Courant cisaillé horizontalement linéaire

La manière la plus simple de représenter l'évolution du prol de courant le long du canal est de considérer une loi linéaire entre le premier et le dernier prol mesurés. Cependant, lorsqu'on impose une hauteur d'eau constante (vériée au paragraphe 3.4.1.1), on ne peut déterminer arbitrairement toutes les vitesses à la fois sur la verticale et sur l'horizontale, car cela contreviendrait à la conservation du débit dans l'écoulement. Le prol de courant étant déterminé par deux paramètres (l'intensité en surface et le cisaillement), il nous a donc fallu en choisir un et déduire l'autre par conservation du débit, an d'être cohérents avec la réalité expérimentale.

Figure 4.5: Modélisation par courant cisaillé horizontalement uniforme: a) Prols P1 et P4 -b) Prols virtuels

Interpolation du champ de cisaillement

Cette étude porte sur l'inuence du cisaillement sur le comportement de la houle, il nous a donc semblé logique d'établir une loi qui approche le cisaillement au plus près des valeurs expérimentales, et de seulement déduire l'intensité du courant en surface. Cette approche est représentée sur la partie gauche de la gure (4.6), et la loi associée, déterminée par la méthode des moindres carrés, s'écrit :

s(x) = −0.1871x + 0.386 (4.4)

Ensuite, il s'agit de déterminer le débit entrant dans le canal d'après les caractéristiques relevées en entrée de l'écoulement, en x4 = 8.68m et présentées sur le tableau (4.2):

Q(x₄) = U₀(x₄).h(x₄) − ^h(x4) 2.s(x₄) 2 = 0.0107m³.s⁻¹ (4.5) On écrit ensuite la conservation de ce débit le long du canal:

∀x ∈ [0 : 9], Q(x) =

U₀(x).h(x) − ^h(x)2₂^.s(x)

= Q(x₄)

Dans cette expression, h(x) et s(x) sont imposées, on peut donc en déduire l'expression de U₀(x):

U0(x) = ^Q(x4) h(x) ⁺

h(x).s(x)

2 (4.6)

Nous avons ainsi déterminé un prol de courant verticalement cisaillé et horizontalement linéaire, et les résultats basés sur ce prol sont présentés sur la la gure (4.7). On constate une inversion de la tendance observée précédemment: cette fois, c'est notre modèle M2 qui propose une approximation supérieure en amplitude, et toujours plus précise en fréquence. Par rapport aux donnés expérimentales, M1 présente un pic décalé de 6.37% en fréquence et -7.94% en amplitude, tandis que M2 présente un pic décalé de 3.68% en fréquence et +14.056% en amplitude. Cependant, pour les hautes fréquences, là où M1 conserve son évolution en sinusoïdes, M2 nous présente à nouveau une réexion importante et décroissant lentement, de façon parallèle à la décroissance observée expérimentalement, mais sous-estimée d'environ -39.75%.

Figure 4.6: Modélisation par cisaillement horizontalement linéaire: a) approximation linéaire du cisaillement le long du canal - b) Comparaison entre la loi d'approximation du courant de surface et les mesures expérimentales

En cherchant l'origine de ces écarts, tant sur le pic de Bragg qu'aux hautes fréquences, on a comparé l'intensité du courant de surface calculée et celle bel et bien mesurée dans le canal (deuxième partie de la gure (4.6). On constate une corrélation mitigée. Nous avons superposé (sans considération d'échelle) le fond ondulé sur la gure, et on observe logiquement une évolution d'allure sinusoïdale au-dessus de ce fond. La loi passe également de façon attendue par le point de mesure en x = 8.68m car c'est à cette position que nous avons calculé le débit entrant dans le canal. Par contre, à l'autre extrémité, notre approximation dévie de la mesure à -72.16%. Notre simulation considère un courant de surface bien trop faible sur la partie gauche du canal. Pour déterminer quel impact cette erreur a sur nos résultats, nous choisissons de procéder de la manière inverse, et de déterminer une loi d'approximation de l'intensité du courant de surface pour en déduire la vorticité.

Interpolation du courant de surface

Nous avons donc établi une loi d'évolution linéaire entre les courants de surface mesurés en entrée et en sortie d'écoulement, elle est présentée sur la partie gauche de la gure (4.8). Les coecients de la loi ont, comme précédemment, été déterminés de façon empirique par une méthode des moindres carrés:

U₀(x) = −0.0103x − 0.0955 (4.7)

Nous en avons ensuite déduit le cisaillement par conservation du débit: s(x) = −2Q(x₄)

h(x)2 + ^2U0(x)

h(x) (4.8)

Les résultats donnés par nos deux modèles sur la base de ce prol de courant sont présentés sur la gure (4.9). Nous avions vu précédemment que l'intensité du courant de surface jouait un rôle important sur l'amplitude du pic de Bragg, et cela se vérie ici. Dans aucune autre conguration précédemment testée, nous n'avions eu une aussi bonne corrélation numérique - expérimental, pour les deux modèles. M1 nous présente un maximum de réexion décalé de 5.92% en fréquence et seulement -0.33% en amplitude, et M2 ore un maximum décalé de 2.78% en fréquence et -4.34% en amplitude. De plus, M2 ore une corrélation particulièrement bonne sur le reste de la plage de fréquence, sur le premier maximum local aux alentours de 1Hz notamment puis sur les plus hautes fréquences, au-delà de 1.4Hz. Persiste toutefois ce décalage en fréquence du pic de Bragg, ainsi que le second pic de réexion aux alentours de 1.3Hz qui cette fois a de nouveau été ignoré par les deux modèles. Sachant que ce dernier avait bien été représenté par les modélisations précédentes où la vorticité était bien approchée, voyons si notre loi d'approximation la concernant est pertinente. Elle est présentée dans la partie de droite de la gure (4.8).

Cette fois encore, la loi d'approximation déduite de la conservation du débit passe à côté de ce qu'il se passe réellement en début de canal. La vorticité est ici complètement faussée, même le signe est faux: en x = 1.17m, la vorticité expérimentale est de 0.1678s-1et notre loi d'approximation la xe à -0.54s-1. (On note au passage que la superposition du fond ondulé sur le graphe s'est faite à la même échelle que sur la gure précédente (4.6), pour comparer visuellement les écarts entre les mesures et les lois d'approximation). Notre méthode basée sur une évolution linéaire du prol de courant n'est pas susante pour approcher correctement à la fois la vorticité et l'intensité du courant de surface. Des écarts problématiques persistent, preuve que nous passons encore à côté de phénomènes physiques essentiels qui surviennent dans l'écoulement et impactent la réexion de la houle.

Figure 4.8: Modélisation par courant de surface horizontalement linéaire: a) approximation linéaire du courant de surface le long du canal - b) Comparaison entre la loi d'approximation du cisaillement et les mesures expérimentales

Figure 4.10: Modélisation par cisaillement horizontalement polynomial: a) approximation poly-nomiale d'ordre 3 du cisaillement le long du canal - b) Comparaison entre la loi d'approximation du courant de surface et les mesures expérimentales