Evasement avant impact 115 ´

Comme dans le cas d’un impact sur un solide, le jet sent la pr´esence du bain avant d’y parvenir. Il est frein´e par l’existence en aval d’un milieu visqueux et difficilement d´eformable. Avant de rentrer dans le bain, le jet est donc d´ej`a d´eform´e. Le rayon Ri du jet au point de rencontre avec le bain

peut ˆetre notablement plus ´elev´e que la dimension R qu’on mesurerait en l’absence d’obstacle. Ces deux dimensions sont facilement extraites d’images telles que celles pr´esent´ees sur la figure 6.7. En r´egime permanent, la conservation du d´ebit implique donc une diminution de la vitesse du jet

2Ri

2R

h

Fig.6.7: Vue sous-marine d’un bain d’huile silicone de viscosit´e 500 mPa.s. Un jet de la mˆeme huile, de rayon 350 µm, tombe sur le bain. `A gauche, la vitesse est juste en dessous du seuil d’entraˆınement. Au centre, l’entraˆınement est d´eclench´e. Avant entraˆınement, le jet est ralenti avant d’entrer dans le bain et s’´evase fortement (son rayon est ici multipli´e par 2). Les rayons du jet au point d’impact et loin du bain sont ais´ement mesurables sur de telles photos.

avant incorporation dans le bain. Le d´ebit de liquide transport´e par un jet de rayon R et de vitesse moyenne V vaut πR2_{V . Cette quantit´e doit donc ˆetre conserv´ee le long du jet. Loin du bain, nous}

noterons R et V le rayon et la vitesse du jet. A l’impact, ces caract´eristiques deviennent Ri et Vi.

Si le jet est ´evas´e `a l’impact, la conservation du d´ebit implique :

Vi = V

 R Ri

2

(6.16) La vitesse du jet `a l’entr´ee du bain d´epend fortement d’une ´eventuelle augmentation de sa taille. L’´evasement est d’autant plus prononc´e que le jet est lent et que le liquide utilis´e est visqueux. Ceci

116 CHAPITRE 6. SEUIL D’ENTRAˆINEMENT

est naturel, compte-tenu de ce que nous avons expliqu´e pr´ec´edemment sur l’ouverture du jet apr`es incorporation. L’´evasement juste au-dessus du bain suit les mˆemes tendances.

´

Evasement en fonction du rayon

La figure 6.8 montre la variation du rayon du jet lors de l’impact de jets d’huile silicone de viscosit´e 100 et 450 mPa.s. Les mesures ont ´et´e faites `a des vitesses juste inf´erieures au seuil d’en- traˆınement d’air. Pour cette s´erie, on constate que l’augmentation de taille du jet ∆R = Ri− R est

relativement faible (de l’ordre de 100 µm) et qu’elle ne d´epend pas significativement du rayon du jet dans la gamme explor´ee.

0 40 80 120 160 0 200 400 600 800 1000 1200 R (µm) ∆ R (µ m) (a) R (µm) ∆ R (µ m) 0 200 400 600 800 1000 0 500 1000 1500 (b)

Fig.6.8: Augmentation du rayon du jet dans la r´egion du cusp en fonction du rayon du jet libre. Exp´eriences r´ealis´ees avec de l’huile silicone de viscosit´e 100 mPa.s (a) et 450 mPa.s (b) juste en-dessous du seuil d’entraˆınement d’air.

Dans le cas d’une huile 450 fois plus visqueuse que l’eau, on constate `a nouveau que la variation ∆R est peu d´ependante du rayon du jet (∆R augmente de 30 % quand R passe de 200 `a 1300 microns). En revanche, on note qu’elle est ici nettement plus ´elev´ee, de l’ordre de 700 µm. La vitesse du jet est donc fortement diminu´ee si le liquide utilis´e est visqueux.

La figure 6.9 montre l’augmentation moyenne du rayon du jet pour des huiles silicone de diff´erentes viscosit´es. L’´evasement moyen augmente fortement avec la viscosit´e du liquide utilis´e. Dans le cas du glyc´erol, les jets s’ouvrent un peu moins. Ceci est probablement dˆu au fait que le seuil d’entraˆınement d’air est plus ´elev´e, car la tension de surface est trois fois plus grande que celle des huiles. Au seuil d’entraˆınement, le jet est donc plus enfonc´e dans le bain.

Description visco-inertielle

L’´elargissement ∆R du jet montr´e pr´ec´edemment pr´esente des variations non expliqu´ees. Le rˆole de la vitesse de l’impact a ´et´e n´eglig´e jusqu’ici. Or, l’´evasement du jet semble r´esulter d’un ´equilibre

6.6. ´EVASEMENT ET VITESSE SEUIL 117 Ri -R (µ m) η (Pa.s) 0 500 1000 1500 2000 2500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Fig.6.9: ´Evasement de jets millim´etriques d’huile silicone `a la vitesse seuil d’entraˆınement, en fonction de la viscosit´e de l’huile. L’ouverture des jets augmente beaucoup avec la viscosit´e des liquides utilis´es.

entre la viscosit´e du liquide, qui tend `a freiner le jet, et l’inertie favorisant son entr´ee dans le bain. Comme nous l’avons fait avec l’ouverture θ du jet dans le bain, nous pouvons r´esumer nos donn´ees sur l’´evasement avant l’impact en tra¸cant l’augmentation relative du rayon du jet ∆R/R = (Ri−R)/R en

fonction du nombre de Reynolds ρV R/η (figure 6.10). Dans cette repr´esentation, tous les r´esultats, qui semblaient initialement d´esordonn´es, se regroupent sur une mˆeme courbe. On constate que ∆R/R d´ecroˆıt avec le Reynolds comme 1/Re2. Avant l’impact, les gradients de vitesse dans le jet

0.01 0.1 1 10 0.1 1 10 Re ∆ R /R

Fig.6.10: Augmentation relative du rayon du jet lors de son impact sur le bain. Les liquides utilis´es sont des huiles silicone de viscosit´e comprise entre 10 et 1000 mPa.s. La droite en trait plein est de pente -2.

sont essentiellement dirig´es suivant l’axe du jet (la paroi du jet ´etant ici libre, les gradients radiaux sont n´egligeables). Nous notons h la hauteur sur laquelle le jet est perturb´e au-dessus du bain (figure 6.7c). L’´equilibre entre viscosit´e et inertie dans cette r´egion s’´ecrit donc :

ηV h2 ∼ ρ V2 h (6.17) On en tire la longueur h : h ∼ _ρVη (6.18)

118 CHAPITRE 6. SEUIL D’ENTRAˆINEMENT

La partie ´emerg´ee du jet se raccorde dans le bain `a un cˆone d’ouverture θ, d’o`_{u ∆R/h ∼ θ. ∆R/R} vaut donc θh/R. Or, nous avons montr´e pr´ec´edemment que l’ouverture du cˆone ´etait de l’ordre de 1/Re (´equation 6.15). De mˆeme, d’apr`es l’´equation 6.18, h/R ∼ 1/Re. On en d´eduit donc l’´evasement relatif du jet :

∆R

R ∼

1

Re2 (6.19)

en bon accord avec la figure 6.10. Pour un jet d’huile de viscosit´e η = 500 mPa.s, de rayon R = 500 µm et une vitesse d’impact 1 m.s−₁

, on trouve Re = 1. L’augmentation du rayon du jet est donc de l’ordre de 500 µm.