. Enfin, nous nous sommes int´eress´es `a la question de l’optimisation