Extensions du modèle de Berkho selon l'ordre de variation de la pente

Suite à l'équation de Berkho, beaucoup d'autres modèles s'en sont inspirés pour traiter la propagation de vagues de petite amplitude au-dessus de bathymétries faiblement variables: Vainberg & Maz'ja (1973 [197]), Fitz-Gerald (1976 [67]), Fitz-Gerald & Grimshaw (1979 [68]), Simon & Ursell (1984 [171]), Kuznetsov (1993 [107]), Evans & Kuznetsov (1997 [64]). Parmi eux, deux catégories se distinguent. Tout d'abord, dans la lignée de la méthode exacte présentée précédemment, d'autres méthodes générales vont résoudre les problèmes linéaires de façon directe: pour n'en citer que quelques uns Mei (1978 [127], 1983 [128]), Euvrard & al (1981 [61]), Yeung (1982 [208]). Les autres modèles sont construits sur des méthodes de discrétisation spatiale : Devillard, Dunlop & Souillard (1988 [50]), Rey (1992 [157]), Evans & Linton (1994 [63]). Cependant, ces modèles ont un coût de calcul considérable et sont inaptes aux simulations 3D.

Equation de pente douce (MSE) de Kirby (1984) C'est alors que les travaux de Booij (1981 [24]) et Liu (1983 [111]) prennent le relais et préparent le terrain pour l'étude de Kirby (1984 [96]). Ce dernier, à partir du modèle de Berkho, obtient une équation linéaire elliptique qui combine les eets de la réexion, de la réfraction et de la diraction (via un développement par pertubations) sur une bathymétrie faiblement variable. Cette équation, appelée Equation de Pente Douce ou 'Mild-slope Equation' (M.S.E.) sera largement utilisée, notamment pour modéliser l'agitation portuaire. Nous allons la présenter ici sous sa forme initiale, en l'absence de courant.

Nous reprenons les hypothèses et notations présentées plus tôt. La relation de dispersion de la houle est de la forme (1.16). Avant d'entrer en détails dans la théorie linéaire développée par Kirby, faisons un bref rappel sur le principe variationnel et le Lagrangien. Le Lagrangien L a été formulé pour la première fois dans le cadre de la propagation de la houle dans les années 1960 et 1970, par Luke (1967 [117]) puis Whitham (1970 [204], 1974 [205]). Le Lagrangien d'un système isolé est la diérence entre les énergies cinétique et potentielle de ce système, et il est donc logiquement nul pour un système à l'équilibre. On peut écrire le principe variationnel autour de la position d'équilibre, pour décrire l'évolution d'une houle de faible amplitude. En eet, la faible amplitude permet de voir l'élévation de la surface libre comme une petite uctuation autour de la position de repos :

δJ = δ  t  x L.dx.dt = 0 (1.120)

écrite avec la fonctionnelle J. Suivant ce principe et toujours dans la théorie potentielle linéaire, Luke (1967 [117]) démontre l'égalité entre le Lagrangien L de l'écoulement et l'intégrale

du terme de pression sur la hauteur d'eau locale : L =  η(x,t) −h(x,t) −^p ρ^dz (1.121)

A partir de là, nous pouvons aisément retrouver les conditions aux limites habituelles présen-tées dans la section 2 de ce chapitre.

Dans la théorie potentielle linéaire et sous l'hypothèse de faible pente, Kirby calcule le La-grangien L de l'écoulement à partir de l'expression (1.121). Il s'agit alors d'exprimer l'expression obtenue par rapport au potentiel réduit φ et l'élévation de surface libre η, et de l'insérer dans l'équation mild-slope de Berkho (1.57) pour obtenir:

D2φ

Dt2 −^−→∇(CC_g^→−∇φ) + (ω2− k2CC_g)φ = 0 (1.122) Si l'on choisit de ne pas travailler avec le potentiel complexe mais avec sa décomposition en mode locaux, en ne gardant que le mode propagatif (pour caractériser le champ de la houle hors des inhomogénéités), alors le potentiel se décompose comme suit:

φ(x, y, z) = ϕ0(x, y).Z0(x, z) (1.123) Avec la fonction Z0(x, z) fonction propre de la relation de dispersion, fonction de Green pour l'intégrale (1.52) et prol vertical de la forme :

Z₀ = ^{cosh(k0(z + h))}

cosh(k0h) (1.124)

L'équation prendra sa forme nale:

CC_g∇2ϕ₀+ ∇CC_g∇ϕ₀+ k²CC_gϕ₀ = 0 (1.125) D'autres études ont essayé d'élargir le champ d'application de l'équation de Berkho, par exemple à des houles non-linéaires ou instationnaires, se propageant au-dessus de bathymétries plus abruptes. En 1986, Kirby ([97]) considère la propagation d'une houle au-dessus d'une topographie pouvant se décomposer en deux parties: une première variant dans l'approximation mild-slope, et la deuxième composée de rides et superposée à la première. Son modèle tient compte des modes évanescents, et le potentiel de la houle dépend du temps et néglige les termes d'ordre O(kδr), d'ordre O(

 − → ∇_hh    2 ) et d'ordre O(^−→∇2

hh), où δr est la variation de la profondeur autour de sa valeur moyenne. L'équation s'écrit comme suit :

∂2φ ∂t2 −^−→∇_h(CC_g−→ ∇_hφ) + (ω²− k2CC_g)φ + ^g cosh²(kh) − → ∇_h(δ_r−→ ∇_hφ) = 0 (1.126) Il s'agit de l'équation de pente douce étendue.

Equation de pente douce modiée (MMS) de Chamberlain & Porter (1995) L'équation de pente douce de Kirby sera modiée plus tard par Chamberlain & Porter (1995 [31], 1997 [151]) pour prendre en compte à un ordre supérieur la pente et la courbure du fond, c'est-à-dire des variations topographiques plus grandes et plus rapides. Pour cela, les termes d'ordre O(  − → ∇_hh    2 ) et d'ordre O(^−→∇2

hh), négligés dans l'équation de pente douce étendue, seront cette fois conservés. Nous obtenons alors l'équation de pente douce modiée, ou Modied Mild Slope equation (M.M.S):

− → ∇_h(CC_g−→ ∇_hφ) + (k²CC_g+ ^r g^{)φ = 0} (1.127) avec le terme r = O(  − → ∇_hh   ,−→ ∇2 hh) r =  ₀ −h f (z)−→ ∇2 hf (z).dz +−→ ∇_hh.[f (z)−→ ∇_hf (z)]_z=−h (1.128) En passant par la décomposition en modes locaux, l'équation de pente douce modiée peut se reformuler comme suit :

CC_g∇²ϕ₀+ ∇CC_g∇ϕ₀+ (k²CC_g+ g.∇2 Z₀, Z₀ + g^{ ∂Z0} ∂z ^{(−h) + ∇Z0.∇h}  Z₀(−h))ϕ₀ = 0 (1.129) où le termeh∇2Z0, Z0i fait référence au produit scalaire déni par (1.115).

La prise en compte du second ordre de la pente et de la courbure du fond apparaissent dans les termes g. h∇2Z₀, Z₀i + g∂Z0

∂z (−h) + ∇Z₀.∇h Z₀(−h) faisant intervenir les dérivées premières et secondes de la fonction Z0, cette dernière dépendant directement du nombre d'onde k0, qui lui-même dépend de la profondeur d'eau, de la pente et de la courbure du fond. Lorsque ces termes sont négligés, l'équation se réduit à l'équation de pente douce étendue de Kirby (1.125), qui ne tient compte qu'au premier ordre de la pente du fond. L'équation de pente douce modiée de Chamberlain & Porter (1.127) va d'ailleurs s'avérer plus ecace sur des bathymétries rapidement variables.

En suivant une approche diérente, Chandrasekera & Cheung (1997 [32]) obtiendront toute-fois une formulation équivalente. Suh et al (1997 [184]) étendront la formulation de Chamberlain & Porter en considérant les variations temporelles de la houle, sous la formulation suivante :

∂2φ

∂t2 −^−→∇_h(CC_g−→

∇_hφ) + (ω²− k2CC_g − ^r

g^{)φ = 0} (1.130)

Système de Berkho généralisé de Massel (1993): Mais l'importance du fond et de ses caratéristiques ne s'arrête pas là. Les modes locaux ou modes évanescents ont été une autre piste de développement, après la découverte de leur rôle signicatif sur la propagation de la houle en présence de bathymétrie abrupte. Ils viennent s'ajouter au mode propagatif dans le potentiel des vitesses solution. De nombreux travaux en ont fait leur point de mire: Guazzelli et al. (1992 [78]) les utilisent pour décrire le comportement de la houle face à des obstacles sinusoïdaux, tandis que Rey (1992 [157]) applique la méthode numérique de résolution de Takano (1960 [187]) à la modélisation de la propagation de la houle au-dessus d'obstacles abrupts. Mei étudie également les modes évanescents dans une conguration de résonance sous-harmonique: des tempêtes impactant le lagon vénitien (1994 [131]). Kirby & Dalrymple l'ont particulièrement mis en avant dans leurs travaux sur l'eet tunnel (1983 [102]). Dix ans plus tard, Massel développe le système de Berkho généralisé (1993 [123]): un modèle couplé basé sur l'équation de pente douce, étendue pour tenir compte des eets d'une bathymétrie plus variable grâce aux modes évanescents. On rappelle que le potentiel s'écrit comme : Φ(x, z, t) = <(φ(x, z) exp(−iωt)) où φ(x, z) est le potentiel complexe de la houle. La suite (détaillée dans [178]) est basée à nouveau sur la décomposition du potentiel des vitesses en modes locaux, sous la forme :

φ(x, z) = +∞ X

n=0

ϕ_n(x).Z_n(x, z) (1.131)

où les fonctions Zn(x, z)∀n = 0, 1, ...sont obtenues comme les fonctions propres de la relation de dispersion , appelée aussi problème local vertical de Sturm-Liouville et formulés sur la colonne d'eau, soit −h(x) < z < 0. La fonction Z0a toujours la même formulation et les autres fonctions sont de la forme :

Z_n = ^{cos(kn(z + h))}

cos(knh) ∀n = 1, 2.. (1.132)

Comme précédemment, le mode 0 correspond au mode propagatif et les modes 1, 2, ... sont les modes évanescents considérés. Le nombre d'onde du mode propagatif est toujours déterminé par la relation de dispersion propagative locale et les nombres d'ondes évanescents, eux, sont solutions des relations de dispersion locales évanescentes présentées ici.

Comme précédemment également, la cinématique et la dynamique du problème seront décrites, après linéarisation, par le principe variationnel de Luke (1967 [117]). Nous obtenons -nalement une reformulation du problème linéarisé d'intéraction houle-bathymétrie sous la forme d'un système d'équations couplées, ayant pour inconnues les potentiels complexes ϕn(x):

+∞

X

n=0

amn∇²ϕn+ bmn∇ϕn+ cmnϕn = 0 (1.133) Les coecients amn, bmn et cmn sont uniquement fonctions de x et sont donnés par :

a_mn = hZ_m, Z_ni (1.134)

bmn = 2 hZm, ∇Zni + ∇h.Zm(−h).Zn(−h) (1.135)

c_mn= hZ_m, 4Z_ni + Z_m(−h).(^∂Zn ∂z z=−h

+ ∇Z_n.∇h) (1.136)

Avec Zmn = Z_m(z = 0).Z_n(z = 0) = 1. Les crochets représentent toujours le produit scalaire sur la colonne d'eau, déni par 1.115.

On remarque qu'en ne conservant que le mode propagatif, on retombe sur l'équation de Chamberlain & Porter :

∇(CC_g∇ϕ₀) + [k²₀CC_g+ gc²₀₀]ϕ₀ = 0 (1.137) avec:

c00 =∇2Z0, Z0 + ∇h.∇Z0.Z0(−h) (1.138) Là encore, on constate que le terme c00 est bien le terme directement associé aux eets au second-ordre de la pente et de la courbure du fond. Cependant, dans le système de Berkho généralisé, la condition de fond proposée impose de considérer le fond comme constant par morceaux. Il est donc malgré tout encore dicile de représenter correctement le potentiel de la houle près du fond, et la solution ne vérie pas la conservation de l'énergie. Ce problème sera pallié plus tard (voir Section 1.5).