Fond à deux composantes de Fourier

Pour le savoir, nous avons décidé de tester notre modèle M2 sur une conguration de fond doublement sinusoïdal, toujours en l'absence de courant. Cette conguration a été notamment modélisée dans l'étude de Guazzelli & al. ([78]), et met en évidence des intéractions d'ordres supérieurs (de type résonance de Bragg) entre des ondes de gravité linéaires et un fond à deux composantes de Fourier. Ces intéractions correspondent à des réexions de Bragg, harmoniques et sous-harmoniques, et dans cette étude ([78]) qui va nous servir de référence, elles ont été mesurées expérimentalement de façon très précise. L'expérience s'est déroulée dans un bassin à houle, de longueur 4.70m et de largeur 0.39m, avec une profondeur d'eau H0 variant entre

Figure 4.2: Bathymétries de fonds à deux composantes de Fourier

2.5 et 4cm. Diérentes bathymétries ont été installées, telles que la profondeur d'eau ne varie que dans la direction Ox le long du bassin, dans la direction de propagation de la houle. On peut donc nous considérer dans une étude de type 2D. Les fonds installés correspondant à une superposition de deux sinusoïdes de nombres d'onde diérents K1 et K2, qui peut s'écrire comme suit:

H(x) = H₀− 4H₁sin(K₁x) − 4H₂sin(K₂x) (4.1) Parmi les trois fonds installés, nous en avons retenu un et étudié deux congurations hydrody-namiques. Le fond a les paramètres suivants : 4H = 4H1 = 4H₂ = 0.005m, K1 = 104.72m⁻¹ (soit λ1 = 0.06m) et K2 = 157.08m⁻¹ (soit λ2 = 0.04m). Pour ce fond, parmi les hauteurs d'eau moyennes testées, nous avons retenu H0 = 0.04m, soit une amplitude relative des on-dulations bathymétriques  égale à  = 4H

H0 = 0.125. Pour le deuxième fond, nous avons retenu H0 = 0.025m, soit  = 0.2. Le fond ondulé mesure 0.48m de long, et a été installé avec un fond plat de 1.10m en amont et en aval. Les deux bathymétries sont présentées sur la gure (4.2).Comme dans notre dispositif, une plage absorbante a été installée à l'extrémité aval du canal, pour prévenir toute réexion parasite. Un générateur de houle de type piston (placé à l'extrémité du canal opposée à la plage) crée une onde sinusoïdale monochromatique, d'amplitude A1 d'environ 1mm, telle que :

η₁(x, t) = A₁(x) cos(kx − ωt) (4.2) Les houles générées sont de fréquence comprise entre 0.7 et 6Hz, avec une précision supérieure à 0.1mHz. On note que pour les plus hautes fréquences, bien que proches de la limite ondes de gravité / ondes de capillarité, nous considèrerons notre modèle ondes de gravité toujours valable. Le coecient de réexion a été obtenu expérimentalement, en calculant le taux d'onde stationnaire, à partir de mesures de la déformée de la surface libre entre le batteur et le début du fond ondulé, cette fois par le biais d'une techique de détection optique. Le coecient de

réexion obtenu expérimentalement pour chacune de ces congurations est présenté sur la g-ure (4.3). Dans chaque cas, on distingue très clairement les deux harmoniques, liées aux deux composantes de Fourier du fond sinusoïdal. Dans le premier cas, la première harmonique est située à 3.5Hz et la réexion est de 0.18 environ, et la seconde harmonique est à 4.39Hz pour une réexion très faible de 0.04. Dans le deuxième cas, les deux harmoniques sont situées aux mêmes fréquences (ou presque) mais leur amplitude est bien plus marquée: la première harmonique, située à 3.3Hz, est à l'origine d'une réexion de 0.47 et la seconde, à 4.29Hz, une réexion de 0.32. Cette amplication est bien entendu dûe à la hauteur d'eau plus réduite, en d'autres termes à l'augmentation de l'amplitude relative du fond ondulé ou encore à la diminution de la profondeur d'eau relative. Ces deux harmoniques sont censées être très bien représentées par nos deux modèles, car elles sont issues d'une intéraction houle-bathymétrie de premier ordre. Si on s'intéresse aux données numériques présentes sur la gure (4.3), penchons-nous d'abord sur le modèle présenté dans l'étude elle-même. C'est l'intérêt principal de cette étude, et la raison pour laquelle nous l'avons choisie. Il s'agit du modèle IAF que nous avons utilisé dans nos travaux de dimensionnement de la bathymétrie (voir chapitre 3 partie 2.1) puis pour qualier la réexion de la houle mesurée sans courant sur notre dispositif expérimental (voir chapitre 3 partie 4.2). On rappelle qu'il s'agit du modèle potentiel avec résolution intégrale des conditions de pression et de ux entre domaines successifs de profondeur d'eau constante. Ici, le fond est discrétisé en une succession de marches de profondeur constante eet ainsi découpé en domaines an d'appliquer le modèle. Ce modèle repose sur la théorie linéaire d'ondes monochromatiques, dans un écoulement supposé irrotationnel. Nous allons comparer ses résultats avec les perfor-mances de nos deux modèles M1 et M2. Les deux tableaux de (4.1) récapitulent les maxima de réexion associés aux deux harmoniques et à la sous harmonique, ainsi que leur décalage par rapport aux valeurs expérimentales (en pourcentage), respectivement pour chacun des deux cas.

Intéressons-nous dans un premier temps aux harmoniques principales. De façon générale, le modèle IAF et notre modèle M2 marchent très bien, mais comme précédemment, M1 est déjà mis en défaut. Plus précisément, dans le premier cas, on remarque que le modèle IAF est encore une fois remarquablement bien corrélé avec les résultats expérimentaux, tant en terme de fréquence de résonance que d'amplitude. Les deux harmoniques sont décalées de moins de 1% en fréquence, et l'amplitude est surestimée respectivement de 14% pour la première et et 49% pour la seconde (mais la réexion est déjà très faible). Nos modèles quant à eux s'en sortent moins bien, spécialement M1 qui surestime les deux harmoniques respectivement de 68 et 453%. M2 surestime déjà moins la seconde harmonique (plus de 212%) et fait même mieux qu'IAF sur la première harmonique (seulement 13.3% de surestimation), même s'il est à peine plus décalé en fréquence (+1.43%). Dans le deuxième cas, la surestimation de la réexion sur les harmoniques est généralement un peu plus marquée. Les modèles IAF et M2 présentent des résultats similaires (même si M2 approche mieux la première harmonique). M1 passe à côté de la première harmonique et surestime la seconde. Nous pouvons en conclure que nos deux modèles M1 et M2 intègrent les intéractions houle-bathymétrie au premier ordre, même si M2 est beaucoup plus précis (parfois même plus que le modèle IAF).

Passons maintenant à l'objet de cette étude sur fond doublement sinusoïdal: la sous-harmonique, située dans le premier cas entre 2 et 2.5Hz et dans le deuxième cas entre 1.5 et 2Hz. (Notons au passage que pour un même fond, augmenter l'amplitude relative (en dimin-uant la hauteur d'eau) décale les pics de réexion vers de plus basses fréquences. La hauteur d'eau va conditionner grandement la réexion. Dans les deux cas, M1 passe complètement à côté et ignore ce maximum de réexion, alors que les modèles M2 et IAF les représentent très bien. Dans le premier cas, cette sous-harmonique est approchée à -6.8% par le modèle IAF

Figure 4.3: Résonance de Bragg et intéractions entre une houle linéaire et un fond doublement sinusoïdal: comparaison entre données expérimentales et données numériques

et à -13% par M2, avec pour les deux une très bonne estimation de la fréquence pic associée (5.4% de décalage avec le modèle IAF, 1.2% avec M2 qui s'en sort mieux). Le modèle M1, lui, l'ignore à presque 85% .Dans le deuxième cas, encore une fois le modèle M1 est logiquement incapable de représenter cette sous-harmonique (sous estimation de 75%), tandis que M2 n'a rien à envier au modèle IAF: là où ce dernier surestime la réexion de 22%, M2 la sous-estime de seulement 31% mais est légèrement plus précis en terme de fréquence pic. Les bonnes per-formances du modèle M2 s'expliquent par les termes qui le composent. Dans l'équation (2.6), on remarque en eet des termes de dérivation d'ordre 2 selon la fonction Z0, cela implique des dérivées d'ordre 2 du nombre d'onde (on rappelle que Z0 a pour expression (1.124), elle dépend donc directement de k0). Or le nombre d'onde est directement proportionnel aux variations bathymétriques (ainsi qu'à la fréquence de la houle bien sûr, et à l'intensité du courant, mais il n'en est pas encore question ici). Nous retrouvons bien dans le modèle M2 une intéraction à l'ordre 2 avec la bathymétrie, absente du modèle M1.

En conclusion, grâce à cette étude nous avons démontré la capacité du modèle M2 a représen-ter de façon appropriée les résonances de Bragg de premier et second ordre, sur les deux cas étudiés. Nous avons remarqué une petite tendance à la sous-estimation dans la deuxième conguration testée, où la plus grande amplitude relative avait forcé la réexion à de plus hautes valeurs. Cependant, dans notre expérience, l'amplitude relative du fond reste faible, avec  = 0.159. Cela ne devrait donc pas amoindrir les capacités du modèle outre mesure. De plus, ce modèle a souvent été plus précis que le modèle IAF, il est donc pertinent pour mener

exp. IAF % M1 % M2 % f1 (Hz) 3.5 3.478 -0.63 3.53 +0.86 3.55 +1.43 a1 0.1823 0.2081 +14.15 0.3065 +68.13 0.2067 +13.38 f2 (Hz) 4.397 4.389 -0.18 4.36 -0.84 4.37 -0.61 a2 0.0407 0.0608 +49.56 0.2249 +453.12 0.127 +212.35 f3 (Hz) 2.193 2.313 +5.47 2.08 -5.15 2.22 +1.23 a3 0.1312 0.1222 -6.86 0.0198 -84.9 0.1141 -13.03 exp. IAF % M1 % M2 % f1 (Hz) 3.302 3.218 -2.54 3.36 +1.76 3.34 +1.15 a1 0.469 0.6788 +44.73 0.1939 +41.34 0.5887 +25.52 f2 (hz) 4.291 4.3 +0.2 4.28 -0.25 4.32 +0.68 a2 0.3214 0.5018 +56.13 0.6163 +91.75 0.5125 +59.45 f3 (Hz) 1.775 1.901 +7.10 1.76 -0.85 1.89 +6.48 a3 0.235 0.2876 +22.38 0.0584 -75.15 0.1613 -31.36

Table 4.1: Comparaison des résonances: expérimental et numérique (IAF, M1, M2) - a) Premier cas - b) Deuxième cas

cette étude. Nous avons également conclu que le modèle M1 n'est pas capable de représenter ces intéractions d'ordre supérieur. Mais il sera tout de même intéressant de confronter les deux modèles M1 et M2 aux résultats expérimentaux pour identier quels mécanismes entrent en jeu dans la réexion et à quelle fréquence elle est maximale. Si nous poursuivons notre analyse, le modèle M3 ne nous paraît plus indispensable, en première approche, pour modéliser toutes les intéractions entre la houle et le fond, dans le cas de pentes continûment variables. En eet, par rapport au modèle M2, il fait simplement intervenir en plus les modes évanescents, qui apparaissent localement au-dessus de discontinuités bathymétriques. Notons que le modèle IAF doit au contraire faire intervenir les modes évanescents, qui contribuent à l'adaptation de l'écoulement induit pas la houle au voisinage des discontinuités du fond. En d'autres termes, la méthode IAF utilise une méthode de discrétisation du fond générant articiellement des sauts d'indice. Ceux-ci sont lissés par l'introduction des modes évanescents dans l'expression générale du potentiel des vitesses pour chacun des domaines. Pour des fonds continûment variables, le modèle M3 n'apporte donc pas d'information supplémentaire dans la modélisation des intérac-tions houle-bathymétrie, comme dans le cadre de la résonance de Bragg au-dessus de fonds ondulés que nous venons de présenter et pour laquelle le modèle M2 sut à représenter toutes les intéractions houle-bathymétrie. Il est à la fois plus simple et plus rapide que le modèle couplé M3. Nous allons donc restreindre la suite de notre étude à la confrontation de nos deux premiers modèles M1 et M2 aux résultats de notre expérience, en présence de courant.

4.2 Réexion en présence de courant et variabilité selon x