Bathymétrie: choix de la longueur, de la période, de l'amplitude

Similitude de Froude et modèle réduit Une houle côtière classique en Méditerranée a une période comprise entre 4 et 8s pour une profondeur d'eau moyenne de 10m. Par similitude de Froude, cela nous mène à une hauteur d'eau de 22cm, ce qui correspond parfaitement aux dimensions de notre canal. On obtient également des houles de période comprises entre 0.63 et 1.1s, ce qui là encore correspond aux capacités de notre batteur. Ces houles ont donc une fréquence comprise entre 0.9 et 1.6Hz, et une longueur d'onde associée de 0.59 à 1.44m (pour un nombre d'onde allant de 4.37 à 10.51 rad/m et un rapport h/λ de 0.15 à 0.37 (ce qui nous place bien en profondeur intermédiaire). Il serait donc judicieux de caler le phénomène de résonance de Bragg sur ces caractéristiques de houle an d'en faciliter l'observation. On rappelle que le phénomène se produit pour un fond sinusoidal de longueur d'onde deux fois inférieur à la

Figure 3.7: Dimensionnement du fond sinusoidal: a) inuence de la longueur totale, pour a=0.035m -b) inuence de l'amplitude des oscillations, pour n=10 longueurs d'onde de fond longueur d'onde de la houle. Ici, notre houle a des longueurs d'onde centrées en λ = 1m environ, le fond idéal serait donc de longueur d'onde λ = 50cm.

Dimensionnement et pré-calculs Pour observer le phénomène de résonance de Bragg, un fond sinusoïdal a été réalisé. Nous nous sommes basés sur la première étude de Simon ([170]), réalisée dans le même canal. La bathymétrie choisie avait les caractéristiques suivantes : 6 périodes de 50cm de longueur d'onde (entre 2.05 et 5.05m) et une amplitude de 1.5cm. Cette bathymétrie avait permis d'observer une réexion de l'ordre de 30% environ, nous souhaitions amplier ce résultat an de mieux observer l'inuence du cisaillement par la suite. Pour cela, nous avions deux moyens d'action: rajouter des périodes de fond et/ou augmenter l'amplitude des oscillations. Dans une première campagne de pré-dimensionnement, nous avons utilisé un fond ondulé de 2cm d'amplitude, toujours de 50cm de longueur d'onde mais avec cette fois seulement 4 périodes. Nous n'avons cependant obtenu que des résultats peu exploitables et brouillés. An de déterminer l'impact de chaque caractéristiques du fond, nous avons mené en parallèle une rapide étude prédictive à l'aide de deux codes de calcul simples. Le premier code de calcul est basé sur l'approche analytique de Kirby, présenté au paragraphe 1.5.3. On rappelle qu'il s'agit d'un modèle par perturbations qui se ramène, en l'absence de courant, au modèle de Mei (1983 [128]). Nous avons dans un premier temps xé l'amplitude de fond sinusoidal à 0.035m et fait varier le nombre de portions de 4 à 10. Ensuite, nous avons xé le nombre de portions à 10 et fait varier l'amplitude des oscillations de 0.01m à 0.045m. Les courbes obtenues sont présentées sur la gure (3.7).

Figure 3.8: Etude prédictive: réexion pour un fond sinusoïdal de 0.035m d'amplitude - Méth-ode Kirby - MéthMéth-ode Intégrale aux Frontières

phénomène, avec un coecient de réexion de presque 60%. Nous avons donc choisi d'installer notre nouveau fond sur 10 périodes, le nombre maximum que l'on peut placer dans le canal compte tenu de ses dimensions et de la place à garder en amont et en aval pour les mesures des champs incident et rééchi. Ainsi, la houle parcourra 5m de fond sinusoïdal au lieu de 3m auparavant. D'après la deuxième gure (3.7), augmenter l'amplitude des oscillations ane également le pic de Bragg et augmente la réexion. Nous avons donc modié l'amplitude des oscillations de 2cm à 3.5cm, ce qui d'après nos prédictions numériques nous permettrait d'observer un pic de Bragg étroit et bien formé, avec une réexion d'environ 55%. Nous avons donc les paramètres adimensionnés suivants a

Lb = ^3.5₅₀ = 0.07et a

h = 0.16. La condition de Pente Douce de nos modèles numériques, qui impose une courbure du fond inférieure à 0.33, est bien satisfaite: la courbure de notre nouveau fond est de 0.28.

Une fois les caractéristiques du fond choisies, on fait une dernière estimation de la réexion attendue sans courant, avec le premier code (modèle par perturbations de Kirby, 1988) et pour aner l'estimation, avec le second modèle également. Ce dernier est basé sur une méthode Intégrale aux Frontières (IAF, parfois appelé EFE pour Eigen Function Expansion matching method) (Rey, 1992 ([156])), rapidement présentée dans le paragraphe 1.3.2.4. Ce modèle a été exploité dans de nombreuses études: Takano (1960, [187]), Kirby & Dalrymple (1983, [102]), Belzons et al. (1991, [19]), Rey (1991, [155]) Rey et al. (1992, [157]). Il s'agit du modèle potentiel avec résolution intégrale des conditions de pression et de ux entre domaines successifs de profondeur d'eau constante. Nous avons choisi d'utiliser deux méthodes pour obtenir une fourchette d'estimation du coecient de réexion à la fréquence de résonance, et ces deux méthodes en particulier car elles sont peu coûteuses en terme de calculs et que nous disposions déjà des codes sous Matlab. Concernant la bathymétrie, nous avons repris les caractéristiques du dispositif expérimental: un fond sinusoidal de 10 périodes de longueur d'onde de 50cm et d'amplitude 3.5cm. Des houles se propagent au-dessus de ce fond par 0.22m de hauteur d'eau moyenne, sur la plage de fréquence comprise entre 0.5 et 2Hz. D'après les résultats présentés sur la gure (3.8), en l'absence de courant, d'après les calculs de prédimensionnement, ce fond devrait nous mener à une réexion de presque 60%. Ainsi, en doublant l'amplitude des oscillations et presque le nombre de périodes, nous devrions multiplier par deux (en termes d'amplitude) l'impact de ce fond sur la propagation de la houle.

Figure 3.9: Bathymétrie - a) Schéma d'une longueur d'onde de fond - b) Bathymétrie installée dans le canal

d'onde) emboitables, en bois et résine époxy. Chaque portion est creuse et risque donc de otter, mais une encoche est prévue pour insérer une plaque métallique qui servira de lest. La gure (3.9) rappelle ses caractéristiques et nous montrent le fond une fois installé dans le canal. Limites Une limite importante de notre dispositif expérimental découle de ce dimension-nement de la bathymétrie. Avec une longueur d'onde de fond de 50cm, le phénomène de ré-sonance de Bragg aectera particulièrement les houles de longueur d'onde de 1m. Cependant, pour bien observer le phénomène, nous considérons des houles de longueur d'onde comprise entre 0.59 et 1.44m en l'absence de courant, et 0.31 et 1.17m en présence de courant. Dans les deux cas, notre canal étant large de 30cm, les modes transverses peuvent être excités (corre-spondant à une houle de longueur d'onde de 60cm). Ces modes transverses vont perturber la surface libre et risquent de fausser la mesure de la réexion. Pour minimiser ce risque, nous plaçons nos sondes au centre du canal, au plus près des noeuds.

A présent que les principales dimensions de notre dispositif ont été xées, nous pouvons soulever la questions des eets capillaires. A priori négligeables, la résolution de la relation de dispersion sans (1.16) puis avec ces eets (1.33) nous permet de nous en assurer. L'écart est de l'ordre de 4k = −0.0188%, cette inquiétude est donc écartée.