Courant cisaillé horizontalement polynomial

Nous passons donc à une modélisation horizontale d'ordre supérieur: une approche polynomiale, en considérant cette fois les quatre prols verticaux relevés le long du canal (3.4). Là encore, nous partons initialement sur l'approximation de la vorticité pour en déduire ensuite l'intensité du courant de surface, puis nous ferons l'inverse.

Approximation polynomiale d'ordre 3

Interpolation du champ de cisaillement Puisque nous disposons de quatre prols verti-caux, une approximation polynomiale d'ordre 3 nous paraît cohérente pour une première ap-proche. Toujours par une méthode des moindres carrés, nous établissons la loi d'approximation polynomiale de la vorticité suivante:

s(x) = 0.0129.x³− 0.217.x2+ 0.8294x − 0.5285 (4.9) Elle est présentée sur la partie gauche de la gure (4.10), et nous remarquons une assez bonne corrélation avec les mesures, à part pour la première partie de l'écoulement (entre 0 et 2m), où la vorticité devient négative alors que la première mesure, à 1.17m, nous la présente comme clairement positive... Comme précédemment, par souci de cohérence physique, nous déterminons ensuite l'intensité du courant de surface grâce à la formule par débit conservé (4.6), elle est présentée sur la partie droite de la gure (4.10). On remarque directement que cette modélisation est très éloignée des mesures de courant de surface. On note en premier l'allure pseudo-sinusoïdale au-dessus du fond ondulé, mais qui ne se maintient pas. Ensuite, entre 2 et 7m, l'intensité du courant en surface décroît à peu près de la même façon dans l'approximation que dans les mesures. Cependant, on observe un écart colossal: à l'exception du point-référence pour le débit (en x = 8.68m), l'approximation s'éloigne des mesures de 55.62% à 85.63%. Nous nous attendons donc à des écarts aussi signicatifs dans le calcul de l'amplitude du pic de Bragg. Les résultats du calcul de réexion de la houle sont présentés sur la gure (4.11)

On constate en eet que les modèles ne sont pas vraiment en adéquation avec les résultats expérimentaux. M1 sous-estime largement le maximum de réexion (-43.83%), et est encore plus éloigné que précédemment en terme de fréquence pic associée (+7.7%). M2 s'en sort mieux, une nouvelle fois, mais la qualité de l'approximation n'est pas satisfaisante: la fréquence pic est bien déterminée (écart de 4.13% seulement) mais l'amplitude reste encore surestimée de presque 30%. Cette approche ne sera pas considérée comme pertinente. Peut-être qu'une

Figure 4.11: Réexion de la houle selon l'approximation polynomiale de la vorticité meilleure approximation de l'intensité du courant de surface améliorera les performances de nos modèles?

Interpolation du courant de surface Cette fois, la loi d'approximation que nous avons déterminée pour l'intensité du courant de surface reste cohérente même sur les bords du domaine (pas de changement de signe aberrant). Elle est présentée sur la partie gauche de la gure (4.12), et s'écrit:

U₀(x) = 0.0018x³− 0.022x2+ 0.0466x − 0.1348 (4.10) et on déduit l'évolution horizontale de la vorticité par conservation du débit, grâce à la relation (4.8). Si on se penche sur les résultats numériques issus de ce prol (4.13), on constate que cette fois encore M2 est le plus proche des résultats expérimentaux (un écart d'amplitude de 14.68%, contre presque 39% pour M1), même s'il est cette fois légèrement moins précis en terme de fréquence pic associée (6.82% d'écart contre 5.92% pour M1). On remarque de bonnes tendances sur le reste de la plage de fréquences également: le premier maximum local est placé exactement sur la bonne fréquence (bien que surestimé de presque 100%), et une réexion décroissante sur les hautes fréquences (bien que sous-estimées). Si on cherche la source des écarts du côté de la vorticité, son évolution est, comme précédemment, présentée sur la partie droite de la gure (4.12). Et là encore, malgré une tendance à la décroissance plutôt juste, on constate toujours des écarts que l'on ne peut tolérer, avec des changements de signe parfaitement inappropriés sur toute la première moitié du canal.

Tenir compte des évolutions spatiales du courant dans la modélisation reste une bonne idée, car cela nous rapproche des conditions expérimentales. Cependant, un choix inapproprié de lois d'approximation polynomiale nous a mené à de mauvaises représentations de la réexion de la houle, moins pertinentes que les représentations par courant uniforme. En examinant les évolutions des paramètres déduits, nous avons constaté des incohérences, notemment sur les bords de domaine, avec parfois mêmes des signes contradictoires. Pour remédier à cela, nous proposons une nouvelle forme d'approximation polynomiale, d'ordre 5 cette fois.

Figure 4.12: Modélisation par courant de surface horizontalement polynomial: a) approximation polynomiale d'ordre 3 du courant de surface le long du canal - b) Comparaison entre la loi d'approximation du cisaillement et les mesures expérimentales

Figure 4.14: Modélisation par cisaillement horizontalement polynomial: a) approximation poly-nomiale d'ordre 5 du cisaillement le long du canal - b) Comparaison entre la loi d'approximation du courant de surface et les mesures expérimentales

Approximation polynomiale d'ordre 5

Pour établir une loi polynomiale d'ordre 5 avec seulement quatre valeurs, nous avons supposé qu'une fois l'écoulement au-dessus d'un fond plat, le prol de courant ne changerait plus de façon signicative. Autrement dit, pour le paramètre considéré nous avons dupliqué les valeurs d'entrée et de sortie d'écoulement (prises respectivement en x4 = 8.68met x1 = 1.17m) sur les extrêmes bords du domaine (respectivement en x4 = 9m et x1 = 0m). Nous disposions alors de six valeurs pour le cisaillement et six valeurs pour l'intensité du courant de surface, ce qui nous a permis - toujours par méthode des moindres carrés - d'obtenir des lois d'approximation plus cohérentes en bord de domaine.

Interpolation du champ de cisaillement Comme précédemment, nous avons commencé par imposer le cisaillement, et nous reprenons la loi (3.21) que l'on a établie au pragraphe (3.2.2.4.2), qui est présentée sur la gure (3.16) et est rappelée ici sur la gure (4.14). Si on compare cette loi à la précédente (4.9), on constate deux améliorations: sur l'entrée du domaine le signe du cisaillement reste cohérent, et sur le début du fond ondulé, entre 2 et 4m, la valeur est bien plus pertinente (auparavant, elle était quasiment doublée par rapport à la valeur d'entrée, ce n'est plus le cas). L'allure est lissée, et nous n'avons plus de valeurs extrêmes. En ce qui concerne les résultats issus des modèles sur la base de ce modèle (gure (4.15)), nous nous attendions à des écarts d'amplitude, et c'est ce que nous obtenons. M2 nous renvoie un maximum de réexion grandement surestimé à presque 0.5 quand le pic expérimental ne dépasse pas 0.4, et M1 nous présente un pic de Bragg complètement eondré, à à peine 0.2. En terme de fréquence pic associée, M2 fait mieux que M1, mais les deux dépassent 1.15Hz quand le pic expérimental est proche de 1.1Hz. Concernant les évolutions aux hautes fréquences, les deux modèles ont adopté une allure correcte, en décroissance douce (bien que M2 reprenne sa tendance en bosses successives vers la n de la plage de fréquences). L'écart d'amplitude pour le maximum de réexion s'explique facilement lorsqu'on regarde l'évolution de l'intensité du courant de surface. Notre loi d'approximation est de qualité médiocre concernant ce paramètre: si l'allure est encore une fois respectée, l'intensité du courant de surface est pratiquement nulle (inférieure à 5cm/s) sur la première moitié du canal, alors qu'elle a été relevée comme variant entre 10 et 20 cm/s dans cette zone. Comme nous l'attendions, sous-estimer le courant de surface (en valeur absolue) a amplié la réexion calculée par M2 et réduit celle calculée par M1. Nous allons passer à une approximation du courant de surface, toujours par une fonction polynomiale d'ordre 5, pour tenter de corriger ces défauts.

Figure 4.15: Réexion de la houle selon l'approximation polynomiale de la vorticité Interpolation du courant de surface Nous reprenons donc la même méthode que dans le paragraphe précédent et établissons une loi empirique d'estimation de l'intensité du courant de surface, sous la forme d'un polynôme d'ordre cinq:

U0(x) = −0.0001.x⁵ + 0.002.x⁴− 0.0129x³+ 0.0247.x²− 0.0143.x − 0.1075 (4.11) Si on regarde par avance l'évolution induite du cisaillement (4.16), on remarque un prob-lème. Puisque cette évolution dépend directement de l'évolution imposée du courant de surface, les allures vont être similaires: le long du canal, une forte décroisance puis une légère réaug-mentation. Or, dans le cas de la vorticité, cela ne marche pas car le cisaillement décroit de façon beaucoup plus lente. On observe donc un gros décalage sur l'ensemble du canal: sur la première moitié, le cisaillement est relevé comme légèrement positif alors que notre approxima-tion l'impose comme compris entre -0.5 et -1.5s-1. Sur la troisième position, on retrouve encore ce décalage de -1.5s-1: il est relevé à 0.5 et on l'impose à -2s-1. On s'attend donc à retrouver des amplitudes cohérentes mais un décalage en fréquence un peu plus important que précédement. Et c'est bien le cas (4.17): M2 est assez proche en amplitude (0.3982 au lieu de 0.3664) mais a une fréquence associée encore trop décalée (1.19Hz au lieu de 1.114Hz). M1 présente à nouveau une réexion bien trop surestimée (0.4883).

Après avoir établi de nombreuses lois d'approximation, tantôt pour approcher le cisaillement, tantôt pour approcher l'intensité du courant de surface, il est temps de faire un bilan.