Les fonctions de Green

Mise en place des fonction de Green

Les nombres de Love permettent de calculer des pseudo fonctions de Green, c’est- à-dire la réponse de la Terre modélisée à une masse ponctuelle unitaire situé à une distance θ du point d’observation Longman (1963); Farrell (1977). Ces fonctions sont obtenues en combinant, pour chaque ordre, la contribution du déplacement radial (proportionnel à hn), la contribution du potentiel (ou redistribution des masses, pro- portionnel à kn) et ce, pour chaque observable géodésique. Ainsi,

           gE_{(θ) =} g me ∞

∑

∑

où les fonctions Pn représentent les polynômes de Legendre, expression des har- moniques sphériques dites circulaires. On sépare traditionnellement les effets dits indirects et purement élastiques gE et tE des effets newtoniens gN et tN (calculés en section 3.1.1 page 26, qui sont déjà écrits sous la forme d’une fonction de Green).

Le formalisme des fonctions de Green est particulièrement adapté au calcul de dé- formation régionale. L’effet de surcharge sur un observable géodésique, créé par une répartition quelconque de masse sur une surface S, peut être calculé par convolution avec la fonction de Green adaptée :

D=

Z

S

σ f g(θ)dS=σ⊗ f g

où f g représente la fonction de Green, σ la répartition surfacique de masse sur la surface chargée S, θ la distance angulaire entre la charge et le point d’observation.

Une propriété intéressante de la convolution permet de mieux comprendre la sensibilité du tilt : en effet, la déformation faisant apparaître la dérivée des polynômes de Legendre peut être ré-écrite comme une fonction de Green "normale" de la manière suivante : D=σ⊗ f g  ∂Pn ∂θ  = ∂σ ∂θ ⊗ f g(Pn)

Les inclinomètres sont ainsi sensibles au gradient de charge.

La figure 3.2 montre la fonction de Green en tilt (déviation de la verticale) calculée par différents auteurs pour différents modèles de Terre. Quand les distances sont supérieures à 100 km, c’est-à-dire 1˚, ces fonctions sont toutes identiques. En effet, si la charge est loin, le manteau et le noyau sont les seules entités mobilisées dans la déformation, ils sont décrits de manière approximativement identique dans tous les modèles. Les divergences apparaissent lorsque l’on se rapproche de la charge. Il faut alors décrire les caractéristiques mécaniques de la croûte, qui divergent selon les modèles. A noter que les données sont réduites par la distance curviligne (aθ)2_, le palier pour les distances inférieures à 10 km indique donc que le tilt se comporte comme une fonction en 1/r2, quelque que soit le modèle, comme le prévoit la solution de Boussinesq.

3.1. Attraction newtonienne et surcharge 29

Fig. 3.2 – Fonctions de Green élastiques en tilt (déviation de la verticale) calculées par différents auteurs, avec différents modèles de Terre (et de croûte en particulier). La fonction de Green pour la déformation newtonienne est développée en annexe. Noter que les courbes sont réduites en(aθ)2.

Solution asymptotique

En faisant décroître la distance θ à la charge, une Terre à plusieurs couches répond comme un demi-espace infini ayant les propriétés de la couche la plus en surface. Cette dernière remarque indique que les solutions pour une Terre sphérique et une Terre plate doivent se connecter et que les nombres de Love doivent converger vers les propriétés élastiques des couches de surface λ, µ et ρ.

(Farrell, 1977) démontre le lien entre les nombres de Love infinis et les propriétés mécaniques des couches de surface, et utilise la solution asymptotique de Boussinesq (1885) pour faire converger les nombres de Love infinis (voir tableau 3.2 page 27) :

lim n→ +∞   h0_n nl0_n nk0_n  = gme 4πa2_η    −σ µ 1 −_2<3ρη ρ>µ   

où < ρ > représente la densité moyenne de la Terre, σ= λ+2µ et η = λ+µ. Guo

et al. (2004) insistent notamment sur l’attention particulière qui doit être apportée à la couche de surface lors du calcul des nombres de Love, d’une part parce que la condition aux limites y est appliquée et d’autre part, parce que les modèles de Terre différent beaucoup (dans PREM la couche supérieure est même considérée comme un océan).

Ainsi, pour des distances faibles, les fonctions de Green relatives aux déforma- tions en géométrie plane et en géométrie sphérique se raccordent également (voir figure 3.3 pour les déplacements verticaux). Cette propriété est intéressante car elle permettra d’étendre le principe de fonction de Green lorsque l’hypothèse de masse ponctuelle n’est pas valide et de les raffiner lorsque les propriétés mécaniques de la croûte diffèrent du modèle PREM. A noter que la déformation prédite par les inté- grales elliptiques ne diverge pas quand la distance à la charge tend vers 0.

30 Chapitre 3. Les Processus de déformation 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 -50 -40 -30 -20 -10 0 Distance à la charge [ m ] Solution de Boussinesq Intégrale elliptique avec

Fct. de Green en déplacement (Guo et al., 2004)

Déplacement vertical *10 12 *a [ m.kg -1] =1m

Fig. 3.3 – Superposition de trois fonctions de green pour le déplacement vertical déterminées pour le modèle PREM. En rouge et en bleu les déplacements en géométrie plane (Boussinesq et intégrale elliptiques pour une charge répartie su un disque de rayon 1 m), en noir, la fonction de Green calculée par (Guo et al., 2004).

Quantification relative des déformations élastiques et newtoniennes

La sommation partielle des fonctions de Green lorsque θ ∼ 0 permet de quantifier la contribution relative de chacune des trois déformations (voir par exemple Farrell, 1977, pour un développement complet). Ainsi, à proximité d’une charge, en symétrie sphérique, la déformation de gravité élastique est de plus d’un ordre de grandeur su- périeure à la déformation newtonienne. La situation est pratiquement identique pour le tilt car le rapport des déformations élastique et newtonienne tE/tN ≈ 7. Sur une Terre réelle, la topographie vient rapidement briser la symétrie sphérique, surtout lorsque l’on se rapproche de la masse. La prise en compte de l’altitude devient alors déterminante. L’expression des déformations newtoniennes pour le tilt et la gravité prenant en compte la topographie sont calculées en annexe E.1 page 287.

Pour la gravité, l’attraction newtonienne prédomine largement les effets de sur- charge de quatre ordres de grandeur à l’échelle du kilomètre. On montre également qu’un calcul précis nécessite la prise en compte de la topographie jusqu’à des dis- tances de l’ordre de 100 km pour des variations d’altitude de l’ordre du kilomètre.

Pour les variations de la verticale, les modèles plaqués surestiment l’attraction Newtonienne. Ainsi, la prise en compte de la topographie réduit encore la contribu- tion dynamique devant la contribution élastique.