Cas des masses proches de l’instrument

Validité de l’hypothèse ponctuelle

La section 3.1.3 , page 29 a permis de montrer que les fonctions de Green globales convergeaient vers les déformations calculées pour une géométrie plane, pour des paramètres mécaniques équivalents. Cette propriété est intéressante puisque si l’hy- pothèse de charge ponctuelle dans l’approche des fonctions de Green n’est pas pro- blématique à des distances importantes, elle peut par contre le devenir lorsque les masses d’eau se rapprochent de l’instrument. Une remarque équivalente peut être soulevée concernant l’hypothèse ponctuelle de la mesure.

La figure 3.3, page 30 montre la possibilité d’étendre les fonctions de Green pour des distances faibles, et de s’affranchir de l’hypothèse ponctuelle sous-jacente à la so- lution de Boussinesq et aux fonctions de Green en utilisant les intégrales elliptiques, plus adaptées à décrire les déformations de charges réparties.

La difficulté s’accentue lorsque la mesure de la déformation n’est pas ponctuelle, notamment dans le cas d’instruments longue base. Il est nécessaire de revenir à la définition de la déformation enregistrée par un instrument longue base. Pour un inclinomètre de base dr, le tilt enregistré peut être écrit comme la différence des dé- placements verticaux à chaque extrémité, c’est-à-dire u(r+dr_dr)−u(r). La confrontation entre les fonctions de Green en tilt et la manière de les écrire est indiquée sur la figure 3.9. Lorsque l’inclinomètre se situe en entier au sein de la charge, les déforma- tions doivent être nulles. Lorsque l’inclinomètre est à cheval sur la surface chargée, on observe une amplification de la déformation à une distance équivalente à la lon- gueur de la base de l’instrument. Les déformations déterminées sur une hypothèse ponctuelle (Boussinesq et fonction de Green) surestiment alors cette amplification.

La figure 3.10 montre l’erreur relative de la déformation déterminée par les inté- grales elliptiques en considérant la base de l’instrument, par rapport à la solution de Boussinesq - et a fortiori par les fonctions de Green - en prenant en compte ou non le base de l’instrument. Cette erreur est définie comme e = Elliptique_elliptique−boussinesq est cal- culée pour différentes géométries, la base de l’instrument étant réduite par le rayon de la charge. Ce graphique rend plus contraignant le critère de maillage pour les

3.1. Attraction newtonienne et surcharge 37

Fig. 3.7 – A gauche, expérience consistant à séparer une maille en quatre jusqu’à convergence du calcul, en fonction de la distance à la charge. A droite, exemple de convergence pour une déformation inclinométrique, en fonction du déport, en [ km ].

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

Taille optimale de la maille [ km ]

1/r : Déplacement 1/r2 _{: Tilt}

Critère de Bos & Baker

Fig. 3.8 – Détermination de la taille du maillage optimale pour faire converger le calcul de convolution avec une erreur inférieure à 0.5%, en fonction de la classe de la fonction de Green. Le critère défini par Bos & Baker (2005), plus contraignant est également indiqué.

instruments longue base. Ainsi, quelque soit soit la discrétisation de la charge, il est extrêmement difficile de calculer la déformation dans le cas où l’instrument longue base serait à cheval sur la répartition de masse. Dans le cas général de masses pe- santes distribuées à bonne distance de l’instrument, les déformations calculées par les fonctions de Green sont suffisamment précises dès lors que la longueur de la base de l’instrument est considérée, c’est à dire en utilisant les déplacement relatifs de chaque extrémités.

38 Chapitre 3. Les Processus de déformation 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0 50 100 150 200 Distance à la charge [ m ]

Tilt x 10

12

*(a

)2

[ rad . kg

]

Intégrale elliptique - base = 100m Boussinesq base = 100m

Boussinesq courte base

Fonction de Green PREM (Guo et al. 2004) Intégrale elliptique - base = 100m

=100m =10m

Fig. 3.9 – Confrontation entre différentes déformations en tilt, liées à plusieurs méthodes d’écrire le tilt enregistré pour un instrument longue base. Le rayon de la charge est indiqué par le paramètre α.

10-2 10-1 100 101 102 103 1e-6 1e-4 1e-2 1 100 10000 Erreur relative

Boussinesq - avec base de l'instrument Boussinesq - sans base de l'instrument

0.1 1 10 100 = 1000 0.1 1 10 100 1000 distance au centre [ m ] rayon de la charge [ m ] Rapport Base de l'instrument [ m ] rayon de la charge [ m ]

Fig. 3.10 – Erreur relative entre la déformation en tilt de référence, calculée à l’aide des intégrales elliptiques et en prenant en compte la base de l’instrument, avec la déformation déterminée selon une hypothèse ponctuelle de la charge, avec prise en compte ou non de la base de l’instrument. Le paramètre réduit indiqué sur chaque courbe correspond à la base de l’instrument divisée par le rayon de la charge.

3.1. Attraction newtonienne et surcharge 39

Fig. 3.11 – Variation du paramètre élastique λ en fonction de la profondeur pour les modèles de terre moyenne PREM (Dziewonski & Anderson, 1981), 1066A (Gilbert & Dziewonski, 1975), IASPEI (IASPEI91, 1991) et AK135 (Kennett et al., 1995; Montagner & Kennett, 1995) et le type M3 du modèle crust2.0 (Bassin et al., 2000).

Comment prendre en charge les propriétés mécaniques de la croûte ?

Le travail de Bos & Baker (2005) est censé intégrer dans son calcul d’erreur les fonc- tions de Green issues de différents modèles de Terre, mais pour le calcul d’une contri- bution principalement globale. Pour des distances supérieures à 50 km, la croûte n’est pratiquement pas sollicitée dans la déformation, ce sont pourtant les caractéristiques mécaniques dans la croûte qui varient le plus (voir figure 3.11, tous les modèles de Terre moyenne décrivent le manteau et le noyau d’une manière pratiquement iden- tique (Boy et al., 2003). La nécessité de décrire la déformation induite par les masses proches contraint de décrire le comportement de la croûte. Cette partie n’est perti- nente que pour les observations dont les fonctions de Green sont en 1/r2

Une approche consistant à conserver le formalisme des nombres de Love pour une Terre hétérogène semble extrêmement difficile à mettre en oeuvre, d’autant plus pour des études locales. Une solution globale alternative consiste à décrire l’effet d’objets dont la taille est petite devant la taille de la Terre à l’aide des éléments finis, le maillage étant adapté à la variabilité des paramètres élastiques (voir par exemple Métivier et al., 2005).

Un point de vue différent consiste à raffiner les fonctions de Green, adaptées pour des distances inférieures à 50 km à des distances plus proches. Cette approche consiste à faire un "trou" dans le modèle de Terre, et à substituer aux paramètres du modèle des paramètres mécaniques locaux dans les couches les plus en surface. Ces paramètres locaux peuvent être déterminés soit expérimentalement (par de la géophysique appliquée, par exemple), soit à l’aide de modèles plus précis tels que crust5.14

(Laske & Masters, 1998) ou crust 2.05

(Bassin et al., 2000).

La physique qui régit la déformation inclinométrique est identique à la physique

4

voir le site http://mahi.ucsd.edu/Gabi/crust.html

5

40 Chapitre 3. Les Processus de déformation

Fig. 3.12 – Variation verticale du paramètre élastique 1−ν_2πµ qui détermine la déformation inclinomé- trique pour différents modèles de terre. La fonction de Green de Guo et al. (2004) est superposée, et permet de donner une idée de la possibilité de raffiner les fonctions de Green locales pour des masses proches, en fonction des caractéristiques mécaniques.

qui décrit l’électrostatique et les sondages électriques en particulier (équation diffé- rentielle, équation aux limites et méthodes de mesure). Il est par conséquent possible d’utiliser les outils développés pour le calcul du problème direct pour les sondages électriques (transformation de Hankel), la résistivité ρ étant équivalente au paramètre

ρ ⇐⇒ 1_2πµ−ν (voir figure 3.12). Cette technique est limitée à la détermination d’une

fonction de Green en 1/r2sous l’hypothèse d’une Terre plate stratifiée.

Cette idée de raffiner les fonctions de Green globales par une fonction qui décrit le comportement mécanique local pourrait être mise en oeuvre pour une géométrie 3D, adaptée à un observatoire en particulier, à l’aide des éléments finis, qui permet d’intégrer des caractéristiques mécaniques relatives à une géologie plus réaliste.

Mais les éléments finis ne sont pas une solution magique, il faut opposer l’ap- parente simplicité de la maîtrise des paramètres du modèle aux contraintes sur la précision souhaitée lors du calcul des déformations. Les éléments finis sont en fait re- lativement difficiles à mettre en oeuvre (choix de conditions aux limites pertinentes, paramétrisation réaliste, etc...). Steffen et al. (2005) montrent l’énorme variabilité des déformations générées par les variations de pression atmosphérique suivant la prise en compte ou non de systèmes de failles ou de galeries.

Nous avons tenté de retrouver la déformation analytique générée par une masse de rayon 100 m posée à la surface d’un domaine homogène isotrope de 100 km de côté, en axi-symétrie, telle que déterminée par les fonctions elliptiques. La figure 3.13 montre l’erreur maximale sur la déformation en fonction de la distance à la charge, ce qui permet de définir la part du domaine utilisable. Nous avons utilisé dans ces

3.1. Attraction newtonienne et surcharge 41

Pourcentage du domaine utilisé [ % ]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 2 4 6 8 10

Erreur sur les déplacements [ % ]

Fig. 3.13 – Erreur maximale sur la détermination des déplacements par FEM par rapport à une solution analytique, en fonction la distance à la charge (en pourcentage du domaine).

modélisation différentes conditions aux limites classiques (Neumann et Dirichlet), qui imposent une contrainte de milieu infiniment rigide. Une solution optimale consiste à utiliser des éléments infinis sur les bords du domaine.

Des investigations supplémentaires seraient intéressantes, en l’occurrence lors des contacts qui dissymétrisent les caractéristiques mécaniques des couches de surface. Le problème de contact entre croûte océanique et croûte continentale est identique, dans le cadre des surcharges océaniques.